勾股定理的證明比較全的證明方法市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

北京歡迎您！年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)第1頁(yè)同學(xué)們！三角形知識(shí)之前我們已學(xué)習(xí)了不少。直角三角形是一個(gè)特殊三角形，從今天開(kāi)始，我們嘗試著研究直角三角形三邊之間關(guān)系。第2頁(yè)17．1勾股定理（一）

第3頁(yè)

1，掌握直角三角形三邊之間關(guān)系（即勾股定理內(nèi)容）。

2，經(jīng)過(guò)探究，了解勾股定理證實(shí)過(guò)

程，并掌握1----2種證實(shí)方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)第4頁(yè)為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)，請(qǐng)同學(xué)們按照以下要求來(lái)自學(xué)。認(rèn)真看書本P22—P24，注意：1、結(jié)合P22思索前故事及“黃色書簽”,你在知識(shí)認(rèn)知上應(yīng)該養(yǎng)成怎樣品質(zhì)？2、結(jié)合P22思索和圖形17.1-2，你認(rèn)為老畢先生發(fā)覺(jué)了什么？跨越兩千多年時(shí)空，看你和老畢是否有心靈默契？之后用P22下面三行小字驗(yàn)證你發(fā)覺(jué)。3、用數(shù)形結(jié)合與面積法思想，借助P22探究與網(wǎng)格再驗(yàn)證其它直角三角形三邊是否有一樣性質(zhì)4、準(zhǔn)確記憶P23命題1﹙勾股定理﹚，分清題設(shè)與結(jié)論。﹙猜測(cè)﹚5、利用P23“趙爽弦圖”和面積法證實(shí)勾股定理

6、務(wù)必明確勾股定理兩個(gè)關(guān)于：關(guān)于直角三角形與關(guān)于該種圖形邊關(guān)系自課時(shí)間10分鐘之后比誰(shuí)能做對(duì)檢測(cè)題。不會(huì)可小聲討論或舉手問(wèn)老師。自研共探：第5頁(yè)看一看

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)覺(jué)朋友家用磚鋪成地面反應(yīng)直角三角形三邊某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察下面圖案，看看你能發(fā)覺(jué)什么？第6頁(yè)a2+b2=c2直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方┏acb勾股弦

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)a2=

c2-b2b2=c2-a2第7頁(yè)勾股定理證實(shí)325242第8頁(yè)

兩千多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理證實(shí)頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們生活實(shí)際，以至于古往今來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它證實(shí)．所以不停出現(xiàn)關(guān)于勾股定理新證法．1．傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯證法2．趙爽弦圖證法4．美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德證法3．劉徽證法勾股定理證實(shí)5．其它證法第9頁(yè)這棵樹(shù)漂亮嗎？假如在樹(shù)上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹(shù)．可能有些人會(huì)問(wèn)：“它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？”仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)覺(jué)，奧妙在樹(shù)干和樹(shù)枝上，整棵樹(shù)都是由下方這個(gè)基本圖形組成：一個(gè)直角三角形以及分別以它每邊為一邊向外所作正方形．這個(gè)圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就是利用這個(gè)圖形驗(yàn)證了勾股定理．第10頁(yè)關(guān)于勾股定理證實(shí)，現(xiàn)在人類保留下來(lái)最早文字資料是歐幾里得（公元前3左右）所著《幾何原本》第一卷中命題47：“直角三角形斜邊上正方形等于兩直角邊上兩個(gè)正方形之和”．其證實(shí)是用面積來(lái)進(jìn)行．傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯證法已知：如圖，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以a、b、c為邊向外作正方形．求證：a2

+b2=c2．第11頁(yè)∴S矩形ADNM＝2S△ADC．又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行線AK和BH間距離），∴S正方形ACHK＝2S△ABK．∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，∴△ADC≌△ABK．由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK

．同理可證S矩形MNEB＝S正方形CBFG．∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG

，也就是a2+b2=c2．傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯證法證實(shí)：從Rt△ABC三邊向外各作一個(gè)正方形（如圖），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成兩個(gè)矩形．連結(jié)CD和KB．返回∵因?yàn)榫匦蜛DNM和△ADC同底（AD），等高(即平行線AD和CN間距離)，第12頁(yè)我國(guó)對(duì)勾股定理證實(shí)采取是割補(bǔ)法，最早形式見(jiàn)于公元三、四世紀(jì)趙爽《勾股圓方圖注》．在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂“弦圖”，其中每一個(gè)直角三角形稱為“朱實(shí)”，中間一個(gè)正方形稱為“中黃實(shí)”，以弦為邊大正方形叫“弦實(shí)”，所以，假如以a、b、c分別表示勾、股、弦之長(zhǎng)，那么：趙爽弦圖證法得：c2

=a2+b2．返回第13頁(yè)cabcabcabcab∵c2==b2-2ab+a2+

2ab

=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形面積能夠表示為；也能夠表示為c2該圖8月在北京召開(kāi)國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)示意圖，取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《勾股圓方圖》。證實(shí)1：第14頁(yè)劉徽在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理證實(shí)：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動(dòng)也．合成弦方之冪，開(kāi)方除之，即弦也．令正方形ABCD為朱方，正方形BEFG為青方．在BG間取一點(diǎn)H，使AH=BG，裁下△ADH，移至△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是為“出入相補(bǔ)，各從其類”，其余不動(dòng)，則形成弦方正方形DHFI．勾股定理由此得證．劉徽證法返回第15頁(yè)學(xué)過(guò)幾何人都知道勾股定理．它是幾何中一個(gè)比較主要定理，應(yīng)用十分廣泛．迄今為止，關(guān)于勾股定理證實(shí)方法已經(jīng)有500余種．其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話．總統(tǒng)為何會(huì)想到去證實(shí)勾股定理呢？莫非他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)興趣者？答案是否定．事情經(jīng)過(guò)是這么：

1876年一個(gè)周末黃昏，在美國(guó)首都華盛頓郊外，有一位中年人正在散步，觀賞黃昏美景，他就是當(dāng)初美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德．他走著走著，突然發(fā)覺(jué)附近一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討．因?yàn)楹闷嫘尿?qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫著一個(gè)直角三角形．于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁矗恐灰?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，假如直角三角形兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問(wèn)道：“假如兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊平方一定等于5平方加上7平方．”小男孩又說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味．于是伽菲爾德不再散步，馬上回家，潛心探討小男孩給他留下難題．他經(jīng)過(guò)重復(fù)思索與演算，終于搞清楚了其中道理，并給出了簡(jiǎn)練證實(shí)方法．總統(tǒng)巧證勾股定理第16頁(yè)美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理aabbccADCBE返回第17頁(yè)abcbacABCDE1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng).以后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了證實(shí)，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”．勾股定理證實(shí)：你能只用這兩個(gè)直角三角形說(shuō)明a2+b2=c2嗎？拼一拼試一試第18頁(yè)向常春證實(shí)方法注:這一方法是向常春于1994年3月20日構(gòu)想發(fā)覺(jué)新法．a(chǎn)bcba-bADCBEc第19頁(yè)cabcabcabcab∵(a+b)2=

a2+2ab+b2=

2ab+c2∴a2+b2=c2大正方形面積能夠表示為；也能夠表示為(a+b