流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

關(guān)于流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五2第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.2流動(dòng)的分類3.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念3.4系統(tǒng)與控制體▲3.5一維流動(dòng)的連續(xù)性方程3.6理論流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程3.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化▲3.8粘性流體總流的伯努里方程★3.9伯努里方程的應(yīng)用★3.10動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程▲第2頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五3本章研究流體運(yùn)動(dòng)中表征流體運(yùn)動(dòng)的各種物理量，如流速、壓力和加速度等運(yùn)動(dòng)要素之間的相互關(guān)系以及流體對周圍物體的作用。本章將把質(zhì)量守恒定律、能量守恒定律、動(dòng)量和動(dòng)量矩定理等應(yīng)用于流體力學(xué)中，推導(dǎo)出流體動(dòng)力學(xué)中的幾個(gè)重要的基本方程，即連續(xù)性方程、伯努里（能量）方程、動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程等，并舉例說明它們在流體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用。本章內(nèi)容第3頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五43.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.2流動(dòng)的分類3.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念3.4系統(tǒng)與控制體▲3.5一維流動(dòng)的連續(xù)性方程3.6理論流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程3.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化▲3.8粘性流體總流的伯努里方程★3.9伯努里方程的應(yīng)用★3.10動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程▲第4頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五53.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法

表征運(yùn)動(dòng)流體的物理量，諸如流體質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度、密度、壓強(qiáng)、動(dòng)量、動(dòng)能等等統(tǒng)稱為流體的流動(dòng)參數(shù)（或運(yùn)動(dòng)要素）。描述流體運(yùn)動(dòng)也就是要表達(dá)這些流動(dòng)參數(shù)在各個(gè)不同空間位置上隨時(shí)間連續(xù)變化的規(guī)律。

從理論上說，解決這種問題一般有兩種可行的方法，即拉格朗日（Largrange）法和歐拉（Euler）法。

第5頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五63.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法一、拉格朗日法（隨體法或跟蹤法）物理概念清晰，但處理問題十分困難基本思想：跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)全過程，記錄它們在運(yùn)動(dòng)過程中的各物理量及其變化規(guī)律。

基本參數(shù)：位移流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)：幾點(diǎn)說明：1、對于某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)，（a，b，c）為常數(shù)，t為變量——軌跡2、t為常數(shù)，（a，b，c）為變量——某一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布3、a，b，c為Lagrange變量，不是空間坐標(biāo)函數(shù)，是流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)號ＩＤ獨(dú)立變量：（a,b,c,t）——區(qū)分流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志第6頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五73.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法1.流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)：2.速度：3.流體質(zhì)點(diǎn)的加速度：質(zhì)點(diǎn)物理量：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程第7頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五83.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法√直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點(diǎn)的時(shí)變過程

×

數(shù)學(xué)求解較為困難，一般問題研究中較少采用

優(yōu)缺點(diǎn)：第8頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五9第9頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五10

描述流體運(yùn)動(dòng)的另一種方法是歐拉法，這種方法著眼于各空間點(diǎn)的流動(dòng)特性，又稱為流場法。因?yàn)榱鲃?dòng)空間中充滿連續(xù)不斷的流體質(zhì)點(diǎn)，而每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都具有一定的物理量，因而流體流動(dòng)空間必然形成為物理量連續(xù)分布的場，例如速度場、密度場、溫度場、壓強(qiáng)場等等，或者統(tǒng)稱為流場。每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在確定時(shí)刻t必然占據(jù)流場中的確定位置(z，y，z)．從而具有確定的物理量。因?yàn)榱黧w是連續(xù)介質(zhì)，質(zhì)點(diǎn)緊密相接，在運(yùn)動(dòng)過程中，一定的空間點(diǎn)可能被無數(shù)質(zhì)點(diǎn)前出后進(jìn)地依次占據(jù)，所以我們無需關(guān)心某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，只要能夠找到整個(gè)流場中物理量的變化規(guī)律，則此流場的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)及流場中流體與固體邊界的相互作用都是可以順利解決的。這種以數(shù)學(xué)場論為基礎(chǔ)、著眼于任何時(shí)刻物理量在場中的分布規(guī)律的流體運(yùn)動(dòng)描述方法叫作歐拉法。

二、Euler法（歐拉法）

第10頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五11歐拉法中用質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)(x，y，z)與時(shí)間變量t來表達(dá)流場中的流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，(x，y，z，t)叫作歐拉變數(shù)。x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場的空間坐標(biāo)，另一方面它代表流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位移。根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個(gè)空間點(diǎn)上都有流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。而占據(jù)每一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說，空間坐標(biāo)x，y，z也是流體質(zhì)點(diǎn)位移的變量，它也是時(shí)間t的函數(shù)：

x=x(t)y=y(t)z=z(t)第11頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五123.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法

流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度(歐拉法)矢量形式

流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度(歐拉法)（以x方向?yàn)槔┑?2頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五13當(dāng)?shù)丶铀俣荣|(zhì)點(diǎn)加速度：遷移加速度第一部分：是由于某一空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化而產(chǎn)生的，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣鹊诙糠郑菏悄骋凰矔r(shí)由于流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨空間點(diǎn)的變化而產(chǎn)生的，稱為遷移加速度3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法第13頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五14在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來龍去脈?；谏鲜鋈c(diǎn)原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。歐拉法的優(yōu)越性：利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運(yùn)動(dòng)微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計(jì)算流體力學(xué)的某些問題中方便。3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法第14頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五153.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來龍去脈?；谏鲜鋈c(diǎn)原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。歐拉法的優(yōu)越性：利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運(yùn)動(dòng)微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計(jì)算流體力學(xué)的某些問題中方便。第15頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五16第16頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五17

拉格朗日法

歐拉法分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)加速度為一階偏導(dǎo)數(shù)形式，有非線性項(xiàng)不能直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性拉格朗日觀點(diǎn)是重要的流體力學(xué)最常用的解析方法3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法三、兩種描述方法的比較

加速度為二階偏導(dǎo)數(shù)形式，無非線性項(xiàng)第17頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五18在流體力學(xué)里，有兩種描述流體運(yùn)動(dòng)的方法：歐拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。歐拉法描述的是任何時(shí)刻流場中各種變量的分布，而拉格朗日法卻是去追蹤每個(gè)粒子從某一時(shí)刻起的運(yùn)動(dòng)軌跡。

在一個(gè)風(fēng)和日麗的午后，A坐在河岸邊看河水流，恩，她總是很閑。如果A的位置不動(dòng)，她在自己目光能及的河面上劃出一塊區(qū)域，數(shù)某一時(shí)刻經(jīng)過的船只數(shù)，如果可能的話，再數(shù)數(shù)經(jīng)過的魚兒數(shù)；當(dāng)然，如果手頭有些儀器，她可以干干正事，比如測測水流的速度、水的壓力、水的溫度等，由此得到每一時(shí)刻這一河流區(qū)域水流各物理量的分布。那么A是在用歐拉方法研究流體。

這時(shí)，A忽然看到一條船上坐著她的初戀情人，天哪，他們有20年沒見面了，他還欠她20元呢，不能放了他。于是A記下第一眼看到初戀情人的時(shí)間，并迅速測出此時(shí)船的位置和速度，然后撒腿追去。假設(shè)這條船是順?biāo)?，船的速度即是水流的速度。每隔一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，她便測一下船的速度和位置。為了曾經(jīng)的愛情，還有那不計(jì)利息的20元，她越過山崗，淌過小溪，直到那條船離開了她的視線。于是，她得到了這條船在河流中的運(yùn)動(dòng)軌跡。A此時(shí)所用的研究方法就是拉格朗日法。第18頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五193.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.2流動(dòng)的分類3.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念3.4系統(tǒng)與控制體▲3.5一維流動(dòng)的連續(xù)性方程3.6理論流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程3.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化▲3.8粘性流體總流的伯努里方程★3.9伯努里方程的應(yīng)用★3.10動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程▲第19頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五203.2流動(dòng)的分類二、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)1.定常流動(dòng)流動(dòng)參量不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。特點(diǎn)：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量只是坐標(biāo)的函數(shù)，而與時(shí)間無關(guān)。即：一、按流體性質(zhì)分類:

理想（或無粘性）流體流動(dòng)和實(shí)際流體流動(dòng)；不可壓縮流體流動(dòng)和可壓縮流體流動(dòng)等。第20頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五21二、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)（續(xù)）2.非定常流動(dòng)流動(dòng)參量隨時(shí)間變化的流動(dòng)。特點(diǎn)：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而且與時(shí)間有關(guān)。即：3.2流動(dòng)的分類第21頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五22三、一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng)流動(dòng)參量是幾個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，即為幾維流動(dòng)。一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)1.定義2.實(shí)際流體力學(xué)問題均為三元流動(dòng)。工程中一般根據(jù)具體情況加以簡化。

3.2流動(dòng)的分類第22頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五23四、內(nèi)流與外流管道流（不可壓縮流體）噴管流（可壓縮流體）明渠流流體機(jī)械(水泵、水輪機(jī))內(nèi)流粘性邊界層外部勢流外流按流場是否被固體邊界包圍分類3.2流動(dòng)的分類第23頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五243.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.2流動(dòng)的分類3.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念3.4系統(tǒng)與控制體▲3.5一維流動(dòng)的連續(xù)性方程3.6理論流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程3.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化▲3.8粘性流體總流的伯努里方程★3.9伯努里方程的應(yīng)用★3.10動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程▲第24頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五25一、跡線與流線在同一瞬間，位于某條線上每一個(gè)流體微團(tuán)的速度矢量都與此線在該點(diǎn)的切線重合，則這條線稱為流線。適于歐拉方法。1、流線u21uu2133u6545u46u流線流線表達(dá)式第25頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五26流線的性質(zhì)（1）流線彼此不能相交。（2）流線是一條光滑的曲線，不可能出現(xiàn)折點(diǎn)。（3）定常流動(dòng)時(shí)流線形狀不變，非定常流動(dòng)時(shí)流線形狀發(fā)生變化。v1v2s1s2交點(diǎn)v1v2折點(diǎn)s

強(qiáng)調(diào)的是空間連續(xù)質(zhì)點(diǎn)而不是某單個(gè)質(zhì)點(diǎn)形成是在某一瞬間而不是一段連續(xù)時(shí)間內(nèi)表示的是質(zhì)點(diǎn)的速度方向而不是空間位置連線（4）流線簇的疏密反映了速度的大小；第26頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五27第27頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五28跡線微分方程定義：同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻形成的曲線屬拉格朗日法的研究內(nèi)容。舉例流星、煙火、木屑順?biāo)?、跡線第28頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五29用跡線形式顯示的尾水管三維渦帶

第29頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五303、跡線、流線區(qū)別：流線定義拉格朗日法歐拉法(x,y,z為t的函數(shù)，t為參數(shù)）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡某一瞬時(shí)，速度方向線研究方法微分方程

跡線

(x,y,z為t的函數(shù)，t為自變量）第30頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五31第31頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五32第32頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五33尾焰擋板第33頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五34第34頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五35第35頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五36第36頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五37第37頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五38

顯然這一表達(dá)式已具有歐拉法速度表達(dá)式的形式。但應(yīng)明確，拉氏法中的，，，：代表某一確定流體質(zhì)點(diǎn)的速度；而歐拉法中的，，，：則代表流場內(nèi)的速度分布。為了實(shí)現(xiàn)兩種描述方法間的轉(zhuǎn)換，需取兩法中的對應(yīng)分速相等。這可解釋為：所論流體質(zhì)點(diǎn)恰好位于某空間點(diǎn)，因而，此時(shí)這一空間點(diǎn)上將具有該流體質(zhì)點(diǎn)的速度。于是，上述表達(dá)式即為該流動(dòng)的歐拉法表達(dá)式。最后還應(yīng)指出，通過以上三例能對兩種描述方法有所了解，并且知道兩種表達(dá)式是可以相互轉(zhuǎn)換的。但在具體轉(zhuǎn)換時(shí)，常常會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難，而很難實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。上面例題比較簡單，才比較容易地求得轉(zhuǎn)換表達(dá)式。第38頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五393.2基本概念流管——在流場中作一不是流線的封閉周線C，過該周線上的所有流線組成的管狀表面。流體不能穿過流管，流管就像真正的管子一樣將其內(nèi)外的流體分開。(???)定常流動(dòng)中，流管的形狀和位置不隨時(shí)間發(fā)生變化。流束——充滿流管的一束流體。微元流束——截面積無窮小的流束。

微元流束的極限是流線。微元流束和流線的差別：流束是一個(gè)物理概念，涉及流速、壓強(qiáng)、動(dòng)量、能量、流量等等；流線是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，只是某一瞬時(shí)流場中的一條光滑曲線。

五、流管和流束第39頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五40總流——截面積有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及風(fēng)管中的氣流都是總流。總流分類：（1）有壓流動(dòng)總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，如壓力水管中的流動(dòng)。（2）無壓流動(dòng)總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動(dòng)。（3）射流總流的全部邊界均無固體邊界約束，如噴嘴出口的流動(dòng)。第40頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五413.2基本概念流量——在單位時(shí)間內(nèi)流過有效截面積的流體的量。體積流量（）：質(zhì)量流量（kg/s）：平均流速——是一個(gè)假想的流速，即假定在有效截面上各點(diǎn)都以相同的平均流速流過，這時(shí)通過該有效截面上的體積流量仍與各點(diǎn)以真實(shí)流速流動(dòng)時(shí)所得到的體積流量相同。六.流量和平均流速

第41頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五42七.均勻流和非均勻流均勻流：流場中同一條流線各空間點(diǎn)上的流速相同。非均勻流：流場中同一條流線各空間點(diǎn)上的流速不相同。3.3基本概念均勻流：流動(dòng)過程中，物理量A的位變(遷移)導(dǎo)數(shù)為零的流動(dòng)。非均勻流：流動(dòng)過程中，物理量A的位變(遷移)導(dǎo)數(shù)不為零的流動(dòng)。定義一定義二第42頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五43均勻流有如下特征：（1）均勻流的過水?dāng)嗝妫ㄓ行Ы孛妫┦瞧矫?，并且有效截面的形狀與尺寸沿流程不變；（2）均勻流中同一流線上各點(diǎn)的流速相等，各有效截面上的流速分布相同，平均流速相同；（3）均勻流有效截面上的流體動(dòng)壓強(qiáng)分布規(guī)律與流體靜力學(xué)中流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，也就是在均勻流有效截面上同樣存在各點(diǎn)靜水頭等于常數(shù)的特征，即第43頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五44非均勻流按流速的大小和方向沿流線變化的緩、急程度又可分為緩（漸）變流和急變流兩種，如圖所示。流速的大小和方向沿流線逐漸改變的非均勻流，稱為緩（漸）變流。急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流圖

緩變流和急變流第44頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五453.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念八、過流斷面及水力半徑

在有限斷面的流束中，與每條流線相垂直的橫截面稱為該流束的過流斷面或

有效斷面。濕周是在總流的過流斷面上，流體與固體邊界接觸部分的周長，用χ（希臘字母，讀器）表示，過流斷面面積A與濕周χ之比稱為水力半徑，用表示，

第45頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五3.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念在非圓斷面的管道或渠道的水力計(jì)算中，以當(dāng)量直徑代替圓管直徑。當(dāng)量直徑Dh定義為四倍的水力半徑，即圓管道的當(dāng)量直徑，等于圓管直徑。第46頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五47第47頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五483.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.2流動(dòng)的分類3.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念3.4系統(tǒng)與控制體▲3.5一維流動(dòng)的連續(xù)性方程3.6理論流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程3.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化▲3.8粘性流體總流的伯努里方程★3.9伯努里方程的應(yīng)用★3.10動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程▲第48頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五49系統(tǒng)(質(zhì)量體)

在流體力學(xué)中，系統(tǒng)是指由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)。如圖所示。系統(tǒng)以外的一切統(tǒng)稱為外界。系統(tǒng)和外界分開的真實(shí)或假象的表面稱為系統(tǒng)的邊界。

系統(tǒng)

定義：Lagrange方法！系統(tǒng)與控制體的概念第49頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五50(1)一定質(zhì)量的流體質(zhì)點(diǎn)的合集；(2)系統(tǒng)的邊界隨流體一起運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的體積、邊界面的形狀和大小可以隨時(shí)間變化。(3)系統(tǒng)的邊界處沒有質(zhì)量交換，即沒有流體流進(jìn)或流出系統(tǒng)的邊界。(4)在系統(tǒng)的邊界上受到外界作用在系統(tǒng)上的表面力。(5)在系統(tǒng)的邊界上可以有能量交換，即可以有能量輸入或輸出系統(tǒng)的邊界。

特點(diǎn)：第50頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五51

多數(shù)流體力學(xué)實(shí)際問題中，對個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)或流體團(tuán)的運(yùn)動(dòng)及其屬性并不關(guān)心，而更關(guān)心流體對流場中的物體或空間中某體積的作用和影響。系統(tǒng)拉格朗日觀點(diǎn)應(yīng)采用歐拉觀點(diǎn)處理上述問題！第51頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五52控制體的邊界面稱為控制面。它總是封閉表面。定義：相對于某個(gè)坐標(biāo)系來說，有流體流過的固定不變的任何空間的體積稱為控制體?？刂企w(開系統(tǒng))Euler方法！第52頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五53控制面的幾何外形和體積是相對流動(dòng)情況和邊界條件選定的控制面相對于坐標(biāo)系是固定的。在控制面上可以有質(zhì)量交換，即可以有流體流進(jìn)或流出控制面。在控制面上受到控制體以外物體施加在控制體內(nèi)流體上的力(動(dòng)量交換）。在控制面上可以有能量交換，即可以有能量輸入或輸出控制面。控制面的特點(diǎn)：第53頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五543.4系統(tǒng)與控制體2、系統(tǒng)內(nèi)的某種物理量對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)公式如圖，在一流場中任取一控制體，用實(shí)線表示其周界。在t時(shí)刻此控制體的周界與所研究的流體系統(tǒng)的周界相重合，圖中虛線表示流體系統(tǒng)。設(shè)N表示在t時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的某種物理量（如質(zhì)量、動(dòng)量等）的總量，η表示單位質(zhì)量流體所具有的這種物理量第54頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五55在t時(shí)刻系統(tǒng)所占空間體積為Ⅱ，由于流場中流體的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過δt時(shí)間后，即在t＋δt時(shí)刻，系統(tǒng)所占有的空間體積為Ⅲ＋Ⅱ′，控制體的體積Ⅱ＝Ⅰ＋Ⅱ′，Ⅱ′是系統(tǒng)在t＋δt時(shí)刻與t時(shí)刻所占有的空間相重合的部分。在t時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的流體所具有的某種物理量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為第55頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五563.4系統(tǒng)與控制體式中V′為系統(tǒng)在t＋δt時(shí)刻的體積，V′

＝Ⅲ＋Ⅱ′，V是系統(tǒng)t時(shí)刻的體積，V＝Ⅱ＝Ⅰ＋Ⅱ′，則（a）可寫成因?yàn)樵趖時(shí)刻系統(tǒng)與控制體重合。若控制體體積用CV表示，則有Ⅱ＝V（t）＝CV。因此（b）式右端第一項(xiàng)為第56頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五573.4系統(tǒng)與控制體右端第二、第三項(xiàng)分別表示單位時(shí)間內(nèi)流出和流入控制體Ⅱ的流體所具有的某種物理量，因此可以用同樣時(shí)間內(nèi)在流體所通過的控制面上流出的這種物理量的面積分來表示，單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的這種物理量為式中，CSout表示控制面中流出部分的面積，un為沿控制面上微元面積外法線方向的速度。同理，單位時(shí)間內(nèi)流入控制體的這種物理量為第57頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五583.4系統(tǒng)與控制體式中，CSin表示控制面中流入部分的面積，負(fù)號是因?yàn)樵诳刂企w入流面上流體入流速度方向與入流面外法線方向之間的夾角始終大于900，un總是負(fù)值。

上式（3.18）即為系統(tǒng)所具有的某種物理量的總量對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，它由兩部分組成，一部分相當(dāng)于當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，等于控制體內(nèi)的這種物理量的總量的時(shí)間變化率；另一部分相當(dāng)于遷移導(dǎo)數(shù)，等于單位時(shí)間內(nèi)通過靜止的控制面流出和流入的這種物理量的差值。這些物理量可以是標(biāo)量（如質(zhì)量、能量等），也可以是矢量（動(dòng)量、動(dòng)量矩等）。在定常流動(dòng)條件下，

(3.18)雷諾輸運(yùn)定理第58頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五593.4系統(tǒng)與控制體上式表明在定常流動(dòng)條件下，整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的某種物理量的變化等于單位時(shí)間內(nèi)通過控制面的凈通量，即某種物理量的變化只與通過控制面的流動(dòng)情況有關(guān)，而與系統(tǒng)內(nèi)部流動(dòng)情況無關(guān)。雷諾輸運(yùn)定理第59頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五60

把一個(gè)有限體積內(nèi)流體的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為Euler描述下的控制體導(dǎo)數(shù)提供了一個(gè)Lagrange描述的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)向Euler描述的流體力學(xué)轉(zhuǎn)換的橋梁系統(tǒng)內(nèi)部的某一物理量的時(shí)間變化率是由兩部分組成，等于控制體內(nèi)的該物理量的時(shí)間變化率加上單位時(shí)間內(nèi)通過控制面的該物理量的凈通量。雷諾輸運(yùn)定理的作用第60頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五613.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.2流動(dòng)的分類3.3流體動(dòng)力學(xué)的基本概念3.4系統(tǒng)與控制體▲3.5一維流動(dòng)的連續(xù)性方程3.6理論流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程3.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化▲3.8粘性流體總流的伯努里方程★3.9伯努里方程的應(yīng)用★3.10動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程▲第61頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五62當(dāng)流體經(jīng)過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時(shí)，可以斷定：1.若在某一定時(shí)間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時(shí)，則這封閉曲面內(nèi)一定會(huì)有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個(gè)封閉曲面內(nèi)的空間；

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。前提：流體是連續(xù)介質(zhì)，它在流動(dòng)時(shí)連續(xù)地充滿整個(gè)流場。第62頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五632.如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)方程式來表達(dá)，稱為連續(xù)性方程。由哈維發(fā)現(xiàn)的人體血液循環(huán)理論是流體連續(xù)性原理的例證：動(dòng)脈系統(tǒng)毛細(xì)管系統(tǒng)靜脈系統(tǒng)心臟第63頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五64雷諾輸運(yùn)公式可用于任何分布函數(shù)B，如密度分布、動(dòng)量分布、能量分布等。令β＝1，由系統(tǒng)的質(zhì)量不變可得連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程由流體系統(tǒng)滿足質(zhì)量守恒得，第64頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五65系統(tǒng)質(zhì)量變化率流出控制體的質(zhì)量流率控制體內(nèi)質(zhì)量變化率上式表明：通過控制面凈流出的質(zhì)量流量等于控制體內(nèi)流體質(zhì)量隨時(shí)間的減少率。在推導(dǎo)上式的時(shí)候，未作任何假設(shè)，因此只要滿足連續(xù)性假設(shè)，上式總是成立的第65頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五66固定的控制體對固定的CV，積分形式的連續(xù)性方程可化為運(yùn)動(dòng)的控制體將控制體隨物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，連續(xù)性方程形式不變，只要將速度改成相對速度vr第66頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五67★1、對于均質(zhì)不可壓流體：

ρ=const可適用于均質(zhì)不可壓流體的定常及非定常流動(dòng)！連續(xù)方程的簡化連續(xù)方程簡化為：第67頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五68可適用于可壓、不可壓流體的定常流動(dòng)！連續(xù)方程簡化為：★2、對于定常流動(dòng)：第68頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五69出、入口截面上的質(zhì)流量大小為設(shè)?有多個(gè)出入口?一般式★3、沿流管的定常流動(dòng)第69頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五70設(shè)出入口截面上的體積流量大小為Q＝VA★4、沿流管的不可壓縮流動(dòng)?一般式?有多個(gè)出入口第70頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五71★5、一維流一維定常流不可壓為什么河道窄的地方水流湍急？為什么水管捏扁了速度快？第71頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五72Ql+Q2=Q3Ql=Q2+Q3有匯流或分流的情況：第72頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五73【3-1】所有管截面均為圓形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm,平均流量分別為Q1=6l/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q5=0.78Q1

求：

Q2及各管的平均速度【解】取圖中虛線所示控制體，有多個(gè)出入口。液體按不可壓縮流體處理

可得Q1=Q2+Q3+Q4+Q5

Q2=Q1－(Q3+Q4+Q5）=Q1－(0.07+0.04+0.78)Q

=0.11Q1=0.66l/min

第73頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五74各管的平均速度為第74頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五75【例3-2】思考題要使注射器穩(wěn)定地以300cm3/min注射，問推進(jìn)速度Vp=?已知Ap==500mm2關(guān)鍵：選控制體流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第75頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五76

在流場內(nèi)取一固定不動(dòng)的平行六面體微元控制體，并建立合適的坐標(biāo)系。選取適當(dāng)?shù)奈⒃刂企w分析系統(tǒng)（微元控制體）的流動(dòng)、受力等情況

分析包括控制體內(nèi)的物理量變化及受力，控制面上流入、流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正負(fù)號。列出守恒方程整理、簡化

如質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量定理方程及能量守恒方程等。微分形式的連續(xù)方程的推導(dǎo)流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第76頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五77

在流場的任意點(diǎn)處取微元六面體，如圖所示。六面體中的質(zhì)量隨空間和時(shí)間變化。

連續(xù)方程示意圖流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)微分形式的連續(xù)方程的推導(dǎo)第77頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五78（1）空間變化對于x軸方向，單位時(shí)間流入微元六面體的質(zhì)量為流出的質(zhì)量為X方向其質(zhì)量增加為

連續(xù)方程示意圖第78頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五79同樣y、z軸方向的質(zhì)量增加分別為（2）時(shí)間變化

設(shè)任意時(shí)刻微元六面體內(nèi)的質(zhì)量為，單位時(shí)間內(nèi)變?yōu)椋杂捎诿芏鹊淖兓瘑挝粫r(shí)間內(nèi)微元六面體內(nèi)增加的質(zhì)量為微元控制體內(nèi)流體質(zhì)量增長率：第79頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五80（3）根據(jù)質(zhì)量守恒定律

流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程式為：第80頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五81物理意義：

空間上流入流出質(zhì)量的增加量應(yīng)該等于由于密度變化而引起的質(zhì)量增加量。連續(xù)方程兩種形式：

第81頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五82

簡化（1）定常壓縮性流體，?ρ/?t=0，則連續(xù)方程變?yōu)榱黧w動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)適用范圍：理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。第82頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五83（2）非壓縮性流體，ρ＝常數(shù)，則連續(xù)方程變?yōu)樯鲜綖椴豢蓧嚎s流體三維流動(dòng)的連續(xù)性的方程。它的物理意義是：在同一時(shí)間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零；也就是說，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。

上式三項(xiàng)之和為流體的體積變形率(膨脹率或收縮率)，即單位時(shí)間內(nèi)單位流體的膨脹量或縮小量。也就是說不可壓縮流體的體積變形率為零，它的體積不會(huì)發(fā)生變化。第83頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五84在柱坐標(biāo)系中，連續(xù)方程式為式中ur,uθ,uz是速度u在r,θ,z坐標(biāo)上的分量。在球坐標(biāo)系中，連續(xù)方程式為其它坐標(biāo)系的連續(xù)方程第84頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五853.5

一維流動(dòng)的連續(xù)性方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律可以推導(dǎo)出流體流動(dòng)的連續(xù)性方程。設(shè)系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)量為m，則N=m,η=N/m=1,由質(zhì)量守恒定律,在選定的流動(dòng)系統(tǒng)的控制體內(nèi)的流體質(zhì)量是守恒的，有由式（3.18），系統(tǒng)內(nèi)流體質(zhì)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可用求得，此時(shí)，代入公式得在定常流動(dòng)的條件下，對于一維流動(dòng)，由于沒有流體流過管道壁面，所以有第85頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五3.5

一維流動(dòng)的連續(xù)性方程例題：水以2m/s的速度分別在直徑為25mm和50mm的管道內(nèi)流動(dòng)，如果這兩根管道也連接到直徑為75mm的第三根管道上并組成三通，求水在第三根管道內(nèi)的流速。解：根據(jù)質(zhì)量守恒定律或連續(xù)性方程

第86頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五873.6理想流體一維穩(wěn)定流動(dòng)（伯努里）能量方程1、歐拉方程在理想流體穩(wěn)定流動(dòng)中沿流線選一微小圓柱體為控制體，如圖，作用于微小控制體上沿s方向的力只有兩端壓力和質(zhì)量力在s方向的分力fs（單位質(zhì)量力），由牛頓第二定律第87頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五883.6理想流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程沿任意一根流線成立的，理想流體一元定常流動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉方程）為2、能量方程沿流線積分不可壓縮流體，單位質(zhì)量流體單位體積流體

單位重量流體

對于同一流線上的1點(diǎn)和2點(diǎn)可寫成流體微元流束的伯努里方程，也稱為能量方程。

第88頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五893.6理想流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程3、理想流體一維穩(wěn)定流動(dòng)能量方程的物理意義和幾何意義

（1）物理意義u2/2g表示單位重量流體的動(dòng)能，z代表單位重量流體的位置勢能，代表單位重量流體的壓力勢能。動(dòng)能和勢能的總和為單位重量流體的總機(jī)械能。伯努里方程的物理意義是：不可壓縮理想流體在重力場中作定常流動(dòng)時(shí)，同一條流線上各點(diǎn)的單位重量流體的總機(jī)械能是守恒的，但是動(dòng)能、位置勢能和壓力勢能是可以相互轉(zhuǎn)換的，這就是能量守恒與轉(zhuǎn)換定律在流體力學(xué)中應(yīng)用的表達(dá)形式。（2）幾何意義u2/2g稱為速度水頭(動(dòng)壓頭)，z稱為位置水頭，稱為壓力水頭，三項(xiàng)之和稱為總水頭(H)

，z+

為測壓管水頭(Hp)。第89頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五903.6理想流體一維穩(wěn)定流動(dòng)伯努里能量方程伯努里方程的幾何意義為：不可壓縮理想流體在重力場中作定常流動(dòng)時(shí)，同一條流線上的各點(diǎn)的總水頭線為一平行于基準(zhǔn)線的水平線，即單位重量流體的位置水頭，壓力水頭和速度水頭之和為常數(shù)，如下圖所示。第90頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五913.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化穩(wěn)定流動(dòng)中，如圖，垂直于流線上M點(diǎn)處取一微小圓柱體為控制體，柱軸與M點(diǎn)處流線的法線相重合，M點(diǎn)的曲率半徑為r。作用在微元柱體上沿r方向的力只有兩端壓力和單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力在r方向的分力fr。應(yīng)用牛頓第二定律，可以確定流線方向的壓力和速度的變化。當(dāng)作用在流體上的質(zhì)量力只有重力時(shí)，得第91頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五923.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化在伯努里常數(shù)沿r方向不變，對所有流線具有同一值時(shí)，由伯努里方程對r求導(dǎo)在彎曲流線的法線方向上，速度隨距曲率中心的距離的減小而增大，即，在彎曲管道中，內(nèi)側(cè)的速度高，外側(cè)的速度低。如果流線位于水平面上(z=0)，或者重力變化的影響可以忽略不計(jì)，則沿流線方向的壓力變化可以得到為因此，在彎曲流線法線方向上壓力隨距曲率中心的距離的增大而增加，即在彎曲管道的流動(dòng)中，內(nèi)側(cè)壓力小，外側(cè)壓力大。

第92頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五933.7沿流線主法線方向的壓力和速度變化對于流線為相互平行的直線的流動(dòng)，即r→∞時(shí)，可以得到設(shè)1和2是垂直于流線的過流斷面上的任意兩點(diǎn)，則即當(dāng)流線為相互平行的直線，流動(dòng)為漸變流或緩變流時(shí)，沿垂直于流線方向的過流斷面上的壓力分布服從于靜力學(xué)基本方程。第93頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五943.8粘性流體總流的伯努里方程粘性流體微元流束的伯努里方程h’w為單位重量流體自位置1到位置2時(shí)所消耗的總機(jī)械能，稱為流體的能量損失。粘性流體總流的伯努里方程

取兩個(gè)緩變流斷面1和2為控制面，面積分別為A1和A2。對于穩(wěn)定流動(dòng)，單位時(shí)間內(nèi)通過微元流束的流體重量為(或)，所以，在斷面1和2之間，該微元流束的能量關(guān)系為第94頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五953.8粘性流體總流的伯努里方程積分，可以得到單位時(shí)間內(nèi)通過1和2斷面之間的總流的能量關(guān)系式為為動(dòng)能修正系數(shù)，與管道內(nèi)速度分布有關(guān)。工業(yè)管道內(nèi)的流動(dòng)，

=1.01～1.10，因此，流動(dòng)計(jì)算中，一般近似地取=1，V代表管內(nèi)流動(dòng)的平均流速。第95頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五963.8粘性流體總流的伯努里方程在兩個(gè)緩變流斷面1和2之間，總流的單位重量流體的平均的能量損失為不可壓縮粘性流體總流的伯努里方程

(3.40)適用條件：1、在重力作用下不可壓縮粘性流體定常流動(dòng)2、任意兩個(gè)緩變流斷面，緩變流斷面之間有無急變流沒有影響。3、兩斷面之間如果有流體機(jī)械的作用，如泵與風(fēng)機(jī)或水輪機(jī)，并造成能量的輸入或輸出，則需要在方程的兩邊分別增加或減去流體機(jī)械輸入或輸出的能量hM。第96頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五973.8粘性流體總流的伯努里方程粘性流體中，因?yàn)榇嬖谡承阅Σ磷枇?，所以總流的機(jī)械能是逐漸減小的，即實(shí)際流體流動(dòng)的總水頭線是逐漸降低的，如圖。第97頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五983.8粘性流體總流的伯努里方程3、恒定氣體流動(dòng)的伯努里方程

斷面1和2處的相對壓力，一般稱為靜壓。斷面1和2處與氣流速度大小有關(guān)的壓力，稱為動(dòng)壓。與1和2兩斷面位置高度有關(guān)的壓力，稱為位壓。當(dāng)氣體密度與空氣密度接近或相等時(shí)，或者當(dāng)1和2兩個(gè)斷面位置高度差比較小時(shí)，位壓為0

靜壓與位壓之和稱為勢壓。靜壓和動(dòng)壓之和稱為全壓。靜壓、動(dòng)壓和位壓三項(xiàng)之和稱為總壓。第98頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五993.9伯努里方程的應(yīng)用伯努里方程在應(yīng)用過程中應(yīng)注意以下兩點(diǎn)。1）選擇基準(zhǔn)面，一般以流動(dòng)的最低點(diǎn)或兩個(gè)斷面中位置低的斷面為基準(zhǔn)面，或選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準(zhǔn)面必須選為水平面。。2）確定兩個(gè)斷面，一般以包含待求的未知參數(shù)和盡可能多的已知參數(shù)為斷面。特別注意與其他斷面相比面積比較大的斷面，如液面，其速度很小有時(shí)可以忽略，同時(shí)，自由液面和射流出口面的壓力等于大氣壓，液體受到的相對壓力為0。

第99頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1003)求解流量時(shí)，一般要結(jié)合一維流動(dòng)的連續(xù)性方程求解。伯努利方程的p1和p2應(yīng)為同一度量單位，同為絕對壓強(qiáng)或者同為相對壓強(qiáng)，p1和p2的問題與靜力學(xué)中的處理完全相同。4)有效截面上的參數(shù)，如速度、位置高度和壓強(qiáng)應(yīng)為同一點(diǎn)的，絕對不許在式中取有效截面上Ａ點(diǎn)的壓強(qiáng)，又取同一有效截面上另一點(diǎn)Ｂ的速度。第100頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1013.9伯努里方程的應(yīng)用例題3.3:

如圖，測量離心風(fēng)機(jī)的流量。風(fēng)機(jī)吸入管直徑，d=350mm，水槽中玻璃管內(nèi)水升高h(yuǎn)=100mm，空氣的密度，水的密度為，不考慮損失，求空氣的流量。解：取吸水玻璃管處為過流斷面1－1，在吸入口前的一定距離，空氣未受干擾處，取過流斷面0－0，其空氣壓力為大氣壓pa，空氣流速近似為0，V0≈0。取管軸線為基準(zhǔn)線，且hw1-2＝0，則列0－0和1－1兩個(gè)緩變流斷面之間的能量方程為第101頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1023.9伯努里方程的應(yīng)用例題3.5:

消防輸水系統(tǒng)如圖，噴嘴出口直徑為75mm，出口高度為12.5m，水池液面高度為10m，水泵高度為5m。如果水泵揚(yáng)程為24m，直徑為150mm的管道內(nèi)能量損失為，直徑為100mm的管道內(nèi)能量損失為，求1）水泵入口處壓力水頭，2）水泵功率，3）噴嘴功率，4）畫測壓管水頭和總水頭線。解：設(shè)直徑為150mm和100mm管道內(nèi)及噴嘴出口速度分別為v1、v2和v3。由連續(xù)性方程，有確定水池液面為0-0斷面，噴嘴出口為3-3斷面，以液面為基準(zhǔn)面，水泵能量輸入hM=24m，列0-0和3-3斷面的能量方程有

第102頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1033.9伯努里方程的應(yīng)用續(xù)例題3.5:

求得

150mm管道內(nèi)能量損失為=1.3m100mm管道內(nèi)能量損失為=16.0m1）水泵入口處壓力水頭

2）水泵功率3）噴嘴功率，噴嘴做功為壓力水頭和速度水頭的共同作用，所以有4）畫測壓管水頭線和總水頭線如圖

第103頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1043.9伯努里方程的應(yīng)用例題3.6:

空氣從爐膛入口進(jìn)入，在爐膛內(nèi)與燃料燃燒后變成煙氣，煙氣通過水平煙道經(jīng)煙囪排放到大氣中，如果煙氣密度為0.6kg/m3，煙道內(nèi)壓力損失為，煙囪內(nèi)壓力損失為，求煙囪出口處的煙氣速度V和煙道與煙囪底部接頭處的煙氣靜壓。其中，爐膛入口標(biāo)高為0m，煙道標(biāo)高為5m，煙囪出口標(biāo)高為40m，空氣密度為1.2kg/m3。解：以爐膛入口前和煙囪出口為1-1和2-2兩個(gè)斷面，由恒定氣流能量方程煙囪出口處煙氣速度列煙道出口和煙囪出口兩個(gè)斷面的能量方程，得所以，煙道出口處煙氣靜壓煙道出口與煙囪底部接頭處煙氣靜壓為負(fù)值，說明煙囪具有抽吸作用。

第104頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五105[例]

有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當(dāng)閥門關(guān)閉時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)為2.8個(gè)大氣壓強(qiáng)。而當(dāng)將閥門全開，水從管中流出時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)是0.6個(gè)大氣壓強(qiáng)，試求當(dāng)水管直徑d=12cm時(shí)，通過出口的體積流量(不計(jì)流動(dòng)損失)。第105頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五106[解]

當(dāng)閥門全開時(shí)列1-l、2-2截面的伯努利方程當(dāng)閥門關(guān)閉時(shí)，根據(jù)壓強(qiáng)計(jì)的讀數(shù)，應(yīng)用流體靜力學(xué)基本方程求出Ｈ值第106頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五107所以管內(nèi)流量

代入到伯努利方程第107頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五108[例]

水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：Ｕ形測壓管中水銀柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑

d2=0.05m，不計(jì)管中水頭損失，試求管中流量qv。第108頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五109[解]

首先計(jì)算1-1斷面管路中心的壓強(qiáng)。因?yàn)锳-B為等壓面，列等壓面方程得：列1-1和2-2斷面的伯努利方程第109頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五110由連續(xù)性方程：管中流量

將已知數(shù)據(jù)代入上式，得第110頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1113.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程工程中計(jì)算運(yùn)動(dòng)流體與固體壁面之間相互作用力或力矩，如計(jì)算彎管中流動(dòng)的流體對管壁的作用力、燃?xì)獍l(fā)動(dòng)機(jī)的推力、葉輪機(jī)械中流道內(nèi)流體對葉片的作用力及力矩等，需要應(yīng)用運(yùn)動(dòng)流體的動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程來分析。1、動(dòng)量方程根據(jù)實(shí)際流動(dòng)情況取控制體，它的邊界為控制面，其中的流體為系統(tǒng)。根據(jù)理論力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上諸外力的矢量和，即第111頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1123.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程利用系統(tǒng)內(nèi)任一物理量的總和對時(shí)間求全導(dǎo)數(shù)的公式（3.18）來推導(dǎo)動(dòng)量方程。系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的某種物理量的總和N設(shè)為動(dòng)量，即單位質(zhì)量流體的動(dòng)量為代入式（3.18）得在定常流動(dòng)條件下，上式右端第一項(xiàng)為零，所以有由動(dòng)量定律得到上式還可以寫成因?yàn)椋瑪嗝嫔纤俣萿分布不均勻，所以引入動(dòng)量修正系數(shù)則第112頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1133.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程與動(dòng)能修正系數(shù)相類似，工業(yè)管道內(nèi)的流體流動(dòng)，=1.01～1.10，在流動(dòng)計(jì)算問題中，一般近似地取=1。不可壓縮流體定常流動(dòng)的動(dòng)量方程。在x,y,z坐標(biāo)系下，當(dāng)qV1=qV2時(shí)，其投影值可以表示為注意：ΣF

一般是控制體受到的全部力的合力。第113頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1143.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程2、動(dòng)量矩方程根據(jù)理論力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，系統(tǒng)內(nèi)流體對某點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于作用于系統(tǒng)的外力對同一點(diǎn)的力矩的矢量和，即這里仍然用式（3.18）來求系統(tǒng)內(nèi)任一物理量的總和對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的某種物理量的總和N為動(dòng)量矩，即單位質(zhì)量流體的動(dòng)量矩為第114頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1153.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程代入式（3.18）得，在定常流動(dòng)條件下，上式右端第一項(xiàng)為零，即得或上式就是定常流動(dòng)條件下的流體流動(dòng)的動(dòng)量矩方程。動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程都是矢量方程，所以在使用時(shí)一定要注意應(yīng)該首先選擇一個(gè)合適的坐標(biāo)系，然后確定控制體并分析控制體內(nèi)流體的受力，注意受力是指流體受到的所有的力，最后求各項(xiàng)的投影值并代入方程進(jìn)行計(jì)算。第115頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五

控制體應(yīng)包括動(dòng)量(動(dòng)量矩)發(fā)生的全部流段，即應(yīng)對總流取控制體；控制體的兩端斷面要緊接所要分析的流段；控制體的邊界一般沿流向由固體邊壁、自由液面組成，垂直于流向則由過流斷面組成。

注意速度、流率的正、負(fù)動(dòng)量(動(dòng)量矩)方程的應(yīng)用步驟選取適當(dāng)?shù)倪^流斷面與控制體建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系投影軸可任意選取，以計(jì)算方便為宜。分析系統(tǒng)（控制體）的受力情況注意：不要遺漏，并以正負(fù)號表明力的方向；橫截面壓力的計(jì)算。分析控制體動(dòng)量(動(dòng)量矩)變化，列動(dòng)量(動(dòng)量矩)方程結(jié)合使用連續(xù)性方程及伯努利方程等求解第116頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五117

現(xiàn)以定轉(zhuǎn)速的離心式水泵或風(fēng)機(jī)為例來推導(dǎo)葉輪機(jī)中的定常流動(dòng)的動(dòng)量矩方程。如圖所示，取葉輪出、入口的圓柱面與葉輪側(cè)壁之間的整個(gè)葉輪流動(dòng)區(qū)域?yàn)榭刂企w。葉輪的速度三角形1—入口；2—出口；

—牽連速度；

—流體在葉輪內(nèi)的相對速度；

—流體的絕對速度。第117頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五118

假定葉輪葉片數(shù)目無限多，每個(gè)葉片的厚度均為無限薄，則流體在葉片間的相對速度必沿葉片型線的切線方向。于是將動(dòng)量矩方程式用于葉輪機(jī)時(shí)，需用絕對速度代替質(zhì)點(diǎn)速度。由于定常運(yùn)動(dòng)，故得葉輪機(jī)中的定常流動(dòng)的動(dòng)量矩方程由上圖中所示的速度三角形可以看出因而動(dòng)量矩可以寫成第118頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五119

因?yàn)槿~輪機(jī)的角速度為故葉輪機(jī)的功率或單位重量流體所作的功為

這是泵與風(fēng)機(jī)的基本方程。它首先由歐拉在1754年得到，故又稱歐拉方程。對于渦輪類機(jī)械（如水輪機(jī)等），流體從葉輪外緣2流入內(nèi)緣1，基本方程為第119頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五120[例]

混流式離心泵：固定控制體動(dòng)量矩方程

已知:

一小型混流離心泵如圖。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm，n=4000轉(zhuǎn)/分，vr2=3m/s。求：

(1)輸入軸矩Ts

(2)輸入軸功率解：取包圍整個(gè)葉輪的固定控制體CV，忽略體積力和表面力。設(shè)流動(dòng)是定常的，由連續(xù)性方程可得CV第120頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五121Vθ1=0,由歐拉渦輪機(jī)方程輸入功率為葉輪旋轉(zhuǎn)角速度為ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度為Vθ2=ωR2=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

第121頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1223.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程第122頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1233.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程例3.8：如圖，在水平面上的45°彎管，入口直徑d1=600mm，出口直徑d2=300mm，入口壓力p1=1.4,流量qV＝0.425m3/s，忽略阻力損失，試求水流對彎管的作用力。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，取彎頭處1－1、2－2斷面之間的水流為控制體。分析控制體內(nèi)水流受到的作用力為彎管對水流的作用力F（其值等于水流對彎管的作用力R，方向相反，其x、y軸上的分力為Rx

、Ry）

。和1－1、2－2斷面對控制體內(nèi)水流的壓力。根據(jù)連續(xù)性方程得。根據(jù)能量方程，第123頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1243.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程續(xù)例題3.8:將z1＝z2和已知數(shù)值代入，求得2－2截面的壓力為x方向：

y方向：

所以水流對彎管的作用力的大小為方向是與x軸成角Fx＝－32264NRx＝32264NFy＝7957.2NRy＝－7957.2N第124頁，共134頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)58分，星期五1253.9動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程例3.11：如圖葉片以勻ve沿x方向運(yùn)動(dòng)，截面積為A0的一股水流沿葉片切向以v0=120m/s射入葉片，并沿葉片流動(dòng)，最后從葉片出口處流出。已知A0＝0.001m2，

ve=60m/s,出口速度方向與水平線的夾角為