軸對稱和全等三角形專題

..全等三角形培優(yōu)輔導知識要點：全等三角形的定義：能夠的兩個三角形。全等三角形的性質：全等三角形對應邊,對應角,對應邊上的高,對應邊上的中線,周長,面積。全等變換的定義：只改變圖形的,而不改變其的圖形變換。判定三角形全等公理：邊角邊公理：。角邊角公理：。推論：〔AAS邊邊邊公理：。斜邊直角邊公理：的兩個直角三角形全等。用全等三角形證明線段相等或角相等的思路:①觀察要證的線段或角〔或者用等量代換后的線段或角在哪兩個可能全等的三角形之中；②分析要證全等的這兩個三角形,已知什么還缺什么條件；〔已知條件分為兩種：一個是題目給出的；一個是圖形中所隱含的,如公共角、公共邊、對頂角等；③設法證明出所缺條件；④當待證得線段或角不分布在兩個三角形中〔也找不到等量代換時,常需要添加輔助線構造出三角形,使它們分別包括一個所要證的線段或角。證題時常用的方法：〔1證角相等的方法：①對頂角相等；②同角〔或等角的余角〔或補角相等；③平行線同位角相等,內錯角相等；④角平分線定義；⑤等式性質；⑥全等三角形對應角相等?！?證線段相等常用方法：①中點定義；②全等三角形對應邊相等；③等式性質；④中垂線定義；⑤角平分線上的點到角的兩邊距離相等；⑥等腰〔等邊三角形的性質〔4證題常用分析方法：①綜合法：從已知出發(fā)用學過的定義、公理、定理得出結論；②分析法：從結論出發(fā)反過來尋找能使結論成立所需要的條件,這樣一步一步地逆求,一直到是結論成立的條件與已知條件吻合；③兩頭"湊"的方法：綜合上兩種方法來證明結論。角平分線的定義：把一個角分成兩個相等的角的射線。角平分線的性質定理：。逆定理也同時成立。逆定理也常作為角平分線的判定定理。全等三角形一些常見題型：探索條件型此類型題給出了結論,要求探索使該結論成立所具備的條件。一般地,依據(jù)三角形全等地判定方法,補充所缺少的條件。例：如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪些條件不能判定△ABM≌△CDNA.∠M=∠NB.AB=CDC.AM=CND.∠AMB=∠NCD二、探索結論型此類型題給出了限定條件,但結論并不唯一,要求根據(jù)所給條件探索可能得到的結論。例.〔20XXXX自治區(qū)如圖2,AB=AD,BC=CD,AC和BDABCDE相交于ABCDE正確結論?！膊灰砑幼帜负洼o助線,不要求證明結論1：結論2：結論3：三、探索方案型此類型題首先提供一個實際問題背景,按照問題的要求研究解決問題的合理方案。例：〔20XXXX市如圖,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是拿<>去配.③四、探索編擬問題型例.如圖,在△AFD和△BEC中,點A、E、F、C在同一直線上,有下列四個論斷：AD=CB,②AE=CF,③∠B＝∠D,④∠A＝∠C.請用其中三個作為條件余下一個作為結論,編一道數(shù)學題,并寫出解答過程。三角形全等的經(jīng)典類型類型一平移法構造全等三角形例已知：如圖,在ΔABC中,BE是角平分線,AD⊥BE,垂足為D。求證：∠BAD=∠DAE+∠C類型二翻折法構造全等三角形例已知：如圖,OP是∠AOC和∠BOD的平分線,OA=OC,OB=OD求證：AB=CD類型三補短法構造全等三角形例已知：如圖,在ΔABC中,∠C=2∠B,∠BAD=∠CAD,證明：ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ類型四截長法構造全等三角形例如圖,已知在ΔABC中,ＡＤ為ＢＣ邊上的高2∠C=∠B求證：ＣＤ＝ＡＢ＋ＢＤ類型五證明三點共線例如圖,BD、CE是ΔABC的中線,延長BD到F點,使DF=BD,延長CE到G點,使EG=CE求證：點G、A、F在一條直線上類型六角平分線與全等的綜合應用例如圖,OD平分∠AOB,在OA、OB邊上取OA=OB,PM⊥AD。求證：PM=PN小專題證明三角形全等的基本思路類型1已知兩邊對應相等方法1尋找第三邊對應相等,用"SSS"1．把四根木條做成如圖所示的四邊形ABCD,其中AB＝AD,CB＝CD,有人說它可以當成一個平分角的儀器,請你說明其中的道理．方法2尋找夾角對應相等,用"SAS"2．如圖,AB＝AD,AC＝AE,∠BAD＝∠CAE.求證：BC＝DE.類型2已知兩角對應相等方法1尋找夾邊對應相等,用"ASA"3．如圖,已知點D在△ABC的BC邊上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.求證：AE＝DF.方法2尋找任一對應角的對邊對應相等,用"AAS"4．兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF,按如圖所示的方式疊放,陰影部分為重疊部分,點O為邊AC和DF的交點,不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？類型3已知一邊一角對應相等方法1有一邊和該邊的對角對應相等,尋找另一角對應相等,用"AAS"5．如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90°,BD＝BC,CE⊥BD于點E.求證：AD＝BE.方法2有一邊和該邊的鄰角對應相等,尋找夾該角的另一邊對應相等,用"SAS"6．如圖,B、E、F、C四點在同一條直線上,AB＝DC,BE＝CF,∠B＝∠C,求證：OA＝OD.方法3有一邊和該邊的鄰角對應相等,尋找另一角對應相等,用"AAS"或"ASA"7．<北京中考>已知：如圖,D是AC上一點,AB＝DA,DE∥AB,∠B＝∠DAE.求證：BC＝AE.類型4全等基本圖形歸納<平移、旋轉、翻折>8．如圖,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝20°,若將△ABC沿CD折疊,使B點落在AC邊上的E處,則∠ADE的度數(shù)是〔A．30°B．40°C．50°D．55°9．如圖,已知點E,C在線段BF上,BE＝CF,AB∥DE,∠ACB＝∠F.求證：△ABC≌△DEF.10．如圖,Rt△ABC中,∠C＝90°,將△ABC沿AB向下翻折后,再繞點A按順時針方向旋轉α度<α＜∠BAC>,得到Rt△ADE,其中斜邊AE交BC于點F,直角邊DE分別交AB、BC于點G、H.求證：△AFB≌△AGE.11、<1>閱讀理解：如圖①,在△ABC中,若AB＝10,AC＝6,求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD,再連接BE<或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD>,把AB,AC,2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是________________________________________________________________________；<2>問題解決：如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證：BE＋CF＞EF；<3>問題拓展：如圖③,在四邊形ABCD中,∠B＋∠D＝180°,CB＝CD,∠BCD＝140°,以C為頂點作一個70°角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點,連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關系,并加以證明．<第4題>軸對稱知識點等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的兩條邊叫做腰,另一條邊叫做底,兩腰所夾得角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫做底角。定理1：等腰三角形的兩個底角相等〔等邊對等角。〔此定理常用來證明同一個三角形中兩角相等。此定理反過來也成立〔即等角對等邊?！渤Ｓ脕碜C明線段相等定理2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合?！踩€合一。只要知道其中一個結論,就可以得出其他兩個結論。注意：等腰三角形的底角只能為銳角,不能為鈍角〔或直角,但頂角可以為鈍角〔或直角。設腰廠為a,底邊長為b,則b/2＜a。等腰三角形中常用到的輔助線：〔1通常做底邊上的中線、高、或者頂角的平分線?！?邊有中點時常常要利用它做出中線。有二倍角時常用到的輔助線：〔1構造等腰三角形,使二倍角是等腰三角形的頂角的外角；〔2平分二倍角；〔3給較小的角加倍。知識重點掌握軸對稱的應用,能判別軸對稱圖形。知道垂直平分線的性質,會用這些性質證明一些結論。最重要的是會用等腰三角形的性質,會證明等腰三角形。典型例題類型一等腰三角形的熱點問題例如圖,AD是ΔABC的角平分線,BE⊥AD交AD的延長線于E,EF∥AC交AB于F。證明：AF=FB類型二等腰三角形的綜合應用例如圖,在ΔABC中,AB=AC,AE⊥BC于E,在BC上截取CD=CA,連接AD,若AD=BD,則∠DAE的度數(shù)是〔類型三利用垂直平分線的性質解題例如圖,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E。若ΔABC的周長為28,BC=8,求ΔBCE的周長.類型四構造直角坐標系解題例證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。類型五轉化思想例如圖,在ΔABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分線交AC于D。求證：AD=1/2DC.類型六數(shù)形結合例一搜輪船由西向東航行,在A處測得小島P的方位是北偏東75°,又航行7海里后,在B處測得小島P的方