離散數(shù)學(xué)教程-集合的基本概念課件

——集合的基本概念1.1集合的表示1.2集合的子集1.3笛卡爾積1.4集合的運(yùn)算1.5羅素悖論離散數(shù)學(xué)教程——集合的基本概念1.1集合的表示離散數(shù)學(xué)教程引言：什么是集合？一些自行車(chē)在計(jì)算機(jī)系車(chē)棚內(nèi)的自行車(chē)引言：什么是集合？一些自行車(chē)一些自行車(chē)不是集合，無(wú)法確定范圍和性質(zhì)在計(jì)算機(jī)系車(chē)棚內(nèi)的自行車(chē)是集合，可以確定范圍和性質(zhì)一些自行車(chē)1.1集合的表示

集合的定義?

<1>集合：具有共同性質(zhì)的一些東西匯集成一個(gè)整體。例：復(fù)旦大學(xué)教師<2>元素：構(gòu)成一個(gè)集合中的那些對(duì)象。

a∈Aa是A的元素，a屬于AaAa不是A的元素，a不屬于A例：吳永輝∈復(fù)旦大學(xué)教師，沈恩紹復(fù)旦大學(xué)教師常用大寫(xiě)字母表示集合，小寫(xiě)字母或數(shù)字表示元素1.1集合的表示集合的定義1.1集合的表示二集合的表示<1>列出集合中的元素：A={1,3,5,7,9}<2>描述集合中元素具有的共同性質(zhì)

{x|p(x)}：<3>通過(guò)某規(guī)則的計(jì)算來(lái)定義集合中的元素1.1集合的表示二集合的表示1.1集合的表示三術(shù)語(yǔ)<1>空集：不含任何元素的集合，記為<2>有/無(wú)限集：集合中有有限個(gè)元素/否則…..有限集A的元素個(gè)數(shù)稱為集合A的基數(shù)，記為|A|。集合中元素之間的次序是無(wú)關(guān)緊要的。<3>多重集：集合中元素可以重復(fù)出現(xiàn)<4>集合族：以集合為元素組成的集合<5>與{}是不同的：{}表示以為元素的集合。1.1集合的表示三術(shù)語(yǔ)例：設(shè)A,B,C是任意3個(gè)集合，如果AB,BC,則AC可能嗎？AC常真嗎？舉例說(shuō)明。/*集合論題集，經(jīng)典習(xí)題，集合基礎(chǔ)*/例：設(shè)A,B,C是任意3個(gè)集合，如果AB,BC,1.2集合的子集一文氏圖：用平面上封閉曲線包圍點(diǎn)集的圖形來(lái)表示集合圖1.1,圖1.21.2集合的子集一文氏圖：用平面上封閉曲線包圍點(diǎn)集的二定義1.1（子集）集合A,B，A的每一元素都是B的元素，則A是B的子集。AB或BA。特別：AA。此外，若存在元素aA,但aB,則A不是B的子集.二定義1.1（子集）三

定義1.2（集合相等與不相等）：集合A和B的元素全相同，則稱A和B相等，A=B；否則稱A和B不相等，AB。三定義1.2（集合相等與不相等）：集合A和B的元素全相同定理1.1

A=BAB并且BA。定理1.11.2集合的子集——證明的方法定理1.1：A=BAB并且BA?！爱?dāng)且僅當(dāng)”：證明由兩部分組成：1）由條件證明結(jié)論A=BAB并且BA2）由結(jié)論證明條件AB并且BAA=B1.2集合的子集——證明的方法定理1.1：A=BA證明：

A=BAB并且BA。因?yàn)锳=B，由定義A中的每個(gè)元素是在B中，所以AB，同理B中的每個(gè)元素是在A中，所以BA。

AB并且BAA=B。反證，如果AB，則A中至少有一個(gè)元素不在B中，與AB矛盾；或者B中至少有一個(gè)元素不在A中，與BA矛盾。所以AB不可能成立。所以A=B。證明：四定義1.3（真子集）：AB并且AB，則AB。（和不同：元素集合；集合集合）四定義1.3（真子集）：AB并且AB，則AB。例：設(shè)A,B,C是集合，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1)AB,BCAC;2)

AB,BCAC;3)

AB,BCAC;4)

AB,BCAC;5)aA,ABaB./*集合論題集，經(jīng)典習(xí)題，集合基礎(chǔ)*/例：設(shè)A,B,C是集合，判斷下列命題真假，如果為真，給出五定義1.4（全集）：在取定一個(gè)集合U以后，對(duì)于U的任何子集而言，稱U為全集。

五定義1.4（全集）：在取定一個(gè)集合U以后，對(duì)于U的任何子定理1.2：（1）A(2)AA(3)AU定理1.2：1.2集合的子集——證明的方法證明：（1）A(2)AA(3)AU（1）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，導(dǎo)出矛盾結(jié)果。不是A的子集，導(dǎo)致矛盾（2，3）基本法：由子集定義x左x右，則左右1.2集合的子集——證明的方法證明：（1）A證明：（1）A假設(shè)不是A的子集，則至少有一個(gè)元素x，使得x且xA。又因?yàn)槭强占?，它沒(méi)有元素，所以對(duì)任何x，必有x，導(dǎo)致矛盾。因此是集合A的子集。證明：（1）A反證法的證明步驟（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）進(jìn)行一系列的推理；（3）推理過(guò)程中出現(xiàn)下列情況中的一種：

1）與已知條件矛盾；

2）與公理矛盾；

3）與已知定理矛盾；（4）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來(lái)的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的（5）肯定原來(lái)命題是正確的。反證法的證明步驟（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；反證法的思想/思維過(guò)程“結(jié)論不成立”與“結(jié)論成立”必有一個(gè)正確。“結(jié)論不成立”會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤，推理過(guò)程、已知條件、公理和已知定理沒(méi)有錯(cuò)誤，惟一有錯(cuò)誤的是一開(kāi)始接假定的“結(jié)論不成立”，所以“結(jié)論不可能不成立”，即“結(jié)論成立”。反證法的思想/思維過(guò)程“結(jié)論不成立”與“1.2集合的子集六定義1.5（冪集）：

A的所有子集組成的集合稱為A的冪集。記為P(A)。例1.1（已知A，求冪集）定理1.3|P(A)|=2|A|證明方法：組合的方法1.2集合的子集六定義1.5（冪集）：求冪集——代數(shù)法P13習(xí)題1.13設(shè)A={a,{a}}，問(wèn)：(1){a}P(A)?{a}P(A)?(2){{a}}P(A)?{{a}}P(A)?(3)又設(shè)A={a,}，重復(fù)(1)、(2)。解:(1,2)首先求P(A)，代數(shù)法：代入：設(shè)x={a}，則A={a,x}；

P(A)={,{a},{x},{a,x}}；回代：P(A)={,{a},{{a}},{a,{a}}}求冪集——代數(shù)法P13習(xí)題1.13設(shè)A={a,P(A)={,{a},{{a}},{a,{a}}}{a}P(A){a}P(A){{a}}P(A){{a}}P(A)同理，用代入法，設(shè)x=，則A={a,x}；回代：P(A)={,{a},{},{a,}}，則{a}P(A)，{a}P(A)，{{a}}P(A)，{{a}}P(A)P(A)={,{a},{{a}},{a,{a}}}1.3笛卡爾積一定義1.6（有序?qū)Γ﹥蓚€(gè)對(duì)象按一定次序組成一對(duì)，稱為有序?qū)?a,b)。（a,b)=(c,d)a=c和b=d。1.3笛卡爾積一定義1.6（有序?qū)Γ┒x1.7（有序n元組）n個(gè)對(duì)象的序列a1,a2,……,an組成一組稱為有序n元組，記為(a1,a2,……,an)，其中ai稱為第i個(gè)分量。兩個(gè)有序n元組相等每個(gè)對(duì)應(yīng)分量相等。二定義1.7（有序n元組）1.3笛卡爾積三定義1.8（直積）兩個(gè)集合A和B，定義A和B的笛卡爾積為AB={(a,b)|aA,bB}，又稱AB為A和B的直積。1.3笛卡爾積三定義1.8（直積）1.3笛卡爾積四定義1.9（笛卡爾積）

n個(gè)集合A1,A2,……,An,A1A2……×An={(a1,a2,……,an)|aiAi,i=1,……,n}。若對(duì)所有i，Ai=A,則A1A2……×An記為An。1.3笛卡爾積四定義1.9（笛卡爾積）1.4集合的運(yùn)算一定義1.10(并，交，差，補(bǔ)，對(duì)稱差)(1)AB={x|xA或xB}(2)AB={x|xA且xB}(3)A-B={x|xA且xB}(4)?=U-A(5)AB=(A-B)(B-A)1.4集合的運(yùn)算一定義1.10(并，交，差，補(bǔ)，對(duì)例集合運(yùn)算：A={1,2,3,4,5},B={1,2,4,6},C={7,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B={1,2,4},A∩C=,A-B={3,5},A-C=A例集合運(yùn)算：A={1,2,3,4,5},離散數(shù)學(xué)教程——集合的基本概念課件1.4集合的運(yùn)算證明兩個(gè)集合相等，可用如下辦法：<1>基本法集合相等的充要條件是兩個(gè)集合互為子集；即，左式右式，右式左式。所以證明：x左式x右式；x右式x左式。經(jīng)典實(shí)例：例1.4，例1.5，例1.6證明理論基礎(chǔ)：定理1.1和定義1.1,1.2<2>公式法由集合運(yùn)算的基本性質(zhì)，通過(guò)推演，進(jìn)行證明。經(jīng)典實(shí)例：例1.7，例1.8證明理論基礎(chǔ)：定理1.4和定義1.101.4集合的運(yùn)算證明兩個(gè)集合相等，可用如下辦法：基本法例1.4A(BC)=(AB)(AC)證明：1）A(BC)(AB)(AC)任一xA(BC)x(AB)(AC)2）(AB)(AC)A(BC)任一x(AB)(AC)xA(BC)基本法例1.4A(BC)=(AB)(AC)基本法例1.5若AB,則(AB)=A,AB=B.證明：1）證(AB)=A思想：(AB)A；A(AB)2）證AB=B思想：ABB;BAB基本法例1.5若AB,則(AB)=A,AB=B例1.6證明:例1.6證明:1.4集合的運(yùn)算三定理1.4(集合運(yùn)算的基本性質(zhì))(1)冪等律AA=AAA=A(2)交換律AB=BAAB=BA(3)結(jié)合律A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C(4)分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)1.4集合的運(yùn)算三定理1.4(集合運(yùn)算的基本性質(zhì)1.4集合的運(yùn)算(5)恒等律AU=UAU=AA=AA=(6)取補(bǔ)律1.4集合的運(yùn)算(5)恒等律AU1.4集合的運(yùn)算(7)雙重補(bǔ)1.4集合的運(yùn)算(7)雙重補(bǔ)1.4集合的運(yùn)算(8)狄?摩根律1.4集合的運(yùn)算(8)狄?摩根律證明類(lèi)似于例1.4，例1.5，例1.6證明證明類(lèi)似于例1.4，例1.5，例1.6證明判斷題，為真給出證明，為假給出反例：若AB=AC，則B=C。/*北京大學(xué)1994考研*/判斷題，為真給出證明，為假給出反例：解：錯(cuò)誤。如果A為空集，則有AB=AC，即使BC，原式成立。解：錯(cuò)誤。公式法原則：1）根據(jù)集合運(yùn)算的定義，將集合運(yùn)算表達(dá)式中-和轉(zhuǎn)換為和；2）將補(bǔ)運(yùn)算作用到單一集合上；3）左式右式；右式左式；左式中間式，右式中間式；4）根據(jù)定義1.10和定理1.4轉(zhuǎn)換公式法原則：例：(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)例：(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)例1.7證明(AB)-(AC)=A(B-C)證明思想：將集合運(yùn)算表達(dá)式中-轉(zhuǎn)換例1.7證明(AB)-(AC)=A(B-C)例1.8證明AB=(AB)-(AB)證明思想：將集合運(yùn)算表達(dá)式中-和轉(zhuǎn)換例1.8證明AB=(AB)-(AB)P({})=

./*北京理工大學(xué)1999考研*/P({})=判斷題，為真給出證明，為假給出反例：（1）{}{x}-{{x}}（2）(AB)C=(AC)(BC)/*(1)北京大學(xué)1994考研,(2)上海交通大學(xué)2001考研*/判斷題，為真給出證明，為假給出反例：解：錯(cuò)誤。{x}-{{x}}={x}顯然，{}{x}不成立。解：錯(cuò)誤。冪集證明——基本法、冪集的定義證明：P(A)P(B)P(AB)，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件。/*上海交通大學(xué)1999考研*/冪集證明——基本法、冪集的定義證明：P(A)P(B)P(判斷下式是否成立，如果成立，則證明；否則舉出反例。P(A)P(B)=P(AB)/*上海交通大學(xué)2001考研*/判斷下式是否成立，如果成立，則證明；否則舉出反例。1.4集合的運(yùn)算四定義1.11(多個(gè)集合的并和交)

設(shè)集合A1,……,An，定義：A1……An={x|至少有某個(gè)i，1in，xAi}，稱為A1,……,An的并；A1……An={x|xAi，對(duì)一切i=1,…,n成立}，稱為A1,……,An的交。1.4集合的運(yùn)算四定義1.11(多個(gè)集合的并和交1.4集合的運(yùn)算五、多個(gè)集合的運(yùn)算，除對(duì)并（交）的結(jié)合律、交換律成立以外，還有(1)分配律B(A1A2…An)=(BA1)(BA2)…(BAn)B(A1A2…An)=(BA1)(BA2)…(BAn)(2)狄?摩根律1.4集合的運(yùn)算五、多個(gè)集合的運(yùn)算，除對(duì)并（交）的結(jié)合律1.4集合的運(yùn)算六、廣義并、廣義交1.定義（廣義并）設(shè)?為一個(gè)集合族，稱由?中全體元素的元素組成的集合成為的?廣義并集，記作?

，稱為廣義并運(yùn)算符，讀作“大并”。?={x|z(z?

并且xz)}例：?={{a,b},{c,d},{d,e,f}}?={a,b,c,d,e,f}.1.4集合的運(yùn)算六、廣義并、廣義交1.4集合的運(yùn)算2.定義（廣義交）設(shè)?為一個(gè)非空集合族，稱由?中全體元素的公共元素組成的集合成為的?廣義交集，記作?

，稱為廣義交運(yùn)算符，讀作“大交”。?={x|z(如果z?，則xz)}例：設(shè)?={{1,2,3},{1,a,b},{1,6,7}}?={1}1.4集合的運(yùn)算2.定義（廣義交）3.在廣義并與廣義交的運(yùn)算中，集合族中的元素仍看成集合族。例，給出下列集合族：?1={a,b,{c,d}},

?2={{a,b}},

?3={a},?4={,{}},?5=a(a),?6=?1=ab{c,d},?1=ab{c,d},?2={a,b},?2={a,b},?3=a,?3=a,?4={},?4=,?5=a,?5=a,?6=,?6無(wú)意義.3.在廣義并與廣義交的運(yùn)算中，集合族中的元素仍看成集合族設(shè),為集合族,試證明:(1)若,則;(2)若,則;(3)若,且,則;(4)若,則;(5)若,則.設(shè),為集合族,試證明:證明:(1)對(duì)于任意的x,

x,則存在A,A并且xA,所以A,則x.所以./*證明方法:基本法*/證明:(2)因?yàn)?由廣義并集定義,.(2)因?yàn)?由廣義并集定義,.(3)由于,所以,故與均有意義.對(duì)于任意的x,

x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的y,如果y,則xy.所以,如果y,則xy.所以x.所以.(3)由于,所以,故與均有意義.對(duì)(4),(5)的證明比較簡(jiǎn)單,請(qǐng)自行完成.(4),(5)的證明比較簡(jiǎn)單,請(qǐng)自行完成.1.5羅素悖論命題：能區(qū)別真假的陳述語(yǔ)句。例：我是學(xué)生。今天不下雨。上述兩個(gè)都是命題。因?yàn)樗鼈兌寄芘袆e真假。例：祝你一帆風(fēng)順！你明天下午出去嗎？上述兩個(gè)都不是命題。1.5羅素悖論命題：能區(qū)別真假的陳述語(yǔ)句。1.5羅素悖論一悖論一個(gè)命題Q，如果從Q為真，可以推導(dǎo)出Q為假；又從Q為非真推導(dǎo)出Q為真，命題Q是一個(gè)悖論。1.5羅素悖論一悖論二說(shuō)謊悖論和理發(fā)師悖論1，說(shuō)謊悖論我正在說(shuō)謊

我們要問(wèn):這個(gè)人是在說(shuō)謊還是在講真話?二說(shuō)謊悖論和理發(fā)師悖論如果他在說(shuō)謊,這表明他的斷言“我正在說(shuō)謊”是謊話,也就是說(shuō)他在講真話。

即他說(shuō)謊,推出他是講真話(即沒(méi)有說(shuō)謊)。另一方面,如果他講真話,這表明他的斷言“我正在說(shuō)謊”是真話,也就是說(shuō)他正說(shuō)謊話,

即他講真話,推出他在說(shuō)謊(即沒(méi)有講真話)。通過(guò)以上分析讓我們看到,以命題出現(xiàn)的斷言“我正在說(shuō)謊”就是一個(gè)悖論,因?yàn)槲覀儫o(wú)法斷言它的真?zhèn)?。如果他在說(shuō)謊,這表明他的斷言“我正在說(shuō)謊”是謊話,也就是說(shuō)2理發(fā)師悖論一個(gè)村上，有一個(gè)理發(fā)師宣布他給而且只給所有自己不替自己理發(fā)的人理發(fā)?，F(xiàn)在要問(wèn):誰(shuí)給這個(gè)理發(fā)師理發(fā)?2理發(fā)師悖論如果理發(fā)師的頭由別人給他理,也就是說(shuō)理發(fā)師自己不替自己理發(fā),那么按照規(guī)定,這位理發(fā)師應(yīng)該給自己理發(fā)。另一方面,如果理發(fā)師的頭由自己理,那么按照規(guī)定,理發(fā)師不能給自己理發(fā)。因此上述也是一個(gè)悖論：理發(fā)師的頭由別人來(lái)理,不行；理發(fā)師的頭由自己理,也不行。如果理發(fā)師的頭由別人給他理,也就是說(shuō)理發(fā)師自己不替自己理發(fā)理發(fā)師悖論的數(shù)學(xué)化表示：設(shè)S={自己給自己理發(fā)的人}

若理發(fā)師S，即理發(fā)師是自己給自己理發(fā)的人，但由理發(fā)師所宣布的，他不該給自己理發(fā)，則理發(fā)師S；若理發(fā)師S，即理發(fā)師不是自己給自己理發(fā)的人，但由理發(fā)師所宣布的，他應(yīng)該給自己理發(fā)，則理發(fā)師S；理發(fā)師悖論的數(shù)學(xué)化表示：羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論：設(shè)S={集合A|AA}，問(wèn)SS還是SS？顯然S。羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論3悖論欣賞古希臘哲學(xué)問(wèn)題：鱷魚(yú)兩難中國(guó)民間故事：師徒打官司柏拉圖與蘇格拉底悖論3悖論欣賞古希臘哲學(xué)問(wèn)題：鱷魚(yú)兩難

一條鱷魚(yú)從一位母親手中搶走了一個(gè)小孩。鱷魚(yú)對(duì)孩子的母親說(shuō)：“請(qǐng)你回答，我會(huì)不會(huì)吃掉你的孩子，答對(duì)了，我就把孩子不加傷害地還給你；否則，就別怪我不客氣了！”孩子的母親回答：“你是要吃掉我的孩子的?！?/p>

鱷魚(yú)是否將孩子還給母親？古希臘哲學(xué)問(wèn)題：鱷魚(yú)兩難一條鱷魚(yú)從一位母親中國(guó)民間故事：師徒打官司

一位律師收徒弟，協(xié)議規(guī)定：“學(xué)成之后，打贏一場(chǎng)官司交給律師一兩銀子，打輸一場(chǎng)官司就不交。”弟子滿師后，打贏官司卻一直不交錢(qián)給老律師，老律師告到縣衙，和弟子打官司。

這場(chǎng)官司該如何裁決？中國(guó)民間故事：師徒打官司一位律師收徒弟，柏拉圖與蘇格拉底悖論柏拉圖說(shuō)：“蘇格拉底老師下面的話是假話?！碧K格拉底說(shuō)：“柏拉圖上面的話是對(duì)的。”柏拉圖、蘇格拉底二人的話是真話還是假話？柏拉圖與蘇格拉底悖論柏拉圖說(shuō)：“蘇格拉底老師下面的話是假話。4何謂集合？1897年，康托爾：一個(gè)集合就是指我們觀察到的或者在我們思維中的一些確定的、不同事物的總體；這些事物稱為該集合的元素。4何謂集合？1）某些集合是集合自身的元素如：所有不是蘋(píng)果的東西的集合

/*它本身就不是蘋(píng)果，它必須是此集合自身的元素*/2）問(wèn)題：一個(gè)由一切不是集合本身的元素組成的集合，這個(gè)集合是它本身的元素嗎？1）某些集合是集合自身的元素1.5羅素悖論

羅素悖論1）羅素將集合分成兩類(lèi)：一類(lèi)是集合A本身是A的一個(gè)元素，即AA；如上例；另一類(lèi)是集合A本身不是A的一個(gè)元素，即AA；例如26個(gè)英語(yǔ)字母組成的集合A，由于A本身不是一個(gè)字母，所以AA。1.5羅素悖論羅素悖論2）構(gòu)造一個(gè)集合S：S={A|AA}}，即，S是由滿足條件AA的那些A組成的一個(gè)新的集合。問(wèn):S是不是它自己的一個(gè)元素?即SS,還是SS？2）構(gòu)造一個(gè)集合S：S={A|AA}}，即，S是由滿足條件分析：如果SS,因?yàn)榧蟂由所有滿足條件AA的集合組成,由于SS,所以S滿足對(duì)于集合S中元素的定義，即S是集合S的元素，也就是說(shuō)SS。如果SS,因?yàn)镾中任一元素A都有AA,又由于SS,根據(jù)集合S的規(guī)定，知S不是集合S的元素,也就是說(shuō)SS。分析：2）羅素悖論既不是SS，也不是SS。2）羅素悖論羅素悖論的出現(xiàn),說(shuō)明樸素集合論有問(wèn)題,從而使數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)發(fā)生了動(dòng)搖（第3次數(shù)學(xué)危機(jī)）,引起了一些著名數(shù)學(xué)家的極大重視。羅素悖論的出現(xiàn),說(shuō)明樸素集合論有問(wèn)題,從而使數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)發(fā)生了

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中為了防止這類(lèi)悖論的出現(xiàn),產(chǎn)生各種公理化的集合論和不同的學(xué)派：1）蔡梅羅(Zermelo)創(chuàng)立集合論的一個(gè)公理系統(tǒng)；經(jīng)過(guò)費(fèi)蘭克爾(A.Fraenkel)改進(jìn)，形成著名的ZF系統(tǒng)；2）羅素也發(fā)表了他的集合論公理系統(tǒng)——類(lèi)型論；3）以后，JohnvonNenmann,P.Bernays,Godel等相繼建立了其他類(lèi)型的公理系統(tǒng)；在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中為了防止這類(lèi)悖論的出現(xiàn),產(chǎn)生沈恩紹集論與邏輯科學(xué)出版社沈恩紹集論與邏輯科學(xué)出版社經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算1.某學(xué)院學(xué)生選課情況如下：260人選藝術(shù)課，208人選生物課，160選計(jì)算機(jī)課，76人選藝術(shù)與生物課，48人選藝術(shù)與計(jì)算機(jī)課，62人選生物與計(jì)算機(jī)課，30人三門(mén)全選，150人三門(mén)都不選。問(wèn)1）共有多少名學(xué)生？2）有多少學(xué)生選藝術(shù)與生物課，但不選計(jì)算機(jī)課？3）有多少學(xué)生選藝術(shù)與計(jì)算機(jī)課，但不選生物課？經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算1.某學(xué)院學(xué)生選課情況經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算4）有多少學(xué)生選生物與計(jì)算機(jī)課，但不選藝術(shù)課？5）有多少學(xué)生選藝術(shù)課，但不選生物或計(jì)算機(jī)課？6）有多少學(xué)生選生物課，但不選藝術(shù)或計(jì)算機(jī)課？7）有多少學(xué)生選計(jì)算機(jī)課，但不選藝術(shù)或生物課？經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算4）有多少學(xué)生選生物與計(jì)算機(jī)課，但不集合運(yùn)算解題思想容斥原理：1）設(shè)A1,A2為有限集，則

|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。2）設(shè)A1,A2,……,An為有限集，則集合運(yùn)算解題思想容斥原理：3）設(shè)U為全集，A1,A2,……,An為U的有限子集，則3）設(shè)U為全集，A1,A2,……,An為U的有限子集，則集合運(yùn)算解題思想容斥原理（包含排斥）應(yīng)用1）討論的范圍是什么？即那些是全集中的元素？----某學(xué)院的學(xué)生全體構(gòu)成全集；2）將全集中的元素進(jìn)行分類(lèi)----按學(xué)生選課的情況進(jìn)行分類(lèi)：選修藝術(shù)課為具有性質(zhì)PA，選修生物課為具有性質(zhì)PB，選修計(jì)算機(jī)課為具有性質(zhì)PC，具有上述性質(zhì)的集合記為A,B,C；3）列出計(jì)算公式；4）用文氏圖輔助運(yùn)算。集合運(yùn)算解題思想容斥原理（包含排斥）應(yīng)用求解----按題意給出已知條件解：設(shè)A={選修藝術(shù)課學(xué)生}，B={選修生物課學(xué)生}，C={選修計(jì)算機(jī)課學(xué)生}。則|A|=260,|B|=208,|C|=160,|AB|=76,|AC|=48,|BC|=62,|ABC|=30,求解----按題意給出已知條件解：設(shè)A={選修藝術(shù)課學(xué)生}，求解----a)學(xué)生總數(shù)求解----a)學(xué)生總數(shù)求解----答案答案a)622b)46c)18d)32e)166f)100g)80求解----答案答案2.求1到250這250個(gè)整數(shù)中，至少能被2，3，5之一整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。2.求1到250這250個(gè)整數(shù)中，至少能被解：設(shè)A,B,C表示1到250這250個(gè)整數(shù)中，能分別被2，3，5整除的數(shù)的集合。則有：

|A|=125,|B|=83,|C|=50|AB|=41,|AC|=25,|BC|=16,|ABC|=8,

那么，|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|=184解：設(shè)A,B,C表示1到250這250個(gè)整數(shù)中，能分別被3.75名兒童到游樂(lè)場(chǎng)去玩。他們可以騎旋轉(zhuǎn)木馬，坐滑行鐵道，乘宇宙飛船。已知其中20人這3種東西都玩過(guò)，其中55人至少乘坐過(guò)其中的兩種。若每樣乘坐一次的費(fèi)用是0.5元，游樂(lè)場(chǎng)總共收入70元，試用容斥原理確定，在75名兒童中有多少兒童沒(méi)有乘坐其中任何一種。3.75名兒童到游樂(lè)場(chǎng)去玩。他們可以騎旋轉(zhuǎn)木馬，坐滑行經(jīng)典例題之二——證明方法反證法引用已知的結(jié)論來(lái)簡(jiǎn)化證明步驟證明兩個(gè)集合相等常用的方法經(jīng)典例題之二——證明方法反證法證明方法11)反證法。設(shè)A為一個(gè)集合，B為A的補(bǔ)集合，則AB=。證明：設(shè)AB，則存在非空元素xAB，故xA且xB，此與B為A的補(bǔ)集合矛盾。所以AB=。證明方法11)反證法。證明方法22)引用已知的結(jié)論來(lái)簡(jiǎn)化證明步驟。對(duì)任意的集合A，A。證明：反證法，假設(shè)存在一個(gè)集合A，使得A。即存在元素x，但xA。這與是空集矛盾?？占鲜俏ㄒ坏?。證明：設(shè)1和2都是空集合，由上題，12且21，則1=2。證明方法22)引用已知的結(jié)論來(lái)簡(jiǎn)化證明步驟。證明方法33）證明兩個(gè)集合相等常用的方法基本法，公式法習(xí)題1.3基本法習(xí)題1.11公式法證明方法33）證明兩個(gè)集合相等常用的方法證明方法練習(xí)1）設(shè)A為一個(gè)集合，B為A的補(bǔ)集，則AB=。證明：反證法。設(shè)AB，則存在xAB，所以xA，并且xB，矛盾。證明方法練習(xí)1）設(shè)A為一個(gè)集合，B為A的補(bǔ)集，則證明方法練習(xí)2）證明AB=BA。證明：分兩部分證明。首先證明左式是右式的子集，然后證明右式是左式的子集。若兩個(gè)集合互為子集時(shí)，必然相等。設(shè)任意xABxA或者xBxBA設(shè)任意xBAxA或者xBxAB證明方法練習(xí)2）證明AB=BA。經(jīng)典例題之三——是非判斷判斷命題是否正確，并說(shuō)明理由習(xí)題1.4,1.9.經(jīng)典例題之三——是非判斷判斷命題是否正確，并說(shuō)明理由習(xí)題1.4(1)AB,CD,(AC)(BD),基本法證明；

(AC)(BD),基本法證明；(2)WX,YZ,(WY)(XZ),反例：W={1,2},Y={1,3},X={1,2,3},Z={1,3,2}；則(WY)={1,2,3}，(XZ)={1,2,3}；

(WY)(XZ),反例：W={1,2},Y={1,3},X={1,2,4},Z={1,3,5}；則(WY)={1}，(XZ)={1}。習(xí)題1.4(1)AB,CD,習(xí)題1.9學(xué)生練習(xí)習(xí)題1.9學(xué)生練習(xí)經(jīng)典例題之四——冪集習(xí)題1.12代數(shù)法設(shè)A={},B=P(P(A)),問(wèn)：(1)B?B?(2){}B?{}B?(3){{}}B?{{}}B?/*重慶大學(xué)1998研究生入學(xué)考試試題*/經(jīng)典例題之四——冪集習(xí)題1.12代數(shù)法解：設(shè)x=,則P(A)={,{x}}={,{}};設(shè)x=,y={},則P(A)={x,y};所以，P(P(A))={,{x},{y},{x,y}};回代，P(P(A))={,{},{{}},{,{}}}.解：設(shè)x=,則P(A)={,{x}}={,{}B=P(P(A))={,{},{{}},{,{}}}.(1)B,B;(2){}B,{}B;(3){{}}B,{{}}B.B=P(P(A))={,{},{{}},{,例：設(shè)A和B為兩個(gè)集合，則P(A)∩P(B)=P(A∩B)證明思想：冪集定義和基本法例：設(shè)A和B為兩個(gè)集合，則P(A)∩P(B)=P(A∩B)證明：先證P(A)∩P(B)P(A∩B)；對(duì)任意XP(A)∩P(B),

有XP(A)且XP(B),

所以XA且XB,即XA∩B,因此XP(A∩B)；所以P(A)∩P(B)P(A∩B)；再證P(A∩B)P(A)∩P(B)；對(duì)任意XP(A∩B),

有XA∩B,即XA且XB,所以XP(A)且XP(B),

因此XP(A)∩P(B)；所以P(A∩B)P(A)∩P(B)。所以，P(A)∩P(B)=P(A∩B)證明：思考練習(xí)題——冪集性質(zhì)的證明1.對(duì)于任意的集合A和B,(1)ABP(A)P(B).(2)A=BP(A)=P(B)./*冪集定義和基本法*/思考練習(xí)題——冪集性質(zhì)的證明1.對(duì)于任意的集合A和B,2.對(duì)于任意的集合A和B,P(A)P(B)AB.2.對(duì)于任意的集合A和B,P(A)P(B)A3.對(duì)于任意的集合A和B,(1)P(A)P(B)=P(AB)(2)P(A)P(B)P(AB)3.對(duì)于任意的集合A和B,4.對(duì)于任意的集合A和B,P(A-B)(P(A)-P(B)){}.4.對(duì)于任意的集合A和B,P(A-B)(P(A)-P謝謝~謝謝~知識(shí)回顧KnowledgeReview祝您成功！知識(shí)回顧KnowledgeReview祝您成功！——集合的基本概念1.1集合的表示1.2集合的子集1.3笛卡爾積1.4集合的運(yùn)算1.5羅素悖論離散數(shù)學(xué)教程——集合的基本概念1.1集合的表示離散數(shù)學(xué)教程引言：什么是集合？一些自行車(chē)在計(jì)算機(jī)系車(chē)棚內(nèi)的自行車(chē)引言：什么是集合？一些自行車(chē)一些自行車(chē)不是集合，無(wú)法確定范圍和性質(zhì)在計(jì)算機(jī)系車(chē)棚內(nèi)的自行車(chē)是集合，可以確定范圍和性質(zhì)一些自行車(chē)1.1集合的表示

集合的定義?

<1>集合：具有共同性質(zhì)的一些東西匯集成一個(gè)整體。例：復(fù)旦大學(xué)教師<2>元素：構(gòu)成一個(gè)集合中的那些對(duì)象。

a∈Aa是A的元素，a屬于AaAa不是A的元素，a不屬于A例：吳永輝∈復(fù)旦大學(xué)教師，沈恩紹復(fù)旦大學(xué)教師常用大寫(xiě)字母表示集合，小寫(xiě)字母或數(shù)字表示元素1.1集合的表示集合的定義1.1集合的表示二集合的表示<1>列出集合中的元素：A={1,3,5,7,9}<2>描述集合中元素具有的共同性質(zhì)

{x|p(x)}：<3>通過(guò)某規(guī)則的計(jì)算來(lái)定義集合中的元素1.1集合的表示二集合的表示1.1集合的表示三術(shù)語(yǔ)<1>空集：不含任何元素的集合，記為<2>有/無(wú)限集：集合中有有限個(gè)元素/否則…..有限集A的元素個(gè)數(shù)稱為集合A的基數(shù)，記為|A|。集合中元素之間的次序是無(wú)關(guān)緊要的。<3>多重集：集合中元素可以重復(fù)出現(xiàn)<4>集合族：以集合為元素組成的集合<5>與{}是不同的：{}表示以為元素的集合。1.1集合的表示三術(shù)語(yǔ)例：設(shè)A,B,C是任意3個(gè)集合，如果AB,BC,則AC可能嗎？AC常真嗎？舉例說(shuō)明。/*集合論題集，經(jīng)典習(xí)題，集合基礎(chǔ)*/例：設(shè)A,B,C是任意3個(gè)集合，如果AB,BC,1.2集合的子集一文氏圖：用平面上封閉曲線包圍點(diǎn)集的圖形來(lái)表示集合圖1.1,圖1.21.2集合的子集一文氏圖：用平面上封閉曲線包圍點(diǎn)集的二定義1.1（子集）集合A,B，A的每一元素都是B的元素，則A是B的子集。AB或BA。特別：AA。此外，若存在元素aA,但aB,則A不是B的子集.二定義1.1（子集）三

定義1.2（集合相等與不相等）：集合A和B的元素全相同，則稱A和B相等，A=B；否則稱A和B不相等，AB。三定義1.2（集合相等與不相等）：集合A和B的元素全相同定理1.1

A=BAB并且BA。定理1.11.2集合的子集——證明的方法定理1.1：A=BAB并且BA。“當(dāng)且僅當(dāng)”：證明由兩部分組成：1）由條件證明結(jié)論A=BAB并且BA2）由結(jié)論證明條件AB并且BAA=B1.2集合的子集——證明的方法定理1.1：A=BA證明：

A=BAB并且BA。因?yàn)锳=B，由定義A中的每個(gè)元素是在B中，所以AB，同理B中的每個(gè)元素是在A中，所以BA。

AB并且BAA=B。反證，如果AB，則A中至少有一個(gè)元素不在B中，與AB矛盾；或者B中至少有一個(gè)元素不在A中，與BA矛盾。所以AB不可能成立。所以A=B。證明：四定義1.3（真子集）：AB并且AB，則AB。（和不同：元素集合；集合集合）四定義1.3（真子集）：AB并且AB，則AB。例：設(shè)A,B,C是集合，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1)AB,BCAC;2)

AB,BCAC;3)

AB,BCAC;4)

AB,BCAC;5)aA,ABaB./*集合論題集，經(jīng)典習(xí)題，集合基礎(chǔ)*/例：設(shè)A,B,C是集合，判斷下列命題真假，如果為真，給出五定義1.4（全集）：在取定一個(gè)集合U以后，對(duì)于U的任何子集而言，稱U為全集。

五定義1.4（全集）：在取定一個(gè)集合U以后，對(duì)于U的任何子定理1.2：（1）A(2)AA(3)AU定理1.2：1.2集合的子集——證明的方法證明：（1）A(2)AA(3)AU（1）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，導(dǎo)出矛盾結(jié)果。不是A的子集，導(dǎo)致矛盾（2，3）基本法：由子集定義x左x右，則左右1.2集合的子集——證明的方法證明：（1）A證明：（1）A假設(shè)不是A的子集，則至少有一個(gè)元素x，使得x且xA。又因?yàn)槭强占?，它沒(méi)有元素，所以對(duì)任何x，必有x，導(dǎo)致矛盾。因此是集合A的子集。證明：（1）A反證法的證明步驟（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）進(jìn)行一系列的推理；（3）推理過(guò)程中出現(xiàn)下列情況中的一種：

1）與已知條件矛盾；

2）與公理矛盾；

3）與已知定理矛盾；（4）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來(lái)的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的（5）肯定原來(lái)命題是正確的。反證法的證明步驟（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；反證法的思想/思維過(guò)程“結(jié)論不成立”與“結(jié)論成立”必有一個(gè)正確?！敖Y(jié)論不成立”會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤，推理過(guò)程、已知條件、公理和已知定理沒(méi)有錯(cuò)誤，惟一有錯(cuò)誤的是一開(kāi)始接假定的“結(jié)論不成立”，所以“結(jié)論不可能不成立”，即“結(jié)論成立”。反證法的思想/思維過(guò)程“結(jié)論不成立”與“1.2集合的子集六定義1.5（冪集）：

A的所有子集組成的集合稱為A的冪集。記為P(A)。例1.1（已知A，求冪集）定理1.3|P(A)|=2|A|證明方法：組合的方法1.2集合的子集六定義1.5（冪集）：求冪集——代數(shù)法P13習(xí)題1.13設(shè)A={a,{a}}，問(wèn)：(1){a}P(A)?{a}P(A)?(2){{a}}P(A)?{{a}}P(A)?(3)又設(shè)A={a,}，重復(fù)(1)、(2)。解:(1,2)首先求P(A)，代數(shù)法：代入：設(shè)x={a}，則A={a,x}；

P(A)={,{a},{x},{a,x}}；回代：P(A)={,{a},{{a}},{a,{a}}}求冪集——代數(shù)法P13習(xí)題1.13設(shè)A={a,P(A)={,{a},{{a}},{a,{a}}}{a}P(A){a}P(A){{a}}P(A){{a}}P(A)同理，用代入法，設(shè)x=，則A={a,x}；回代：P(A)={,{a},{},{a,}}，則{a}P(A)，{a}P(A)，{{a}}P(A)，{{a}}P(A)P(A)={,{a},{{a}},{a,{a}}}1.3笛卡爾積一定義1.6（有序?qū)Γ﹥蓚€(gè)對(duì)象按一定次序組成一對(duì)，稱為有序?qū)?a,b)。（a,b)=(c,d)a=c和b=d。1.3笛卡爾積一定義1.6（有序?qū)Γ┒x1.7（有序n元組）n個(gè)對(duì)象的序列a1,a2,……,an組成一組稱為有序n元組，記為(a1,a2,……,an)，其中ai稱為第i個(gè)分量。兩個(gè)有序n元組相等每個(gè)對(duì)應(yīng)分量相等。二定義1.7（有序n元組）1.3笛卡爾積三定義1.8（直積）兩個(gè)集合A和B，定義A和B的笛卡爾積為AB={(a,b)|aA,bB}，又稱AB為A和B的直積。1.3笛卡爾積三定義1.8（直積）1.3笛卡爾積四定義1.9（笛卡爾積）

n個(gè)集合A1,A2,……,An,A1A2……×An={(a1,a2,……,an)|aiAi,i=1,……,n}。若對(duì)所有i，Ai=A,則A1A2……×An記為An。1.3笛卡爾積四定義1.9（笛卡爾積）1.4集合的運(yùn)算一定義1.10(并，交，差，補(bǔ)，對(duì)稱差)(1)AB={x|xA或xB}(2)AB={x|xA且xB}(3)A-B={x|xA且xB}(4)?=U-A(5)AB=(A-B)(B-A)1.4集合的運(yùn)算一定義1.10(并，交，差，補(bǔ)，對(duì)例集合運(yùn)算：A={1,2,3,4,5},B={1,2,4,6},C={7,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B={1,2,4},A∩C=,A-B={3,5},A-C=A例集合運(yùn)算：A={1,2,3,4,5},離散數(shù)學(xué)教程——集合的基本概念課件1.4集合的運(yùn)算證明兩個(gè)集合相等，可用如下辦法：<1>基本法集合相等的充要條件是兩個(gè)集合互為子集；即，左式右式，右式左式。所以證明：x左式x右式；x右式x左式。經(jīng)典實(shí)例：例1.4，例1.5，例1.6證明理論基礎(chǔ)：定理1.1和定義1.1,1.2<2>公式法由集合運(yùn)算的基本性質(zhì)，通過(guò)推演，進(jìn)行證明。經(jīng)典實(shí)例：例1.7，例1.8證明理論基礎(chǔ)：定理1.4和定義1.101.4集合的運(yùn)算證明兩個(gè)集合相等，可用如下辦法：基本法例1.4A(BC)=(AB)(AC)證明：1）A(BC)(AB)(AC)任一xA(BC)x(AB)(AC)2）(AB)(AC)A(BC)任一x(AB)(AC)xA(BC)基本法例1.4A(BC)=(AB)(AC)基本法例1.5若AB,則(AB)=A,AB=B.證明：1）證(AB)=A思想：(AB)A；A(AB)2）證AB=B思想：ABB;BAB基本法例1.5若AB,則(AB)=A,AB=B例1.6證明:例1.6證明:1.4集合的運(yùn)算三定理1.4(集合運(yùn)算的基本性質(zhì))(1)冪等律AA=AAA=A(2)交換律AB=BAAB=BA(3)結(jié)合律A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C(4)分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)1.4集合的運(yùn)算三定理1.4(集合運(yùn)算的基本性質(zhì)1.4集合的運(yùn)算(5)恒等律AU=UAU=AA=AA=(6)取補(bǔ)律1.4集合的運(yùn)算(5)恒等律AU1.4集合的運(yùn)算(7)雙重補(bǔ)1.4集合的運(yùn)算(7)雙重補(bǔ)1.4集合的運(yùn)算(8)狄?摩根律1.4集合的運(yùn)算(8)狄?摩根律證明類(lèi)似于例1.4，例1.5，例1.6證明證明類(lèi)似于例1.4，例1.5，例1.6證明判斷題，為真給出證明，為假給出反例：若AB=AC，則B=C。/*北京大學(xué)1994考研*/判斷題，為真給出證明，為假給出反例：解：錯(cuò)誤。如果A為空集，則有AB=AC，即使BC，原式成立。解：錯(cuò)誤。公式法原則：1）根據(jù)集合運(yùn)算的定義，將集合運(yùn)算表達(dá)式中-和轉(zhuǎn)換為和；2）將補(bǔ)運(yùn)算作用到單一集合上；3）左式右式；右式左式；左式中間式，右式中間式；4）根據(jù)定義1.10和定理1.4轉(zhuǎn)換公式法原則：例：(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)例：(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)例1.7證明(AB)-(AC)=A(B-C)證明思想：將集合運(yùn)算表達(dá)式中-轉(zhuǎn)換例1.7證明(AB)-(AC)=A(B-C)例1.8證明AB=(AB)-(AB)證明思想：將集合運(yùn)算表達(dá)式中-和轉(zhuǎn)換例1.8證明AB=(AB)-(AB)P({})=

./*北京理工大學(xué)1999考研*/P({})=判斷題，為真給出證明，為假給出反例：（1）{}{x}-{{x}}（2）(AB)C=(AC)(BC)/*(1)北京大學(xué)1994考研,(2)上海交通大學(xué)2001考研*/判斷題，為真給出證明，為假給出反例：解：錯(cuò)誤。{x}-{{x}}={x}顯然，{}{x}不成立。解：錯(cuò)誤。冪集證明——基本法、冪集的定義證明：P(A)P(B)P(AB)，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件。/*上海交通大學(xué)1999考研*/冪集證明——基本法、冪集的定義證明：P(A)P(B)P(判斷下式是否成立，如果成立，則證明；否則舉出反例。P(A)P(B)=P(AB)/*上海交通大學(xué)2001考研*/判斷下式是否成立，如果成立，則證明；否則舉出反例。1.4集合的運(yùn)算四定義1.11(多個(gè)集合的并和交)

設(shè)集合A1,……,An，定義：A1……An={x|至少有某個(gè)i，1in，xAi}，稱為A1,……,An的并；A1……An={x|xAi，對(duì)一切i=1,…,n成立}，稱為A1,……,An的交。1.4集合的運(yùn)算四定義1.11(多個(gè)集合的并和交1.4集合的運(yùn)算五、多個(gè)集合的運(yùn)算，除對(duì)并（交）的結(jié)合律、交換律成立以外，還有(1)分配律B(A1A2…An)=(BA1)(BA2)…(BAn)B(A1A2…An)=(BA1)(BA2)…(BAn)(2)狄?摩根律1.4集合的運(yùn)算五、多個(gè)集合的運(yùn)算，除對(duì)并（交）的結(jié)合律1.4集合的運(yùn)算六、廣義并、廣義交1.定義（廣義并）設(shè)?為一個(gè)集合族，稱由?中全體元素的元素組成的集合成為的?廣義并集，記作?

，稱為廣義并運(yùn)算符，讀作“大并”。?={x|z(z?

并且xz)}例：?={{a,b},{c,d},{d,e,f}}?={a,b,c,d,e,f}.1.4集合的運(yùn)算六、廣義并、廣義交1.4集合的運(yùn)算2.定義（廣義交）設(shè)?為一個(gè)非空集合族，稱由?中全體元素的公共元素組成的集合成為的?廣義交集，記作?

，稱為廣義交運(yùn)算符，讀作“大交”。?={x|z(如果z?，則xz)}例：設(shè)?={{1,2,3},{1,a,b},{1,6,7}}?={1}1.4集合的運(yùn)算2.定義（廣義交）3.在廣義并與廣義交的運(yùn)算中，集合族中的元素仍看成集合族。例，給出下列集合族：?1={a,b,{c,d}},

?2={{a,b}},

?3={a},?4={,{}},?5=a(a),?6=?1=ab{c,d},?1=ab{c,d},?2={a,b},?2={a,b},?3=a,?3=a,?4={},?4=,?5=a,?5=a,?6=,?6無(wú)意義.3.在廣義并與廣義交的運(yùn)算中，集合族中的元素仍看成集合族設(shè),為集合族,試證明:(1)若,則;(2)若,則;(3)若,且,則;(4)若,則;(5)若,則.設(shè),為集合族,試證明:證明:(1)對(duì)于任意的x,

x,則存在A,A并且xA,所以A,則x.所以./*證明方法:基本法*/證明:(2)因?yàn)?由廣義并集定義,.(2)因?yàn)?由廣義并集定義,.(3)由于,所以,故與均有意義.對(duì)于任意的x,

x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的y,如果y,則xy.所以,如果y,則xy.所以x.所以.(3)由于,所以,故與均有意義.對(duì)(4),(5)的證明比較簡(jiǎn)單,請(qǐng)自行完成.(4),(5)的證明比較簡(jiǎn)單,請(qǐng)自行完成.1.5羅素悖論命題：能區(qū)別真假的陳述語(yǔ)句。例：我是學(xué)生。今天不下雨。上述兩個(gè)都是命題。因?yàn)樗鼈兌寄芘袆e真假。例：祝你一帆風(fēng)順！你明天下午出去嗎？上述兩個(gè)都不是命題。1.5羅素悖論命題：能區(qū)別真假的陳述語(yǔ)句。1.5羅素悖論一悖論一個(gè)命題Q，如果從Q為真，可以推導(dǎo)出Q為假；又從Q為非真推導(dǎo)出Q為真，命題Q是一個(gè)悖論。1.5羅素悖論一悖論二說(shuō)謊悖論和理發(fā)師悖論1，說(shuō)謊悖論我正在說(shuō)謊

我們要問(wèn):這個(gè)人是在說(shuō)謊還是在講真話?二說(shuō)謊悖論和理發(fā)師悖論如果他在說(shuō)謊,這表明他的斷言“我正在說(shuō)謊”是謊話,也就是說(shuō)他在講真話。

即他說(shuō)謊,推出他是講真話(即沒(méi)有說(shuō)謊)。另一方面,如果他講真話,這表明他的斷言“我正在說(shuō)謊”是真話,也就是說(shuō)他正說(shuō)謊話,

即他講真話,推出他在說(shuō)謊(即沒(méi)有講真話)。通過(guò)以上分析讓我們看到,以命題出現(xiàn)的斷言“我正在說(shuō)謊”就是一個(gè)悖論,因?yàn)槲覀儫o(wú)法斷言它的真?zhèn)?。如果他在說(shuō)謊,這表明他的斷言“我正在說(shuō)謊”是謊話,也就是說(shuō)2理發(fā)師悖論一個(gè)村上，有一個(gè)理發(fā)師宣布他給而且只給所有自己不替自己理發(fā)的人理發(fā)。現(xiàn)在要問(wèn):誰(shuí)給這個(gè)理發(fā)師理發(fā)?2理發(fā)師悖論如果理發(fā)師的頭由別人給他理,也就是說(shuō)理發(fā)師自己不替自己理發(fā),那么按照規(guī)定,這位理發(fā)師應(yīng)該給自己理發(fā)。另一方面,如果理發(fā)師的頭由自己理,那么按照規(guī)定,理發(fā)師不能給自己理發(fā)。因此上述也是一個(gè)悖論：理發(fā)師的頭由別人來(lái)理,不行；理發(fā)師的頭由自己理,也不行。如果理發(fā)師的頭由別人給他理,也就是說(shuō)理發(fā)師自己不替自己理發(fā)理發(fā)師悖論的數(shù)學(xué)化表示：設(shè)S={自己給自己理發(fā)的人}

若理發(fā)師S，即理發(fā)師是自己給自己理發(fā)的人，但由理發(fā)師所宣布的，他不該給自己理發(fā)，則理發(fā)師S；若理發(fā)師S，即理發(fā)師不是自己給自己理發(fā)的人，但由理發(fā)師所宣布的，他應(yīng)該給自己理發(fā)，則理發(fā)師S；理發(fā)師悖論的數(shù)學(xué)化表示：羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論：設(shè)S={集合A|AA}，問(wèn)SS還是SS？顯然S。羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論羅素將理發(fā)師悖論表示為數(shù)學(xué)悖論3悖論欣賞古希臘哲學(xué)問(wèn)題：鱷魚(yú)兩難中國(guó)民間故事：師徒打官司柏拉圖與蘇格拉底悖論3悖論欣賞古希臘哲學(xué)問(wèn)題：鱷魚(yú)兩難

一條鱷魚(yú)從一位母親手中搶走了一個(gè)小孩。鱷魚(yú)對(duì)孩子的母親說(shuō)：“請(qǐng)你回答，我會(huì)不會(huì)吃掉你的孩子，答對(duì)了，我就把孩子不加傷害地還給你；否則，就別怪我不客氣了！”孩子的母親回答：“你是要吃掉我的孩子的。”

鱷魚(yú)是否將孩子還給母親？古希臘哲學(xué)問(wèn)題：鱷魚(yú)兩難一條鱷魚(yú)從一位母親中國(guó)民間故事：師徒打官司

一位律師收徒弟，協(xié)議規(guī)定：“學(xué)成之后，打贏一場(chǎng)官司交給律師一兩銀子，打輸一場(chǎng)官司就不交。”弟子滿師后，打贏官司卻一直不交錢(qián)給老律師，老律師告到縣衙，和弟子打官司。

這場(chǎng)官司該如何裁決？中國(guó)民間故事：師徒打官司一位律師收徒弟，柏拉圖與蘇格拉底悖論柏拉圖說(shuō)：“蘇格拉底老師下面的話是假話?！碧K格拉底說(shuō)：“柏拉圖上面的話是對(duì)的?！卑乩瓐D、蘇格拉底二人的話是真話還是假話？柏拉圖與蘇格拉底悖論柏拉圖說(shuō)：“蘇格拉底老師下面的話是假話。4何謂集合？1897年，康托爾：一個(gè)集合就是指我們觀察到的或者在我們思維中的一些確定的、不同事物的總體；這些事物稱為該集合的元素。4何謂集合？1）某些集合是集合自身的元素如：所有不是蘋(píng)果的東西的集合

/*它本身就不是蘋(píng)果，它必須是此集合自身的元素*/2）問(wèn)題：一個(gè)由一切不是集合本身的元素組成的集合，這個(gè)集合是它本身的元素嗎？1）某些集合是集合自身的元素1.5羅素悖論

羅素悖論1）羅素將集合分成兩類(lèi)：一類(lèi)是集合A本身是A的一個(gè)元素，即AA；如上例；另一類(lèi)是集合A本身不是A的一個(gè)元素，即AA；例如26個(gè)英語(yǔ)字母組成的集合A，由于A本身不是一個(gè)字母，所以AA。1.5羅素悖論羅素悖論2）構(gòu)造一個(gè)集合S：S={A|AA}}，即，S是由滿足條件AA的那些A組成的一個(gè)新的集合。問(wèn):S是不是它自己的一個(gè)元素?即SS,還是SS？2）構(gòu)造一個(gè)集合S：S={A|AA}}，即，S是由滿足條件分析：如果SS,因?yàn)榧蟂由所有滿足條件AA的集合組成,由于SS,所以S滿足對(duì)于集合S中元素的定義，即S是集合S的元素，也就是說(shuō)SS。如果SS,因?yàn)镾中任一元素A都有AA,又由于SS,根據(jù)集合S的規(guī)定，知S不是集合S的元素,也就是說(shuō)SS。分析：2）羅素悖論既不是SS，也不是SS。2）羅素悖論羅素悖論的出現(xiàn),說(shuō)明樸素集合論有問(wèn)題,從而使數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)發(fā)生了動(dòng)搖（第3次數(shù)學(xué)危機(jī)）,引起了一些著名數(shù)學(xué)家的極大重視。羅素悖論的出現(xiàn),說(shuō)明樸素集合論有問(wèn)題,從而使數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)發(fā)生了

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中為了防止這類(lèi)悖論的出現(xiàn),產(chǎn)生各種公理化的集合論和不同的學(xué)派：1）蔡梅羅(Zermelo)創(chuàng)立集合論的一個(gè)公理系統(tǒng)；經(jīng)過(guò)費(fèi)蘭克爾(A.Fraenkel)改進(jìn)，形成著名的ZF系統(tǒng)；2）羅素也發(fā)表了他的集合論公理系統(tǒng)——類(lèi)型論；3）以后，JohnvonNenmann,P.Bernays,Godel等相繼建立了其他類(lèi)型的公理系統(tǒng)；在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中為了防止這類(lèi)悖論的出現(xiàn),產(chǎn)生沈恩紹集論與邏輯科學(xué)出版社沈恩紹集論與邏輯科學(xué)出版社經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算1.某學(xué)院學(xué)生選課情況如下：260人選藝術(shù)課，208人選生物課，160選計(jì)算機(jī)課，76人選藝術(shù)與生物課，48人選藝術(shù)與計(jì)算機(jī)課，62人選生物與計(jì)算機(jī)課，30人三門(mén)全選，150人三門(mén)都不選。問(wèn)1）共有多少名學(xué)生？2）有多少學(xué)生選藝術(shù)與生物課，但不選計(jì)算機(jī)課？3）有多少學(xué)生選藝術(shù)與計(jì)算機(jī)課，但不選生物課？經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算1.某學(xué)院學(xué)生選課情況經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算4）有多少學(xué)生選生物與計(jì)算機(jī)課，但不選藝術(shù)課？5）有多少學(xué)生選藝術(shù)課，但不選生物或計(jì)算機(jī)課？6）有多少學(xué)生選生物課，但不選藝術(shù)或計(jì)算機(jī)課？7）有多少學(xué)生選計(jì)算機(jī)課，但不選藝術(shù)或生物課？經(jīng)典例題之一——集合運(yùn)算4）有多少學(xué)生選生物與計(jì)算機(jī)課，但不集合運(yùn)算解題思想容斥原理：1）設(shè)A1,A2為有限集，則

|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。2）設(shè)A1,A2,……,An為有限集，則集合運(yùn)算解題思想容斥原理：