2021年廣西壯族自治區(qū)桂林市偉江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

2021年廣西壯族自治區(qū)桂林市偉江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓，為左、右焦點，、、、分別是其左、右、上、下頂點，直線交直線于點，若為直角，則此橢圓的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則其公比為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C略3..已知復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A.0 B. C.1 D.參考答案：C【分析】先求出復(fù)數(shù)z,再求|z|得解.【詳解】由題得故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.若且，則()．參考答案：B5.設(shè)，則＝()A．

B．

C.

D.參考答案：A6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.參考答案：C【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有六個交點的問題，結(jié)合函數(shù)的解析式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的變化情況，由函數(shù)圖像即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)有6個零點，等價于函數(shù)與有6個交點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，的極大值為：，作出函數(shù)的圖象如下圖，與的圖象有6個交點，須，表示為區(qū)間形式即.故選：C.【點睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖像的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7.設(shè)，，則S∩T=（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選D【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．8.為了考察兩個變量x、y的線性相關(guān)關(guān)系，李明與李達(dá)分別獨立做了30次、50次試驗.

已知兩人試驗中x、y的平均值恰好相等，均為，兩人分別求得回歸直線,那么A．相交于點（m,n)

B．重合C．平行

D．垂直參考答案：A9.已知直線和平面、滿足，，．在，，這三個關(guān)系中，以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論所構(gòu)成的命題中，真命題的個數(shù)是A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：答案：C10.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B由題意可得，故答案選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f（x）=sinx及直線x=a（a∈（0，2π）與x軸圍成．向矩形OABC內(nèi)隨機擲一點，該點落在陰影部分的概率為，則a=．參考答案：π【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式，以及利用積分求出陰影部分的面積即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，陰影部分的面積為==1﹣cosa，矩形的面積為，則由幾何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案為：π【點評】本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)積分的幾何意義求出陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．12.若是上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象必過定點

參考答案：略13.直線的傾斜角是__________．參考答案：直線為，傾斜角，．14.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，，則

．參考答案：－11試題分析：通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得，代入所求式可知答案－11．

15.設(shè)，函數(shù)（其中表示對于，當(dāng)時表達(dá)式的最大值），則的最小值為

．參考答案：

16.已知數(shù)列{an}中，a1=,an+1=an+，則an=________．參考答案：或或17.已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為

參考答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）若對都有是常數(shù)）,求的取值范圍．參考答案：解：（1）當(dāng)時，不等式即顯然，當(dāng)時，原不等式可化為：

當(dāng)時，原不等式可化為：或或∴

綜上得：當(dāng)時，原不等式的解集為（2）∵對都有，顯然即對，恒成立對，設(shè)，，則對，恒成立，∵當(dāng)時

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴--9分

又∵＝，當(dāng)即時，對于，

∴函數(shù)在上為減函數(shù)∴.當(dāng)，即時，當(dāng)，

當(dāng)，

∴在上，（或當(dāng)時，在上，，當(dāng)時取等號）又∵當(dāng)時，要即還需滿足解得∴當(dāng)時，；---13分

當(dāng)時，．略19.如圖，在直三棱柱中，分別是的中點.(I)證明：；(II)求二面角的余弦值參考答案：【知識點】直線與平面的位置關(guān)系；二面角.G3,G4【答案解析】解析：(I)證明：如圖，E是的中點，取為BC的中點G，連接EG、AG、ED，在中，四邊形ADEF為平行四邊形，，又所以

(II)解：如圖，以B為原點，BC，BA，,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則直三棱柱，，如圖，連接BD，在，即，BD是CD在平面內(nèi)的射影，，所以二面角的余弦值為【思路點撥】根據(jù)已知條件可判定直線與平面平行，再建立空間坐標(biāo)系求出二面角的余弦值.20.如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC的邊于D，E，F(xiàn)，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G．（1）求證：圓心O在直線AD上．（2）求證：點C是線段GD的中點．參考答案：考點：圓的切線的性質(zhì)定理的證明．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)題意，易得CD=BD，又由△ABC是等腰三角形，即AD是∠CAB的角分線，即可證明；（2）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，結(jié)合圓切線的性質(zhì)，易得CG=CF=CD，即可證明．解答： 證明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分線∴圓心O在直線AD上．（II）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O與AC相切于點F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴點C是線段GD的中點．點評：本題利用了切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和為360度及圓周角定理求解．21.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解關(guān)于m的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化為①或②或③，…（3分）解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，綜合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集為{x|﹣＜x＜}．…（Ⅱ）因為∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，當(dāng)且僅當(dāng)﹣≤x≤時，等號成立，即f（x）min=4，…（8分）又不等式f（x）≤|3m+1|有解，則|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…（10分）【點評】本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．22.（14分）已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣2x，g（x）=﹣ax2+ax﹣2，（a＞1）．（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；（II）證明：f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．參考答案：見解析【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（I）首先對f（x）求導(dǎo)，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；即可得到單調(diào)區(qū)間與最值；（II）要證f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立，可令h（x）=f（x）﹣g（x），判斷h（x）的單調(diào)性即可．【解答】解：（I）由題意f（x）的定義域為（0，+∞），∵f（x）=xlnx﹣2x，∴f'（x）=lnx+1﹣2=lnx﹣1，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e）；∴函數(shù)f（x）的最小值為f（e）=elne﹣2e=﹣e；證明：（II）令h（x）=f（x）﹣g（x），∵f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）min≥0，x∈[1，+∞）．∵h(yuǎn)（x）=xlnx+ax2﹣ax﹣2x+2，∴h'（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，令m（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，x∈[1，+∞），則m'（x）=+2a，∵x＞1