2矢量函數(shù)課件

2.3矢量函數(shù)在矢量代數(shù)中所涉及的矢量都是大小和方向保持不變（注：零矢量的方向為任意的。但在矢量分析中仍將其作為一特殊的常矢量）的常矢量。一旦矢量的大小或方向（或大小和方向）隨某一參數(shù)的不同取值（這里的參數(shù)取為實數(shù)）而變化時，這樣的矢量稱為變矢量。由此引入矢量函數(shù)的概念。

設t是實變參數(shù)，x是變矢量。如果t在確定的實數(shù)域中的每一個值，都有確定變矢量x按確定的法則與之對應。則x與t的對應法則：

x=x(t)

（2.3-1）

稱為矢量函數(shù)。或稱為x為實數(shù)自變量的矢量值函數(shù)。

實數(shù)自變量的取值域（實數(shù)域）稱為定義域。與定義域的每一個取值對應的矢量函數(shù)值集合稱為矢量函數(shù)的值域。2.3矢量函數(shù)在矢量代數(shù)中所涉及的矢量都是大小和方向保持1v

1v

1v

bv

bv

av

av

0v

0s1bas0osx

1x

2i

1i

2圖2－9矢量函數(shù)與實變函數(shù)論中的函數(shù)一個重要的區(qū)別是：

實變函數(shù)的每一個自變量的取值對應著唯一函數(shù)值；矢量的每一個自變量的取值對應著唯一的按平行性確定的自由矢量類（自變量的每一個取值對應著具有唯一大小和方向的所有相互平行的自由矢量）。

正是由于矢量函數(shù)的這一特點使得矢量函數(shù)x(t)的變化狀態(tài)能夠用幾何圖形表示。

如質(zhì)點在平面上沿曲線s以大小

度沿曲線s的切線方向從

s0運動至

s1（見圖2－9）。以時間t作為參數(shù)。質(zhì)點的速度矢量作為時間t的函數(shù)為

的速圖2－9給出了

時的

四個矢量。于這四個矢量都是自由矢量，且

個矢量的起點按平行性移至o點。顯然這四個位置矢量描述了。將這四四個時刻的速度矢量。

由v1v1vbvbvavav0v0s1bas2當參數(shù)t由t0到t1連續(xù)變化時，v(t)的每一個取值所對應（按平行性）位置矢量的終點在x1ox2平面內(nèi)描繪一條曲線——矢端曲線。矢端曲線也稱為矢量函數(shù)的圖形。

更一般地有：對矢量函數(shù)x(t)的終點所描繪的曲線稱為矢端曲線或稱為x(t)的圖形。而（2.3-1）式稱為矢量方程。

例12：

已知小球在四分之一圓弧軌道中運動。圓弧軌道半徑R=50cm，小球運動速度的大小

o

x

2

x

1

v

(

φ

)φφ圖2－10。試求小球速度矢量方程；并在圖解：以上各

φ值對應的v，將起點移至（按平行性）o點所得矢端曲線如圖所示。中畫出小球速度的矢端曲線。

當參數(shù)t由t0到t1連續(xù)變化時，v(t)的每一個取值所對應（3給定的標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}：

位置矢量r處的自由矢量x在A點基底i1，i2上的坐標與將x平移至o點的矢量的坐標相同。

當x是某一參數(shù)t的矢量函數(shù)時，對任意給定的t值，x(t)就是{o；i1，i2，i3}坐標系中的確定自由矢量。且：

（2.3-2）

式中x1(t),x2(t),

x3(t)是參數(shù)t取給定值時x(t)自由矢量在基底i1，i2，i3上的坐標。圖2－11給出二維矢量空間的示意。

orxx

2x1i

2i

2i

1i

1圖2－11（2.3-2）式中的x1(t),x2(t),

x3(t)稱為矢量

x(t)的參數(shù)方程。參數(shù)方程在{o；i1，i2，i3}中描繪的曲線正是矢端曲線。

對依賴多個參數(shù)變化的矢量，類似式（2.3-1）和（2.3-2）可定義多參數(shù)變量的矢量函數(shù)。設矢量x依賴參數(shù)

。則：

（2.3-3）

給定的標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}：位置矢量r處4（2.3-4）

稱為多參數(shù)變量矢量函數(shù)的矢量方程。

稱為多參數(shù)變量矢量函數(shù)的參數(shù)方程。參數(shù)方程在{o；i1，i2，i3}中描繪的曲線稱為矢端曲線（面）。

具有一個參數(shù)的矢量函數(shù)矢端曲線（二維映射分析）：

設x=x(t),

b≤t≤a。在平面坐標系{o；i1，i2}中，矢量x隨t的變化，且：

x

1x

2x

1(

t

*)x

2

(

t

*)t

*a0boi

1i

2圖2－12x完全由x1(t),x2(t)的變化確定。對t的每一個給定值t=t*(b≤t*≤a)，由

x1(t),x2(t)在i1，i2坐標軸上確定兩個點。其坐標值為

（如圖2－12所示）。

同時在坐標系{o；i1，i2}中

坐標確定一點A*。位置矢量

，b]區(qū)間的不同取值x(t)位置矢量平面描繪一條曲線。

顯然隨t在[a（2.3-4）稱為多參數(shù)變量矢量函數(shù)的矢量方程。稱為多參5對矢量函數(shù)：

ox

1x

2t

2t

1oB

1B

2A

2A

1b

2b1

a

2a

1圖2-13當t2

=b2時：由于b2是一固定值，因此x=x(t1,b2)只隨t1參數(shù)在[a1，b1]區(qū)間的不同取值而變化。且隨t1的變化x(t1,b2)在x1ox2平面內(nèi)描繪一條曲線(矢端曲線)A1B1。同理當

t2=a2時x(t1,a2)，在

x1ox2平面內(nèi)描繪一條曲線(矢端曲線)A2B2。顯然當t2從a2到b2連續(xù)取值時，x(t1,t2)在x1ox2平面內(nèi)A1B1到A2B2的一組連續(xù)曲線構成的曲面。如圖2－13所示。

（注：在二維矢量空間是一平面；在三維矢量空間是空間曲面。在大于三維的矢是空間是超曲面）。

該曲面（或超曲面）稱為矢端曲面。

對矢量函數(shù)：ox1x2t2t1oB1B2A263π/4x

1x

2oo211-121rθπ/4θ=

π/4θ=

π/3θ=

2π/3θ=

3π/4圖2－14例13：

若，試求當

時的矢端曲面。

解：當

時：

當

時：

當r=1時：

當r=2時：

結果如圖圖2－13所示

。3π/4x1x2oo211-121rθπ/4θ=π/472.4矢量函數(shù)分析在實變函數(shù)理論中。一旦函數(shù)給定，對函數(shù)可進行極限運算、連續(xù)性及微分積分的分析。對矢量函數(shù)，當引入極限的定義后，同樣可以進行極限運算、連續(xù)性及微積分的分析。以下主要討論單參數(shù)矢量函數(shù)的極限運算、連續(xù)性及微分積分的分析。并且對連續(xù)的矢量函數(shù)，單參數(shù)矢量函數(shù)的分析結論很容易推廣到多個參數(shù)的矢量函數(shù)分析中。

2.4矢量函數(shù)分析在實變函數(shù)理論中。一旦函數(shù)給定，對函數(shù)8設x=x(t)在t的取值域內(nèi)的某確定點t0的鄰域內(nèi)有定義。且存在一常矢量x0使得對任意給定的正數(shù)ε都存在一個正數(shù)

δ,當滿足：時?？傆惺噶縳(t)與矢量x0之差的模滿足：成立。則稱當時x0是x=x(t)的極限。且記為：對給定的{o；i1，i2，i3}坐標系x=x(t)可表示為：（2.4-1）顯然當x=x(t)在t0的極限存在。則：這等價于：因此有如下結論：（2.4-2）設x=x(t)在t的取值域內(nèi)的某確定點t0的鄰域內(nèi)有定9這一結論推廣到多個參數(shù)矢量函數(shù)中可表述為：若矢量在{o；i1，i2，i3}坐標中的表示：的坐標當時的極限存在，且極限值為，則當時的極限存在。且的極限為：（2.4-3）矢量函數(shù)的極限運算法則：

（證明略）（2.4-4）這一結論推廣到多個參數(shù)矢量函數(shù)中可表述為：若矢量在{o；i10矢量函數(shù)x=x(t)的連續(xù)性：

參數(shù)t變化時x=x(t)方向變化的連續(xù)性和x=x(t)大小變化的連續(xù)性確定矢量函數(shù)x=x(t)的連續(xù)性。矢量x=x(t)在t0點的左極限（t從t0的左面趨于t0）和右極限（t從t0的右面趨于t0）分別為：矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-5）則稱x(t)在t0點的矢量方向變化是連續(xù)的。當x(t)在參數(shù)的某一區(qū)間內(nèi)的取值每一點都滿足（2.4-5）式時，則稱x(t)在參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)的矢量方向變化是連續(xù)的。矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-6）則稱x(t)在t0點的矢量大小變化是連續(xù)的。當x(t)在參數(shù)的某一區(qū)間內(nèi)的取值每一點都滿足（2.4-5）式時，則稱x(t)在參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)的矢量大小變化是連續(xù)的。矢量函數(shù)x=x(t)的連續(xù)性：參數(shù)t變化時x=11矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-7）則稱x(t)在t0點的矢量變化是連續(xù)的。當x(t)在參數(shù)的某一區(qū)間內(nèi)的取值每一點都滿足（2.4-5）式時，則稱x(t)在參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)的矢量變化是連續(xù)的。例14：已知矢量函數(shù)：1．2．3．試分析矢量函數(shù)的連續(xù)性；并畫出矢量的矢端曲線。解：矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-7）則稱x121-11x1i1i

2x2(a)1-1-11i

2x2x1i1(b)圖2－15x2-2-21-1-11i

2x1i11(c)1．在[0,π]區(qū)間內(nèi)：對0≦t

≤

π的任意取值都有：因此矢量函數(shù)x(t)是連續(xù)的矢量函數(shù)。矢端曲線如圖2－15（a）所示。2．在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)：在[π/2,π]區(qū)間內(nèi)：1-11x1i1i2x2(a)1-1-11i2x13顯然在[0,π]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)的大小變化是連續(xù)的；在[0,π/2]區(qū)間和在[π/2,π]區(qū)間矢量函數(shù)的方向變化是連續(xù)的。但在t

=π/2時矢量函數(shù)x(t)的方向變化不連續(xù)。因為

t

=π/2時：（2.4-5）式無法滿足。因此矢量函數(shù)在區(qū)間[0,π]內(nèi)除t

=π/2點不連續(xù)，其它各點處均連續(xù)。矢端曲線如圖2－15（b）所示。3．在[0,π/2]區(qū)間：在[π/2,π]區(qū)間：顯然在[0,π]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)的大小變化是連續(xù)的；在[0,（14顯然在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；在[π/2,π]區(qū)間矢量函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。但在t=π/2時矢量函數(shù)x(t)的大小和方向變化不連續(xù)。因為t=π/2時：（2.4-5）式和（2.4-6）式均無法滿足。因此x(t)在t=π/2點不連續(xù)。矢端曲線如圖2－15（c）所示。矢量函數(shù)的連續(xù)性對矢量的分析具有重要意義。當矢量函數(shù)在參數(shù)的變化區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)時，矢量分析將可以通過連續(xù)實函數(shù)的分析加以描述和確定。在后文的分析中如無特別聲明，文中所給的矢量函數(shù)都是連續(xù)的矢量函數(shù)。且對連續(xù)的矢量函數(shù)不在明確參數(shù)變化的區(qū)間。

顯然在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；在[π/215設連續(xù)矢量函數(shù)x=x(t)的起點為o點。定義x=x(t)在t點的矢量增量為：（2.4-8）并定義極限：（2.4-9）為連續(xù)矢量函數(shù)x=x(t)在t點的導數(shù)。記為或?qū)ⅲ?.4-9）在{o；i1，i2，i3}坐標系中表示。則：設連續(xù)矢量函數(shù)x=x(t)的起點為o點。定義x=x16ox

3x

1x

2x

(

t+Δt

)x

(t

)i

2i

1i

3圖2－16由實變函數(shù)分析可知，連續(xù)，則必存在。因此只要x(t)是連續(xù)的矢量函數(shù)，則x(t)的導數(shù)必存在。對給定的標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}，x(t)的導數(shù)由（2.4-10）完全確定。對給定的矢量函數(shù)x(t)。在{o；i1，i2，i3}坐標系中x(t)對應一條矢端曲線。為矢端曲線上x(t)、x(t+Δt)兩矢量對應終點所確定的矢量。當時，是x(t)矢量終點處與矢端曲線相切的矢量（如圖2－16所示）。這表明x(t)的導數(shù)表示矢端曲線上x(t)對應點處沿該點切線方向的矢量。在幾何上稱為切矢量。ox3x1x2x(t+Δt)x(t)i2i17矢量函數(shù)的微分定義：

（2.4-11）由定義可以看出x(t)的微分是x(t)的導數(shù)與參數(shù)t微分的數(shù)量乘積。因此x(t)的導數(shù)實質(zhì)上是一種特定的極限運算。對任意給定的按（2.4-4）可確定導數(shù)運算法則（導數(shù)運算公式）：2．3．4．5．6．7．1．；；；；；；；（c為常矢量）（k為實常數(shù)）（2.4-12）矢量函數(shù)的微分定義：（2.4-11）由定義可以看出x(18（2.4-12）式可由極限運算法則直接證明。下面給出最后二式的證明。證：6．∵∴7．f(t)是t的連續(xù)函數(shù)∵∴當時，。極限：證畢。（2.4-12）式可由極限運算法則直接證明。下面給出最后證：19多參數(shù)矢量函數(shù)x(t1,…,tn)的偏導數(shù)、微分：

對參數(shù)ti(i=1,…,n)當其它參數(shù)固定不變時，在區(qū)間bi≤ti≤ai(i=1,…,n),x是ti的連續(xù)函數(shù)。則稱x(t1,…,tn)是ti的連續(xù)函數(shù)。如果x(t1,…,tn)是t1,…,tn的連續(xù)函數(shù)。則稱x(t1,…,tn)是連續(xù)矢量函數(shù)。將（2.4-9）推廣到多參數(shù)矢量函數(shù)（連續(xù)矢量函數(shù)）極限：（2.4-13）稱為矢量函數(shù)x(t1,…,tn)關于參數(shù)ti的偏導數(shù)。（2.4-14）稱為矢量函數(shù)x(t1,…,tn)的微分。多參數(shù)矢量函數(shù)x(t1,…,tn)的偏導數(shù)、微分：對參20例15：證明矢量函數(shù)x(t)的模保持不變的充要條件是：證：如果=常數(shù)，則：∴如果，則：∴=常數(shù)例16：設。試確定x關于r、θ的偏導數(shù)、的矢量積。解：例15：證明矢量函數(shù)x(t)的模保持不變的充要條件是：證21矢量函數(shù)的不定積分定義：

若矢量函數(shù)則稱矢量函數(shù)是x(t)的一個原函數(shù)。原函數(shù)的全體稱為x(t)的不定積分。記為：；（C為常矢量）（2.4-15）對{o；i1，i2，i3}坐標系，x(t)=xi(t)ii。因此（2.4-15）式又可寫為：（2.4-16）其中Xi(t)是xi(t)的一個原函數(shù)。Ci是常實數(shù)。矢量函數(shù)的不定積分有如下基本性質(zhì)：

；2．1．3．4．；；；k為常數(shù)a為常矢量a為常矢量（2.4-17）矢量函數(shù)的不定積分定義：若矢量函數(shù)則稱矢量函數(shù)是x22當X(t)是x(t)在t的取值區(qū)間[a,b]的連續(xù)原函數(shù)時。則：矢量函數(shù)的不定積分定義：（2.4-18）x(t)的定積分定義為：在{o；i1，i2，i3}坐標系中，（2.4-18）可表示為：（2.4-19）由（2.4-16）和（2.4-19）式可以看出，在{o；i1，i2，i3}坐標系中，矢量函數(shù)的定積分和不定積歸結為三個實函數(shù)x1(t),x2(t),x3(t)的定積分和不定積分。當X(t)是x(t)在t的取值區(qū)間[a,b]23例17：已知：試求：解：∴∵例17：已知：試求：解：∴∵242.5場論場是一個物理概念。在物理學中，場刻畫了物理量在空間的分布和變化規(guī)律。所謂場是指全部空間或部分空間的每一點都對應著具有某種性質(zhì)物理量（如溫度、電位等）的空間。如果對應的物理量是數(shù)量，則稱為數(shù)量場；如果對應的物理量是矢量，則稱為矢量場。2.5場論場是一個物理概念。在物理學中，場25

一、數(shù)量場、梯度

oi

1i

2i

3A\Ωx\圖2－17對給定坐標系{o；i1，i2，i3}的三維空間。若空間或部分空間中的點用位置矢量x=xiii標定。則x點所具有的數(shù)量物理量（用數(shù)量描述的某種物理量性質(zhì)）表示為f(x)。如圖2－17所示，在空間占有一定大小和形狀的物體。位置矢量x標注了物體內(nèi)的點A（x被限制為物體在空間所占區(qū)域每點所對應的位置矢量。記為x∈Ω）。體中A點所帶有的數(shù)量物理量（溫度、密度等）被表示為f(x)。且稱f(x)為數(shù)量場。當x=x1i1+x2i2+x3i3時，f(x)與f=f(x1,x2,x3)描述的是數(shù)量場中同一點的數(shù)量物理量。或者說f(x)和f=f(x1,x2,x3)是數(shù)量場中同一點的數(shù)量物理量的兩種等價的描述。在數(shù)量場的分析中f(x)和f=f(x1,x2,x3)是同一數(shù)量場的兩種不同寫法。后文中根據(jù)需要可采用兩種寫法中的任意一種。一、數(shù)量場、梯度oi1i2i3A\Ωx\圖2－1726o

x1

x2

xA

xBT

(

xA)T

(

xB)AB圖2-18對給定的數(shù)量場f(x)。每一個為x∈Ω都確定一個數(shù)量值f(x)。也就是說f(x)給出了在空間區(qū)域內(nèi)的數(shù)量場的分布。但f(x)并沒有直接給出域內(nèi)不同點的數(shù)量場的變化情況。作為一個例子，考慮一薄板的溫度分布。如圖2-18所示薄板（設溫度沿板厚度方向不變化）。其溫度可由數(shù)量場T(x)描述。T(x)作為在上的溫度分布，對A、B兩點確定其溫度為T(xA)、T(xB)。問xA)-T(xB)不能完全刻畫這樣的變化，但比值題是沿AB連線上各點的溫度是怎樣由T(xA)變化到T(xB)。顯然A、B兩點的溫度差T(刻畫了A、B兩點連線上各點的溫度平均變化。當B點沿A、B連線方向靠近A點時，平均變化將更接近真實變化。而，比值的極限：（a）ox1x2xAxBT(xA)T(27完全刻畫了xA點的溫度沿A、B連線方向的變化。必須指出這一極限僅僅是刻畫了點xA沿A、B連線方面的變化?；蛘哒f對同一點xA不同方向上的溫度變化一般是不相同的。就如同人站在山坡上某確定點向不同方向看時，山的陡峭（每單位長度的高度變化）程度是不同的。(a)式也稱為薄板中A點沿A、B兩點連線方向的溫度場變化率?；驕囟葓鯰(x)在xA點沿A、B連線方向上的方向?qū)?shù)。將T(x)推廣到一般情況的數(shù)量場。定義x點沿給定單位矢量：則f(x)在給定單位矢量l方向的方向?qū)?shù)為：（2.4-20）其中Δx是x點沿l方向矢量x的增量。完全刻畫了xA點的溫度沿A、B連線方向的變化。必須指出則28在{o；i1，i2，i3}坐標系中Δx=Δx1i1+

Δx2i2+Δx3i3。在（2.4-20）式中Δx是x點沿l方向上的矢量增量。若令：則：顯然：而比值：∵∴在{o；i1，i2，i3}坐標系中Δx=Δx1i129當時得：該式是標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}中數(shù)量場f(x)在x點沿單位矢量l=li

ii方向上的方向?qū)?shù)計算公式。若引進算符（Hamilton算子）：（2.4-20a）（2.4-21）且：（2.4-21a）則（2.4-20）式又可表示為：（2.4-20a）式中稱數(shù)量場f(x)的梯度。對任意給定點x0，是x0點的矢量。若記的模為則：顯然當l與方向一致時，f(

x0)的方向?qū)?shù)絕對值取最大值。且數(shù)值為。這表明f(

x0)在x0點梯度的模是f(

x0)在x0點所有方向變化率中最大變化率的數(shù)值。當時得：該式是標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}中數(shù)30例18：。試求在的方向?qū)?shù)。點沿l方向解：例18：。試求在的方向?qū)?shù)。點沿l方向解：31例19：若記。試證明：其中。（稱為Laplacian算子。）證：∴最后得：例19：若記。試證明：其中。（稱為Laplacia32數(shù)量場的梯度按（2.4-21a）定義，是由數(shù)量場三個實函數(shù)偏微分確定。關于梯度運算的規(guī)則也就可由實函數(shù)的相應運算規(guī)則確定。以下給出梯度運算的一些基本公式。（其可由相應的實函數(shù)偏微分法則得到。這里略去證明。）1．2．3．4．5．6．數(shù)量場的梯度按（2.4-21a）定義，是由數(shù)量場三個實函數(shù)133二、矢量場、散度和旋度給定坐標系{o；i1，i2，i3}的三維空間。若空間或部分空Ω中點x∈Ω具有確定大小和方向的物理量（用矢量描述的某種物理性質(zhì)）f(x)=f(x1,x2,x3)。則f(x)稱為Ω

域內(nèi)的矢量場。對矢量場f(x)由Hamilton算子定義矢量場的散度和矢量場的旋度分別為：（2.4-22）（2.4-23）二、矢量場、散度和旋度給定坐標系{o；i1，i2，i3}的三34例20：對常數(shù)a,b

；數(shù)量場f(x);

u(x),v(x)。證明散度運算滿足：1．2．證：1．2．例20：對常數(shù)a,b；數(shù)量場f(x);u(x)35例21：對常數(shù)a,b；數(shù)量場f(x);u(x),v(x)。證明旋度運算滿足：1．2．證：1．2．由（2.1-12）式：得：∴例21：對常數(shù)a,b；數(shù)量場f(x);u(x)36例22：。試求矢量場在點的散度和旋度。解：例22：。試求矢量場在點的散度和旋度。解：37例23：設。求使：的f(x)。解：∵∴當時：例23：設。求使：的f(x)。解：∵∴當時：38例24：證明對矢量函數(shù)u=u(x)有：證：由e—δ恒等式：（見本章例6）∴例24：證明對矢量函數(shù)u=u(x)有：證：39三、積分定理的梯度、散度、旋度表示在實函數(shù)分析中給出了體積分、面積分、線積分之間的關系：斯托克斯（Stokes）公式：

（a）高斯（gauss）公式：（b）利用以上兩個公式可以建立矢量梯度、矢量散度和矢量旋度的相關表達式。三、積分定理的梯度、散度、旋度表示在實函數(shù)分析中給出了體積分40曲線和曲面的相關量的矢量相關規(guī)定：

1．三維空間的標準正交基底為{o；i1，i2，i3}?？臻g點的坐標為（x1，x2，x3）。矢量函數(shù)u(x)表示為：（c）2．對空間曲線C規(guī)定：對給定點（初始點）沿曲線弧長增加方向為正方向。C曲線x位置矢量確定的點處，其沿曲線正方向的單位切矢量記為：（d）且記：（e）3．對空間曲面S，其在位置矢量x處的單位法線為：（f）且記：（g）曲線和曲面的相關量的矢量相關規(guī)定：1．三維空間的標準正交基41按（c）、（d）式規(guī)定，（a）、（b）兩式可寫為：或（2.4-24）或（2.4-25）當n=i;P,Q,R=f(x)時，（b）式兩邊同乘得：(i)按（c）、（d）式規(guī)定，（a）、（b）兩式可寫為：或（2.42同理：∴（i+ii+iii得）(ii)(iii)或（2.4-26）類似的由（b）式還可得出（證明略）：（2.4-27）式（2.4-25），（2.4-26），（2.4-27）式分別稱為散度定理、梯度定理和旋度定理。同理：∴（i+ii+iii得）(ii)(iii43例25：試證明：（n為dS法線單位矢量）。證：∵∴將視為。由（2.4-25）式得：由（2.4-20a）式得：例25：試證明：（n為dS法線單位矢量）。證：∵∴將44例26：證明（Green定理）證：∵∴例26：證明（Green定理）證：∵∴452.3矢量函數(shù)在矢量代數(shù)中所涉及的矢量都是大小和方向保持不變（注：零矢量的方向為任意的。但在矢量分析中仍將其作為一特殊的常矢量）的常矢量。一旦矢量的大小或方向（或大小和方向）隨某一參數(shù)的不同取值（這里的參數(shù)取為實數(shù)）而變化時，這樣的矢量稱為變矢量。由此引入矢量函數(shù)的概念。

設t是實變參數(shù)，x是變矢量。如果t在確定的實數(shù)域中的每一個值，都有確定變矢量x按確定的法則與之對應。則x與t的對應法則：

x=x(t)

（2.3-1）

稱為矢量函數(shù)。或稱為x為實數(shù)自變量的矢量值函數(shù)。

實數(shù)自變量的取值域（實數(shù)域）稱為定義域。與定義域的每一個取值對應的矢量函數(shù)值集合稱為矢量函數(shù)的值域。2.3矢量函數(shù)在矢量代數(shù)中所涉及的矢量都是大小和方向保持46v

1v

1v

bv

bv

av

av

0v

0s1bas0osx

1x

2i

1i

2圖2－9矢量函數(shù)與實變函數(shù)論中的函數(shù)一個重要的區(qū)別是：

實變函數(shù)的每一個自變量的取值對應著唯一函數(shù)值；矢量的每一個自變量的取值對應著唯一的按平行性確定的自由矢量類（自變量的每一個取值對應著具有唯一大小和方向的所有相互平行的自由矢量）。

正是由于矢量函數(shù)的這一特點使得矢量函數(shù)x(t)的變化狀態(tài)能夠用幾何圖形表示。

如質(zhì)點在平面上沿曲線s以大小

度沿曲線s的切線方向從

s0運動至

s1（見圖2－9）。以時間t作為參數(shù)。質(zhì)點的速度矢量作為時間t的函數(shù)為

的速圖2－9給出了

時的

四個矢量。于這四個矢量都是自由矢量，且

個矢量的起點按平行性移至o點。顯然這四個位置矢量描述了。將這四四個時刻的速度矢量。

由v1v1vbvbvavav0v0s1bas47當參數(shù)t由t0到t1連續(xù)變化時，v(t)的每一個取值所對應（按平行性）位置矢量的終點在x1ox2平面內(nèi)描繪一條曲線——矢端曲線。矢端曲線也稱為矢量函數(shù)的圖形。

更一般地有：對矢量函數(shù)x(t)的終點所描繪的曲線稱為矢端曲線或稱為x(t)的圖形。而（2.3-1）式稱為矢量方程。

例12：

已知小球在四分之一圓弧軌道中運動。圓弧軌道半徑R=50cm，小球運動速度的大小

o

x

2

x

1

v

(

φ

)φφ圖2－10。試求小球速度矢量方程；并在圖解：以上各

φ值對應的v，將起點移至（按平行性）o點所得矢端曲線如圖所示。中畫出小球速度的矢端曲線。

當參數(shù)t由t0到t1連續(xù)變化時，v(t)的每一個取值所對應（48給定的標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}：

位置矢量r處的自由矢量x在A點基底i1，i2上的坐標與將x平移至o點的矢量的坐標相同。

當x是某一參數(shù)t的矢量函數(shù)時，對任意給定的t值，x(t)就是{o；i1，i2，i3}坐標系中的確定自由矢量。且：

（2.3-2）

式中x1(t),x2(t),

x3(t)是參數(shù)t取給定值時x(t)自由矢量在基底i1，i2，i3上的坐標。圖2－11給出二維矢量空間的示意。

orxx

2x1i

2i

2i

1i

1圖2－11（2.3-2）式中的x1(t),x2(t),

x3(t)稱為矢量

x(t)的參數(shù)方程。參數(shù)方程在{o；i1，i2，i3}中描繪的曲線正是矢端曲線。

對依賴多個參數(shù)變化的矢量，類似式（2.3-1）和（2.3-2）可定義多參數(shù)變量的矢量函數(shù)。設矢量x依賴參數(shù)

。則：

（2.3-3）

給定的標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}：位置矢量r處49（2.3-4）

稱為多參數(shù)變量矢量函數(shù)的矢量方程。

稱為多參數(shù)變量矢量函數(shù)的參數(shù)方程。參數(shù)方程在{o；i1，i2，i3}中描繪的曲線稱為矢端曲線（面）。

具有一個參數(shù)的矢量函數(shù)矢端曲線（二維映射分析）：

設x=x(t),

b≤t≤a。在平面坐標系{o；i1，i2}中，矢量x隨t的變化，且：

x

1x

2x

1(

t

*)x

2

(

t

*)t

*a0boi

1i

2圖2－12x完全由x1(t),x2(t)的變化確定。對t的每一個給定值t=t*(b≤t*≤a)，由

x1(t),x2(t)在i1，i2坐標軸上確定兩個點。其坐標值為

（如圖2－12所示）。

同時在坐標系{o；i1，i2}中

坐標確定一點A*。位置矢量

，b]區(qū)間的不同取值x(t)位置矢量平面描繪一條曲線。

顯然隨t在[a（2.3-4）稱為多參數(shù)變量矢量函數(shù)的矢量方程。稱為多參50對矢量函數(shù)：

ox

1x

2t

2t

1oB

1B

2A

2A

1b

2b1

a

2a

1圖2-13當t2

=b2時：由于b2是一固定值，因此x=x(t1,b2)只隨t1參數(shù)在[a1，b1]區(qū)間的不同取值而變化。且隨t1的變化x(t1,b2)在x1ox2平面內(nèi)描繪一條曲線(矢端曲線)A1B1。同理當

t2=a2時x(t1,a2)，在

x1ox2平面內(nèi)描繪一條曲線(矢端曲線)A2B2。顯然當t2從a2到b2連續(xù)取值時，x(t1,t2)在x1ox2平面內(nèi)A1B1到A2B2的一組連續(xù)曲線構成的曲面。如圖2－13所示。

（注：在二維矢量空間是一平面；在三維矢量空間是空間曲面。在大于三維的矢是空間是超曲面）。

該曲面（或超曲面）稱為矢端曲面。

對矢量函數(shù)：ox1x2t2t1oB1B2A2513π/4x

1x

2oo211-121rθπ/4θ=

π/4θ=

π/3θ=

2π/3θ=

3π/4圖2－14例13：

若，試求當

時的矢端曲面。

解：當

時：

當

時：

當r=1時：

當r=2時：

結果如圖圖2－13所示

。3π/4x1x2oo211-121rθπ/4θ=π/4522.4矢量函數(shù)分析在實變函數(shù)理論中。一旦函數(shù)給定，對函數(shù)可進行極限運算、連續(xù)性及微分積分的分析。對矢量函數(shù)，當引入極限的定義后，同樣可以進行極限運算、連續(xù)性及微積分的分析。以下主要討論單參數(shù)矢量函數(shù)的極限運算、連續(xù)性及微分積分的分析。并且對連續(xù)的矢量函數(shù)，單參數(shù)矢量函數(shù)的分析結論很容易推廣到多個參數(shù)的矢量函數(shù)分析中。

2.4矢量函數(shù)分析在實變函數(shù)理論中。一旦函數(shù)給定，對函數(shù)53設x=x(t)在t的取值域內(nèi)的某確定點t0的鄰域內(nèi)有定義。且存在一常矢量x0使得對任意給定的正數(shù)ε都存在一個正數(shù)

δ,當滿足：時。總有矢量x(t)與矢量x0之差的模滿足：成立。則稱當時x0是x=x(t)的極限。且記為：對給定的{o；i1，i2，i3}坐標系x=x(t)可表示為：（2.4-1）顯然當x=x(t)在t0的極限存在。則：這等價于：因此有如下結論：（2.4-2）設x=x(t)在t的取值域內(nèi)的某確定點t0的鄰域內(nèi)有定54這一結論推廣到多個參數(shù)矢量函數(shù)中可表述為：若矢量在{o；i1，i2，i3}坐標中的表示：的坐標當時的極限存在，且極限值為，則當時的極限存在。且的極限為：（2.4-3）矢量函數(shù)的極限運算法則：

（證明略）（2.4-4）這一結論推廣到多個參數(shù)矢量函數(shù)中可表述為：若矢量在{o；i55矢量函數(shù)x=x(t)的連續(xù)性：

參數(shù)t變化時x=x(t)方向變化的連續(xù)性和x=x(t)大小變化的連續(xù)性確定矢量函數(shù)x=x(t)的連續(xù)性。矢量x=x(t)在t0點的左極限（t從t0的左面趨于t0）和右極限（t從t0的右面趨于t0）分別為：矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-5）則稱x(t)在t0點的矢量方向變化是連續(xù)的。當x(t)在參數(shù)的某一區(qū)間內(nèi)的取值每一點都滿足（2.4-5）式時，則稱x(t)在參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)的矢量方向變化是連續(xù)的。矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-6）則稱x(t)在t0點的矢量大小變化是連續(xù)的。當x(t)在參數(shù)的某一區(qū)間內(nèi)的取值每一點都滿足（2.4-5）式時，則稱x(t)在參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)的矢量大小變化是連續(xù)的。矢量函數(shù)x=x(t)的連續(xù)性：參數(shù)t變化時x=56矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-7）則稱x(t)在t0點的矢量變化是連續(xù)的。當x(t)在參數(shù)的某一區(qū)間內(nèi)的取值每一點都滿足（2.4-5）式時，則稱x(t)在參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)的矢量變化是連續(xù)的。例14：已知矢量函數(shù)：1．2．3．試分析矢量函數(shù)的連續(xù)性；并畫出矢量的矢端曲線。解：矢量x(t)的左、右極限滿足：（2.4-7）則稱x571-11x1i1i

2x2(a)1-1-11i

2x2x1i1(b)圖2－15x2-2-21-1-11i

2x1i11(c)1．在[0,π]區(qū)間內(nèi)：對0≦t

≤

π的任意取值都有：因此矢量函數(shù)x(t)是連續(xù)的矢量函數(shù)。矢端曲線如圖2－15（a）所示。2．在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)：在[π/2,π]區(qū)間內(nèi)：1-11x1i1i2x2(a)1-1-11i2x58顯然在[0,π]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)的大小變化是連續(xù)的；在[0,π/2]區(qū)間和在[π/2,π]區(qū)間矢量函數(shù)的方向變化是連續(xù)的。但在t

=π/2時矢量函數(shù)x(t)的方向變化不連續(xù)。因為

t

=π/2時：（2.4-5）式無法滿足。因此矢量函數(shù)在區(qū)間[0,π]內(nèi)除t

=π/2點不連續(xù)，其它各點處均連續(xù)。矢端曲線如圖2－15（b）所示。3．在[0,π/2]區(qū)間：在[π/2,π]區(qū)間：顯然在[0,π]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)的大小變化是連續(xù)的；在[0,（59顯然在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；在[π/2,π]區(qū)間矢量函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。但在t=π/2時矢量函數(shù)x(t)的大小和方向變化不連續(xù)。因為t=π/2時：（2.4-5）式和（2.4-6）式均無法滿足。因此x(t)在t=π/2點不連續(xù)。矢端曲線如圖2－15（c）所示。矢量函數(shù)的連續(xù)性對矢量的分析具有重要意義。當矢量函數(shù)在參數(shù)的變化區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)時，矢量分析將可以通過連續(xù)實函數(shù)的分析加以描述和確定。在后文的分析中如無特別聲明，文中所給的矢量函數(shù)都是連續(xù)的矢量函數(shù)。且對連續(xù)的矢量函數(shù)不在明確參數(shù)變化的區(qū)間。

顯然在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)矢量函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；在[π/260設連續(xù)矢量函數(shù)x=x(t)的起點為o點。定義x=x(t)在t點的矢量增量為：（2.4-8）并定義極限：（2.4-9）為連續(xù)矢量函數(shù)x=x(t)在t點的導數(shù)。記為或?qū)ⅲ?.4-9）在{o；i1，i2，i3}坐標系中表示。則：設連續(xù)矢量函數(shù)x=x(t)的起點為o點。定義x=x61ox

3x

1x

2x

(

t+Δt

)x

(t

)i

2i

1i

3圖2－16由實變函數(shù)分析可知，連續(xù)，則必存在。因此只要x(t)是連續(xù)的矢量函數(shù)，則x(t)的導數(shù)必存在。對給定的標準正交坐標系{o；i1，i2，i3}，x(t)的導數(shù)由（2.4-10）完全確定。對給定的矢量函數(shù)x(t)。在{o；i1，i2，i3}坐標系中x(t)對應一條矢端曲線。為矢端曲線上x(t)、x(t+Δt)兩矢量對應終點所確定的矢量。當時，是x(t)矢量終點處與矢端曲線相切的矢量（如圖2－16所示）。這表明x(t)的導數(shù)表示矢端曲線上x(t)對應點處沿該點切線方向的矢量。在幾何上稱為切矢量。ox3x1x2x(t+Δt)x(t)i2i62矢量函數(shù)的微分定義：

（2.4-11）由定義可以看出x(t)的微分是x(t)的導數(shù)與參數(shù)t微分的數(shù)量乘積。因此x(t)的導數(shù)實質(zhì)上是一種特定的極限運算。對任意給定的按（2.4-4）可確定導數(shù)運算法則（導數(shù)運算公式）：2．3．4．5．6．7．1．；；；；；；；（c為常矢量）（k為實常數(shù)）（2.4-12）矢量函數(shù)的微分定義：（2.4-11）由定義可以看出x(63（2.4-12）式可由極限運算法則直接證明。下面給出最后二式的證明。證：6．∵∴7．f(t)是t的連續(xù)函數(shù)∵∴當時，。極限：證畢。（2.4-12）式可由極限運算法則直接證明。下面給出最后證：64多參數(shù)矢量函數(shù)x(t1,…,tn)的偏導數(shù)、微分：

對參數(shù)ti(i=1,…,n)當其它參數(shù)固定不變時，在區(qū)間bi≤ti≤ai(i=1,…,n),x是ti的連續(xù)函數(shù)。則稱x(t1,…,tn)是ti的連續(xù)函數(shù)。如果x(t1,…,tn)是t1,…,tn的連續(xù)函數(shù)。則稱x(t1,…,tn)是連續(xù)矢量函數(shù)。將（2.4-9）推廣到多參數(shù)矢量函數(shù)（連續(xù)矢量函數(shù)）極限：（2.4-13）稱為矢量函數(shù)x(t1,…,tn)關于參數(shù)ti的偏導數(shù)。（2.4-14）稱為矢量函數(shù)x(t1,…,tn)的微分。多參數(shù)矢量函數(shù)x(t1,…,tn)的偏導數(shù)、微分：對參65例15：證明矢量函數(shù)x(t)的模保持不變的充要條件是：證：如果=常數(shù)，則：∴如果，則：∴=常數(shù)例16：設。試確定x關于r、θ的偏導數(shù)、的矢量積。解：例15：證明矢量函數(shù)x(t)的模保持不變的充要條件是：證66矢量函數(shù)的不定積分定義：

若矢量函數(shù)則稱矢量函數(shù)是x(t)的一個原函數(shù)。原函數(shù)的全體稱為x(t)的不定積分。記為：；（C為常矢量）（2.4-15）對{o；i1，i2，i3}坐標系，x(t)=xi(t)ii。因此（2.4-15）式又可寫為：（2.4-16）其中Xi(t)是xi(t)的一個原函數(shù)。Ci是常實數(shù)。矢量函數(shù)的不定積分有如下基本性質(zhì)：

；2．1．3．4．；；；k為常數(shù)a為常矢量a為常矢量（2.4-17）矢量函數(shù)的不定積分定義：若矢量函數(shù)則稱矢量函數(shù)是x67當X(t)是x(t)在t的取值區(qū)間[a,b]的連續(xù)原函數(shù)時。則：矢量函數(shù)的不定積分定義：（2.4-18）x(t)的定積分定義為：在{o；i1，i2，i3}坐標系中，（2.4-18）可表示為：（2.4-19）由（2.4-16）和（2.4-19）式可以看出，在{o；i1，i2，i3}坐標系中，矢量函數(shù)的定積分和不定積歸結為三個實函數(shù)x1(t),x2(t),x3(t)的定積分和不定積分。當X(t)是x(t)在t的取值區(qū)間[a,b]68例17：已知：試求：解：∴∵例17：已知：試求：解：∴∵692.5場論場是一個物理概念。在物理學中，場刻畫了物理量在空間的分布和變化規(guī)律。所謂場是指全部空間或部分空間的每一點都對應著具有某種性質(zhì)物理量（如溫度、電位等）的空間。如果對應的物理量是數(shù)量，則稱為數(shù)量場；如果對應的物理量是矢量，則稱為矢量場。2.5場論場是一個物理概念。在物理學中，場70

一、數(shù)量場、梯度

oi

1i

2i

3A\Ωx\圖2－17對給定坐標系{o；i1，i2，i3}的三維空間。若空間或部分空間中的點用位置矢量x=xiii標定。則x點所具有的數(shù)量物理量（用數(shù)量描述的某種物理量性質(zhì)）表示為f(x)。如圖2－17所示，在空間占有一定大小和形狀的物體。位置矢量x標注了物體內(nèi)的點A（x被限制為物體在空間所占區(qū)域每點所對應的位置矢量。記為x∈Ω）。體中A點所帶有的數(shù)量物理量（溫度、密度等）被表示為f(x)。且稱f(x)為數(shù)量場。當x=x1i1+x2i2+x3i3時，f(x)與f=f(x1,x2,x3)描述的是數(shù)量場中同一點的數(shù)量物理量?；蛘哒ff(x)和f=f(x1,x2,x3)是數(shù)量場中同一點的數(shù)量物理量的兩種等價的描述。在數(shù)量場的分析中f(x)和f=f(x1,x2,x3)是同一數(shù)量場的兩種不同寫法。后文中根據(jù)需要可采用兩種寫法中的任意一種。一、數(shù)量場、梯度oi1i2i3A\Ωx\圖2－1771o

x1

x2

xA

xBT

(

xA)T

(

xB)AB圖2-18對給定的數(shù)量場f(x)。每一個為x∈Ω都確定一個數(shù)量值f(x)。也就是說f(x)給出了在空間區(qū)域內(nèi)的數(shù)量場的分布。但f(x)并沒有直接給出域內(nèi)不同點的數(shù)量場的變化情況。作為一個例子，考慮一薄板的溫度分布。如圖2-18所示薄板（設溫度沿板厚度方向不變化）。其溫度可由數(shù)量場T(x)描述。T(x)作為在上的溫度分布，對A、B兩點確定其溫度為T(xA)、T(xB)。問xA)-T(xB)不能完全刻畫這樣的變化，但比值題是沿AB連線上各點的溫度是怎樣由T(xA)變化到T(xB)。顯然A、B兩點的溫度差T(刻畫了A、B兩點連線上各點的溫度平均變化。當B點沿A、B連線方向靠近A點時，平均變化將更接近真實變化。而，比值的極限：（a）ox1x2xAxBT(xA)T(72完全刻畫了xA點的溫度沿A、B連線方向的變化。必須指出這一極限僅僅是刻畫了點xA沿A、B連線方面的變化?；蛘哒f對同一點xA不同方向上的溫度變化一般是不相同的。就如同人站在山坡上某確定點向不同方向看時，山的陡峭（每單位長度的高度變化）程度是不同的。(a)式也稱為薄板中A點沿A、B兩點連線方向的溫度場變化率?；驕囟葓鯰(x)在xA點沿A、B連線方向上的方向?qū)?shù)。將T(x)推廣到一般情況的數(shù)量場。定義x點沿給定單位矢量：則f(x)在給定單位矢量l方向的方向?qū)?shù)為：（2.4-20）其中Δx是x點沿l方向矢量x的增量。完全刻畫了xA點的溫度沿A、B連線方向的變化。必須指出則73在{o；i1，i2，i3}坐標系中Δx=Δx1i1+

Δx2i2+Δx3i3。在（2.4-20）式中Δx是x點沿l方向上的矢量增量。若令：則：顯然：而比值：∵∴在{o；i1，i2，i3}坐標系中Δx=Δx1i174當時得：該式是