新課程背景下數(shù)學(xué)探究的出陳易新

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基于新課程背景的第十屆高中青年教師課例展示給研究課型注入了數(shù)學(xué)探究的新鮮血液，通過追溯數(shù)學(xué)探究的核心精神與價值，從“師與生〞“動與靜〞“思與術(shù)〞三省數(shù)學(xué)探究課，最終對課后探究進(jìn)行展望，以期數(shù)學(xué)探究在小荷才露尖尖角之后如日方升.

數(shù)學(xué)探究;數(shù)學(xué)建模;學(xué)生主體;獨(dú)立思考;信息技術(shù)

2022年第十屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示中第一次引進(jìn)數(shù)學(xué)探究課的展示，讓筆者耳目一新，也引發(fā)了筆者對高中數(shù)學(xué)探究的思考，新課程背景下的數(shù)學(xué)探究不斷地出陳易新.

1追溯數(shù)學(xué)探究

數(shù)學(xué)探究很早就進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課標(biāo)和教材中[1]，數(shù)學(xué)探究是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容不單獨(dú)設(shè)置，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中.“數(shù)學(xué)探究〞即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，這個過程包括：觀測分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，推測、探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明.數(shù)學(xué)探究有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的產(chǎn)生過程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和煦于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力;有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力.數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)建模往往如影隨形，“數(shù)學(xué)建模〞是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程[2]，通過實(shí)際情景—提出問題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—檢驗(yàn)—可用結(jié)果來表達(dá).數(shù)學(xué)建模為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問題的過程，加強(qiáng)應(yīng)用意識;有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.

雖然數(shù)學(xué)探究很早引起教師們的注意，成為課堂教學(xué)研究的關(guān)注點(diǎn)，但在實(shí)際的教學(xué)中缺少對數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模針對性和操作性的研究，本次大賽為教師們研究“數(shù)學(xué)探究〞提供了絕佳的機(jī)遇，下面讓我們一起來三省“數(shù)學(xué)探究〞.

2三省數(shù)學(xué)探究

2.1一省“師與生〞

基于數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)建模過程的持久性與繁雜性，一般的工程式數(shù)學(xué)探究不可能在一節(jié)課內(nèi)完成，它需要分為“課前、課中、課后〞三個階段，這三階段過程中“教師主導(dǎo)〞與“學(xué)生主體〞的關(guān)系與主次應(yīng)當(dāng)是相對的、缺一不可、互融互通.

首先是問題的提出，可以是教師拋給學(xué)生探究的問題，也可以是學(xué)生自主尋覓和提出的問題，但是需要教師對學(xué)生提出的問題進(jìn)行“過濾〞.在“教師主導(dǎo)〞下“過濾〞出“好問題〞，譬如“探究茶水水溫的變化規(guī)律〞“停車距離問題〞“關(guān)于介質(zhì)與距離對WiFi信號強(qiáng)弱的影響〞“正方體截面的探究〞“身高與鞋碼〞等問題.有了“好問題〞，學(xué)生就有了研究方向，為“學(xué)生主體〞提供了馳騁的疆場，讓“學(xué)生主體〞的作用完可能發(fā)揮得淋漓盡致.

其次是問題的解決過程，從場面上看，問題解決的過程是以學(xué)生為主體，但其間涉及到探究步驟、分組合作等問題，就需要“教師主導(dǎo)〞來進(jìn)行一系列協(xié)調(diào).經(jīng)過教師的協(xié)調(diào)，問題探究的過程一般分為“課前、課中、課后〞三階段，課前任務(wù)是小組自主探究，包括完成研學(xué)方案、小組完成探究任務(wù)、完成前期報告等，課中任務(wù)是小組間合作探究，包括各組展示、課上交流和師生釋疑等，課后任務(wù)是拓展探究，包括確定拓展內(nèi)容、完成探究報告等.

最終是問題的成果匯總，以數(shù)學(xué)建模為例，完成一份探究報告，需要建立模型，分析誤差Symbol^C@優(yōu)化模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ吐?lián)系實(shí)際，解決問題歸納小結(jié)，拓展提升.對于一致的問題，不同小組選擇的模型會有區(qū)別，譬如在探究茶水水溫的變化規(guī)律時，分別有選擇一次函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、雙曲線型函數(shù)等不同模型，此時教師需要引導(dǎo)學(xué)生分析這些模型，組織各小組相互交流.各小組先介紹為何選擇各自的模型，然后小組之間對彼此的模型進(jìn)行優(yōu)劣性分析，優(yōu)化彼此的模型，其間有思維火花的碰撞，充分表達(dá)學(xué)生主體性，最終在教師的主導(dǎo)下，各小組確定模型，當(dāng)然模型的選擇不唯一，可以是多個小組研究同一個模型，即使是同一個模型，不同小組研究模型的數(shù)學(xué)方法也會有所不同，表達(dá)百家爭鳴、百花齊放.

2.2二省“動與靜〞

一次成功的探究之旅是動靜合適、張弛有度的，即合作交流與獨(dú)立思考有效結(jié)合.從數(shù)學(xué)學(xué)科的特別性來看，數(shù)學(xué)探究應(yīng)首先側(cè)重獨(dú)立思考，由于數(shù)學(xué)理性思維的培養(yǎng)是需要學(xué)生思維的積累與沉淀，學(xué)生只有靜下心來針對某一個問題長時間思考研究才會進(jìn)入到更深的層次和境界，表面的喧嚷與浮夸的探討對于深層次思考沒有實(shí)質(zhì)性幫助.但作為開放性的數(shù)學(xué)探究，合作交流又是必不可少的，由于數(shù)學(xué)探究（特別是數(shù)學(xué)建模類的數(shù)學(xué)探究式工程學(xué)習(xí)）需要調(diào)動學(xué)生不同的優(yōu)勢智能，不同的學(xué)生擁有不同的優(yōu)勢智能，通過適度有效的合作交流，學(xué)生之間可以形成智能互補(bǔ)，彌補(bǔ)自身獨(dú)立思考之后的思維盲點(diǎn)與漏洞.

一方面，數(shù)學(xué)探究為獨(dú)立思考提供良好的土壤.譬如在“正方體截面的探究〞中，教師布置學(xué)生進(jìn)行課前自主探究，通過五大任務(wù)，九個設(shè)問完成一份研學(xué)報告.教師拋給學(xué)生預(yù)設(shè)的探究任務(wù)：（1）查詢研究背景;（2）尋求相關(guān)知識;（3）研究截面外形;（4）把握截面作圖;（5）嘗試實(shí)踐應(yīng)用.通過問題串給學(xué)生提供研究方向和提醒，使探究落到實(shí)處：（1）生活中，常見的截面實(shí)例有哪些？（2）實(shí)例中哪些相關(guān)問題的解決需要截面？（3）在高考知識范疇中，哪些內(nèi)容有截面的“蹤跡〞？（4）什么樣的圖形才能作為幾何體的截面？（5）請利用實(shí)物模型或者技術(shù)工具（3D繪圖軟件）等手段，模擬正方體截面，并總結(jié)正方體截面有哪些不同的外形？（6）結(jié)合所得到的截面的外形特征，說明它們的性質(zhì)并嘗試證明，其中需要用到哪些數(shù)學(xué)原理？（7）能否將截面補(bǔ)全？如何操作？（8）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別位于三條棱上，如何作出過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面？（9）“方矩管〞是鋼材料中常見的，它的直截面為標(biāo)準(zhǔn)正方形，這種材料在使用中多用于建筑的支撐結(jié)構(gòu).若某方矩管在使用后留下三個不同位置的小孔，那么在鋼材料回收時，應(yīng)當(dāng)如何切割（沿同一平面）呢？以小組為單位，要求每位組員都將教師布置的任務(wù)和設(shè)問進(jìn)行深入自主探究，然后通過組內(nèi)交流將組員的探究成果先進(jìn)行匯總形成小組的探究報告，這樣避免了在數(shù)學(xué)探究過程中“少數(shù)人探究，多數(shù)人看喧嚷〞的現(xiàn)象，盡可能讓每一位學(xué)生都接觸到探究的核心問題并進(jìn)行積極思考.

另一方面，數(shù)學(xué)探究為合作交流提供良好的場域.課中的合作探究事實(shí)上是一種組間交流，每個小組都會向大家介紹如何發(fā)現(xiàn)截面，如何尋覓截面，如何研究截面，如何應(yīng)用截面.其間涉及到探究的核心問題：（1）研究正方體的截面外形分類（是什么）;（2）研究正方體的截面外形特征（為什么）;（3）研究正方體的截面作圖方法（怎么做）.各小組為準(zhǔn)備這場展示匯報都做了精心的準(zhǔn)備，發(fā)揮小組成員的各項(xiàng)優(yōu)勢智能，擁有數(shù)理規(guī)律優(yōu)勢智能的學(xué)生負(fù)責(zé)處理核心問題，擁有人際優(yōu)勢智能的學(xué)生負(fù)責(zé)匯總組內(nèi)成員的研究成果，擁有空間視覺優(yōu)勢智能的學(xué)生負(fù)責(zé)制作模型，擁有語言優(yōu)勢智能的學(xué)生負(fù)責(zé)進(jìn)行匯報，等等.每個小組展示的研究方法、研究對象、研究過程與研究成果各不一致，都給其他小組帶來意外的驚喜，讓其他小組也受到一定的啟發(fā)，此外“當(dāng)局者迷旁觀者清〞，有些研究存在一些問題，通過組間交流能夠發(fā)現(xiàn)問題和解決問題.

2.3三省“思與術(shù)〞

從本次全國優(yōu)質(zhì)課展示來看，目前的數(shù)學(xué)探究區(qū)別于以往一個很大的特點(diǎn)就是信息技術(shù)的強(qiáng)力加盟，這便引起我們思考“思維與技術(shù)〞的辯證關(guān)系.

首先，我們看到EXCEL、圖形計(jì)算器、GeoGebra等軟件在數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)建模課堂上顯示強(qiáng)大功能，教師與學(xué)生都能夠熟練運(yùn)用這些信息技術(shù)軟件進(jìn)行各種數(shù)據(jù)的處理.譬如函數(shù)模型的擬合，其間涉及大量對比繁雜數(shù)據(jù)的運(yùn)算，借助于EXCEL或圖形計(jì)算器確實(shí)能快速地完成運(yùn)算和函數(shù)的擬合;再譬如在探究正方體截面時，有小組運(yùn)用GGB軟件模擬正方體截面外形，三維動態(tài)立體圖形形象直觀，彌補(bǔ)有些學(xué)生空間想象能力的不足.在優(yōu)質(zhì)課展示的現(xiàn)場提問環(huán)節(jié)有教師提問：假如我們的學(xué)生不會使用圖形計(jì)算器等軟件，那么這堂課該如何處理？這個樸實(shí)無華的提問也引起了筆者的反思.筆者感覺信息技術(shù)已經(jīng)登上了舞臺，但是要成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的日常還有一段很長的路要走，我們需要對學(xué)生進(jìn)行各方面信息技術(shù)操作的培訓(xùn).每個地區(qū)的狀況還都不一樣，譬如浙江省目前將“通用技術(shù)與信息技術(shù)〞課程列為學(xué)考科目，而且作為高考“七選三〞選考科目之一引起學(xué)生對比高的關(guān)注，特別是將“通用技術(shù)與信息技術(shù)〞作為選考科目的學(xué)生對于信息技術(shù)的使用對比熟練，可見信息技術(shù)的培訓(xùn)已成為當(dāng)務(wù)之急，這也是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的趨勢.

圖1

其次，強(qiáng)大的信息技術(shù)代替不了更強(qiáng)大的數(shù)理規(guī)律思維.數(shù)學(xué)探究課假如一不提防蛻變成信息技術(shù)滿天飛，課堂中充塞各種花哨的信息技術(shù)手段，那么可能就背離了數(shù)學(xué)探究的初衷.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中有數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算[3]，而數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析側(cè)重的仍舊是蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，譬如如何建立模型、如何優(yōu)化模型、如何處理模型中各種變量之間的關(guān)系等等，而信息技術(shù)只是在求解模型過程中的一種輔助工具.再如如何進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，選擇怎樣的指標(biāo)來處理數(shù)據(jù)等問題，信息技術(shù)是在處理大量繁雜數(shù)據(jù)時的一種輔助工具.由此可見，信息技術(shù)是數(shù)學(xué)探究的一種有效的輔助工具，它能讓數(shù)學(xué)探究變得更高效、更確切，但它不能成為數(shù)學(xué)探究的主角，數(shù)學(xué)探究的主角永遠(yuǎn)是思維，信息技術(shù)起到的是錦上添花的作用.

3展望數(shù)學(xué)探究

本次全國優(yōu)質(zhì)課的展示為我們一線教師如何上好數(shù)學(xué)探究課奉獻(xiàn)了一場饕餮盛宴，由于展示是執(zhí)教教師以說課的形式進(jìn)行，所以我們看到的不僅僅是數(shù)學(xué)探究或建模課的課中情形，更能看到課前的情形，但唯一可惜的是雖然有些執(zhí)教教師把數(shù)學(xué)探究分成為“課前、課中、課后〞三階段，但可能由于展示時間有限，未能把課后的探究完整展示出來，