基于學(xué)生經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教學(xué)理解與實踐

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研究者以2022年人教A版“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）〞為例，闡述對基于學(xué)生經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教學(xué)的理解與實踐，主張教學(xué)要基于學(xué)生已有的認知經(jīng)驗進行教學(xué)設(shè)計與組織，用好認知起點，激活思維，積累活動經(jīng)驗。

學(xué)生經(jīng)驗;數(shù)學(xué)教學(xué);理解與實踐

丁益民，高級教師，全國新青年數(shù)學(xué)教師工作室創(chuàng)始人之一，主要研究方向為高中數(shù)學(xué)教材教法研究。

XX省教育科學(xué)“十三五〞規(guī)劃課題“深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計與實踐研究〞（C-c/2022/02/50）;蘇州市“十三五〞規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計與實踐研究〞（192110555）一般認為，學(xué)生最有效的學(xué)習(xí)是在原有經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的再建構(gòu)。奧蘇貝爾說：“假如我不得不將所有的教育心理學(xué)原理還原為一句話的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，根據(jù)學(xué)生的原有知識狀況進行教學(xué)。〞[1]新課程改革關(guān)注學(xué)生發(fā)展，強調(diào)要以學(xué)生已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)進行教學(xué)，真正突出學(xué)生的主體建構(gòu)。基于學(xué)生的經(jīng)驗進行教學(xué)，這是學(xué)習(xí)建構(gòu)本質(zhì)的要求。在理念上，我們都認同經(jīng)驗的重要性，在設(shè)計教學(xué)活動時也強調(diào)讓學(xué)生在已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)。但在實際教學(xué)中，好多教師對學(xué)生的經(jīng)驗并沒有給予足夠的重視，現(xiàn)實的課堂脫離學(xué)生實際的現(xiàn)象還十分普遍，這反映出好多教師對經(jīng)驗問題缺少足夠的認知。

一、基于學(xué)生經(jīng)驗的教學(xué)內(nèi)涵闡述

數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生已有經(jīng)驗與知識交織遞進中發(fā)展和深化數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)理解的過程。學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中獲得的經(jīng)驗，是具體數(shù)學(xué)內(nèi)容、活動和經(jīng)驗三個基本因素相互作用下，產(chǎn)生動作技能性經(jīng)驗、情感表達性經(jīng)驗與認知經(jīng)驗等構(gòu)成的整體，我們可用數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗直觀模型圖（如圖1）加以表征。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗形式上就是由這三維坐標構(gòu)成的元素“點〞的集合體[2]。

從學(xué)生層面來看，在學(xué)習(xí)之初學(xué)生已有三種經(jīng)驗，即原有學(xué)習(xí)方法的經(jīng)驗、已習(xí)得知識的經(jīng)驗和生活的經(jīng)驗。每個學(xué)生的生活經(jīng)驗都存在著差異，在學(xué)習(xí)方法上也會形成特性獨特的風(fēng)格，這些都將不斷地內(nèi)化為他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗體系，并且這些經(jīng)驗在適當?shù)那榫持锌梢约ぐl(fā)出來。學(xué)生每學(xué)習(xí)一個新知識，都將為后續(xù)學(xué)習(xí)積累知識結(jié)構(gòu)上的經(jīng)驗。這些經(jīng)驗通過思維活動、表征活動、同化順應(yīng)活動等形成新的認知經(jīng)驗（如圖2）。另外，學(xué)生的已有經(jīng)驗有三種狀況：一是學(xué)生已具備的豐富經(jīng)驗，只需要教師加以點撥，就能幫助他們“喚醒〞;二是學(xué)生有了一定的經(jīng)驗，但還不足以達成學(xué)習(xí)目標，需要教師“加固〞他們的經(jīng)驗;三是學(xué)生缺少相應(yīng)的經(jīng)驗，需要教師提供新的經(jīng)驗或為學(xué)生提供獲取新經(jīng)驗的機遇。一般地，在不同背景下，學(xué)生的經(jīng)驗狀況會有所不同，應(yīng)根據(jù)不同的目標需求設(shè)計活動，并形成新的認知經(jīng)驗結(jié)構(gòu)。

從教師角度來看，分析學(xué)生的已有經(jīng)驗是教學(xué)設(shè)計的第一步，只有充分了解學(xué)生的經(jīng)驗，才能有針對性地安排教學(xué)活動。在設(shè)計和組織教學(xué)時，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生已具備哪些經(jīng)驗，這些經(jīng)驗處于何種狀態(tài)等，以便找到學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)〞，讓新知的學(xué)習(xí)能更好地納入學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)中。因此，教師要以學(xué)生經(jīng)驗為起點，設(shè)計合理的活動，為學(xué)生提供更多的機遇進行觀測、試驗、思考、內(nèi)化、反思等。筆者以2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）〞教學(xué)為例，對基于學(xué)生經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教學(xué)進行研究。

二、教學(xué)設(shè)計

（一）對接經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)情境

情境1：蘇州金雞湖摩天輪。

提出問題：摩天輪在轉(zhuǎn)動過程中，每個座艙距離地面的高度與時間存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？

情境2：如圖3，筒車是中國古代發(fā)明的一種澆灌工具，它省時、省力、環(huán)保、經(jīng)濟，現(xiàn)代農(nóng)村還在大量使用。明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》用圖4描繪了人們利用筒車的圓周運動進行澆灌的工作原理。

設(shè)計意圖：教師運用身邊的生活情境和數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)學(xué)生與已有的生活經(jīng)驗對接，進入情境的表征活動中，讓學(xué)生自然而然地產(chǎn)生認知需求，在熟悉的情境中激發(fā)生活經(jīng)驗，產(chǎn)生認知驅(qū)動力。

（二）運用經(jīng)驗，抽象模型

為了更好地研究問題，教師將情境1和情境2中的問題改編為以下數(shù)學(xué)問題。

如圖5，假設(shè)筒車的直徑是10m，筒車距離水面最高的高度為8m，該筒車勻速轉(zhuǎn)動一圈需3min。那么，你能用一個適合的函數(shù)模型來刻畫筒車上某一個盛水筒P距離水面高度H隨時間t（min）的關(guān)系嗎？

問題1：如何研究這個問題？

教師引導(dǎo)學(xué)生建立適合的直角坐標系（如圖6），將實際問題數(shù)學(xué)化。

活動：請根據(jù)數(shù)據(jù)寫出問題中的數(shù)學(xué)模型y=5sin（120t+φ）+3，其中φ表示剛開始轉(zhuǎn)動時的初始角，它與選取的初始位置有關(guān)。

問題2：上述函數(shù)表達式為何不加絕對值？

該問題的提出旨在讓學(xué)生認識到，這里的“高度〞其實類似于之前他們學(xué)習(xí)正負數(shù)時的“海拔〞一樣也有正負之分。

設(shè)計意圖：該教學(xué)環(huán)節(jié)是運用已有的基本活動經(jīng)驗進行新的建構(gòu)活動，即通過建立直角坐標系將實際問題進行數(shù)學(xué)建模活動，進而抽象出函數(shù)模型，為學(xué)生進一步的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。教師要喚醒學(xué)生大腦中已具備的認知經(jīng)驗，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗下進行熟悉的認知活動，這樣才可能讓學(xué)生進行自主建構(gòu)。

（三）借鑒經(jīng)驗，啟發(fā)思考

將上述模型一般化后得到本節(jié)課要學(xué)習(xí)的函數(shù)模型：y=Asin（ωx+φ）。

問題3：如何研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ對該函數(shù)圖象的影響？

問題4：在之前的學(xué)習(xí)中，我們用怎樣的經(jīng)驗來研究類似的問題呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中研究的二次函數(shù)y=x2與y=a（x-h）2+k（a≠0）的關(guān)系，采用從特別到一般和操縱變量的方法進行研究（如圖7）。

不妨先研究φ對圖象的影響。為了便于研究，我們可以取特別的φ值（如φ=π6）進行研究，研究路線如下（如圖8）。

問題5：根據(jù)上面的探究，你能歸納出φ對函數(shù)y=sin（x+φ）圖象的影響的一般化結(jié)論嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生進行探討研究后，用課件出示以下內(nèi)容。

一般地，當動點P的起始位置P0對應(yīng)的角為φ時，對應(yīng)的函數(shù)為y=sin（x+φ）（φ≠0），將正弦曲線上所有的點向左（φ>0）或向右（φ0）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

問題7：根據(jù)上面的探究，你能歸納出參數(shù)ω對函數(shù)y=sin（ωx+φ）圖象的影響的一般化結(jié)論嗎？

問題8：你能用學(xué)得的經(jīng)驗研究參數(shù)A對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

問題9：根據(jù)上面的探究，你能歸納出參數(shù)A對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響的一般化結(jié)論嗎？

問題10：通過對這節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勎覀冇檬裁捶椒ㄑ芯亢瘮?shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象？你學(xué)到了什么研究經(jīng)驗？

課后探究：你還能重新選擇A，ω，φ的研究順序來探究它們對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

設(shè)計意圖：問題6～問題9是一致經(jīng)驗下的同構(gòu)認知活動，是認知的同化與順應(yīng)活動，而且這樣的過程還可以延展到課后進一步探究，這對建構(gòu)學(xué)生完整、規(guī)律連貫的認知過程十分有必要。

三、反思認識

（一）找準經(jīng)驗起點，整體把握內(nèi)容

數(shù)學(xué)知識點不是孤立存在的，任何新知都是基于舊知生成，找準新知與舊知的關(guān)聯(lián)點，讓學(xué)生在似曾相識中對舊知進行回想，對新知進行建構(gòu)，主動實現(xiàn)舊知與新知的規(guī)律關(guān)聯(lián)。因此，確切把握學(xué)生的經(jīng)驗起點是實施基于學(xué)生經(jīng)驗的教學(xué)前提，教師應(yīng)努力找準知識起點，用好經(jīng)驗起點，激活學(xué)生思維。在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等基本函數(shù)的概念、性質(zhì)及圖象等，這是本節(jié)課的知識起點;學(xué)生已經(jīng)把握了研究函數(shù)的“基本套路〞（從現(xiàn)實生活中抽象出函數(shù)模型→對函數(shù)模型進行定義→研究函數(shù)模型的性質(zhì)與圖象→應(yīng)用函數(shù)模型解決問題），這是本節(jié)課的經(jīng)驗起點;也逐步感悟到認識對象的過程都是從具體到繁雜的過程（即從初等基本函數(shù)到繁雜函數(shù)），這是本節(jié)課的思維起點。之前的認知線路是以“刻畫周期性現(xiàn)象的函數(shù)模型〞這一核心任務(wù)展開的（如圖9）。[3]而且學(xué)生從初中到學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容之前，學(xué)會了用已學(xué)的初等基本函數(shù)的經(jīng)驗范式去研究更為繁雜的函數(shù)，然后又從繁雜函數(shù)“退化〞到簡單函數(shù)，這樣從簡單到繁雜，再從繁雜到簡單的雙向認知過程是認識函數(shù)主要的活動經(jīng)驗。

從這個角度看，基于學(xué)生經(jīng)驗的教學(xué)表達了單元教學(xué)的特質(zhì)，將單元中具有一致或相像活動過程作為“經(jīng)驗單元〞不斷地重復(fù)激活，運用一致或類似經(jīng)驗進行系統(tǒng)的認知活動，讓單元知識在已有活動經(jīng)驗的指引下不斷地同化、調(diào)整、豐富或重構(gòu)，最終形成穩(wěn)定穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)留在大腦中。這樣的認知過程表達了經(jīng)驗的整體性和單元教學(xué)的規(guī)律連貫性。

（二）實現(xiàn)承上啟下，促進自主建構(gòu)

研究說明，學(xué)生是基于已有知識去建構(gòu)和理解新知識的，每一個新經(jīng)驗都有過往經(jīng)驗的成分，同時也會影響和改變后續(xù)經(jīng)驗[4]。因此，在教學(xué)時，教師既要考慮到此次活動經(jīng)驗的起點是什么，還要考慮到此次活動為后續(xù)學(xué)習(xí)留下哪些有價值的活動經(jīng)驗，這就是經(jīng)驗的承上啟下。本節(jié)課中，在研究參數(shù)對圖象影響的探究方式上，借鑒研究函數(shù)y=a（x-h）2+k圖象的變化規(guī)律與y=x2圖象產(chǎn)生聯(lián)系的經(jīng)驗，自然遷移到將函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象產(chǎn)生同化與順應(yīng)。在具體研究參數(shù)對圖象的影響時，既考慮到初中已學(xué)二次函數(shù)的活動經(jīng)驗[如參數(shù)a對y=a（x-h）2+k圖象開口大小的影響]，又考慮到當前活動經(jīng)驗對后面學(xué)習(xí)其他參數(shù)時所起的思維示范作用。換言之，只要將參數(shù)φ這一探究活動講到位，學(xué)生就可以在研究其他參數(shù)時進行自主建構(gòu)。一般情形下，經(jīng)驗具有一定的連續(xù)性和可復(fù)制性。在設(shè)計活動時，教師要運用經(jīng)驗的連續(xù)性和可復(fù)制性引導(dǎo)學(xué)生進行相像的建構(gòu)與理解，讓學(xué)生在一定思維范式的引領(lǐng)下進行經(jīng)驗的對接和思維的聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)自主建構(gòu)。

（三）重構(gòu)原有經(jīng)驗，實現(xiàn)認知提升

假如在教學(xué)中不去關(guān)注學(xué)生的原有經(jīng)驗（有些可能是不好的或不恰當?shù)慕?jīng)驗），那么原有經(jīng)驗和新知識的學(xué)習(xí)就可能發(fā)生沖突，對新知識的建構(gòu)就會形成阻礙。教師在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生原有經(jīng)驗，引導(dǎo)他們?nèi)ンw會和認識原有經(jīng)驗中出現(xiàn)偏差或錯誤的原因，不僅能很好地建構(gòu)新知識，而且還能使原有不完整或錯誤的經(jīng)驗成為促進學(xué)習(xí)的積極因素。譬如本節(jié)課在研究參數(shù)φ對圖象的影響時，學(xué)生很可能受初中“左加右減〞口訣的影響，這種口訣式的“經(jīng)驗〞是非理性的，也是短淺和機械的。只有引導(dǎo)學(xué)生分析圖象變換的本質(zhì)才是可靠的，要讓他們知道是點的變化才引起圖象的變化，點的變換是圖象變換的關(guān)鍵，尋覓到圖象變換前后的對應(yīng)點，將認知活動的重心聚焦在變換前后對應(yīng)點的坐標關(guān)系上。這樣的活動自然成為后面認識其他參數(shù)時的先行組織者。數(shù)學(xué)活動中那些具體數(shù)學(xué)規(guī)律（如本節(jié)課中參數(shù)對函數(shù)影響的