高三線性及不等式應用

精銳教育學科教師輔導講學 級：高 數(shù)學 輔導科目：數(shù) 學科教師授課類

T（簡單線性規(guī)劃問題

C（幾種非線性規(guī)劃

T（不等式綜合運用授課日期及教學內簡單線性規(guī)劃問作二元一次不等式ax＋by＋c＞0(或ax＋by＋c＜0)表示的平面區(qū)域的方法步驟在直線的一側任取一點P(x0，y0)，特別地，當c≠0時，常 作為此特殊點若ax0＋by0＋c＞0，則包含點P的半平面為不等式 所表示的平面區(qū)域，不包含點P的半平面為不等式 的解 組成的集合 取得最大值或最小值的可行解在約束條件下，當b＞0時，求目標函數(shù)z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序為確定l0的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點 ，不可將范圍盲目擴大

直線Ax＋By＋C＝0上直線Ax＋By＋C＝0下直線Ax＋By＋C＝0下直線Ax＋By＋C＝0上AxB＋C≥＋ByC≤Axy＋C0[難點疑點一般地說，直線不過原點時用原點判斷法或B值判斷法，直線過原點時用B值判斷法或用(1,0)點判斷AxBy≥0(Axy＋C0AxB＋C＝0求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將函數(shù)z＝ax＋by轉化為直線的斜截式 ax＋z，通過求直線 截距zzb>0時，截距z取最大值時，z也取最大值；截距z取最小值時，z b<0時，截距z取最大值時，z取最小值；截距z取最小值時，z 題型1：二元一次不等式表示的區(qū)[分析](1)用特殊點，如原點確定不等式表示的平面區(qū)域；[解析](13x＋2y＋6＝0(畫成虛線)，取原點(0,0∴(0,0)在3x＋2y＋6>0表示的平面區(qū)域內，(2)不等式x<3表示x＝3左側點的集合，不等式2y≥xx－2y＝0其左上方點的集合．不等式3x＋2y≥63x＋2y－6＝0不等式3y<x＋9表示直線3y－x－9＝0右下方點的集合．綜上可得：不等式組表示的平面區(qū) 舉一反三：（1）若點(1,3)和(－4，－2)在直線2x＋y＋m＝0的兩側，則m的取值范圍 (2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0，

，表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是 43

D．0<a≤13[答案]l：x＋y＝al1、l2l32：設變量x，y滿足約束條件

則其所表示的平面區(qū)域的面積 [答案]舉一反三：（1）x，y的不等式組x＋y－2≥0，

所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為 C．1或 kk[答案][解析]其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0kx－y＋2＝0 ，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k＝1.（2）在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域 x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{＋y，x－y)(x，y)∈A}的面積為 2 2 [答案][解析]

x－y＝n

2，y＝2 即

中的整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）共有 A.85 B.88 C.91D.94[分析]本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用， 不等式 表示的平面區(qū)域如下圖 示y=116y=214個整點；y=313y=411個整點；y=510y=68個整點；y=77y=85個整點；y=94y=102個整點；y=111個整點；91個整點，C 表示的平面區(qū)域是W，若W中的整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）共有91個，則實數(shù)a的取值范圍是（ A. [分析]考查的知識點是簡單的線性規(guī)劃 可以先畫出足約束條 的平面區(qū)域，再分析 滿足約束條 的平面區(qū)域如下圖其中當a=1時的整點個數(shù)為=91個0＜a≤1設實數(shù)x、y滿足不等式 ，若x、y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是 A. B. C. D.，[分析]本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用 后分析平面區(qū)域里各個整點，然后將其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．， 依題意作出可行性區(qū) 題型2：求目標函數(shù)的值1：x，y滿足條件

4x－3y[分析]z＝4x－3y[解答]不等式組x＋7y－11≤0

表示的區(qū) 得 解方程組

，得 則B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分別為[點評]1.求目標函數(shù)的最值，必須先準確地作出線性可行域再作出目標函數(shù)對應的直線，據(jù)題意確定取得最優(yōu)線性目標函數(shù)z＝ax＋by取最大值時的最優(yōu)解與b的正負有關，當b>0時，最優(yōu)解是將直線ax＋by＝0在可b<0提醒：在移動直線ax＋by＝0時，要注意斜率和邊界直線斜率的關系舉一反三：（1）若實數(shù)x，y滿足不等式

且x＋y的最大值為9，則實數(shù) [答案][解析]

5由

平移y＝－x，當其經過點A時，x＋y取最大值，即

－1

取值范圍

畫出x、y滿足條件的可行 ，要使目標函數(shù)z＝ax＋y僅在點(3,0)處取得最大值，則直線1的斜率應小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即

，∴a> 給出平面區(qū)域如下圖所示若使目標函數(shù)Z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個則a的值為 554

3[答案]Z＝ax＋y(a>0)lAC5 5即－a＝KAC＝1－55

，∴a＝5 [答案][解析]∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的區(qū)域為圖中陰影部分∴當2x＋3y－z＝0過點B(0，－1)時，zmin＝－3，當2x＋3y－z＝0過點A(0,1)時題型3：簡單線性規(guī)劃的實際應1：某公司計劃在甲、乙兩個做總時間不超過300分鐘的，總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的500元/200元/分鐘．假定甲、乙兩個為該公司所做的每分鐘，能給0.30.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個的 [解答]設公司在 和 的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意500x＋200y≤90z＝3000x＋2

l：3000x＋2平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數(shù)取得最大值∴點M的坐標為∴zmax＝3000x＋2000y＝700000即該公司在 做100分 ，在 ，公司 （1） ，種植面積不超過50畝，投入 年產量/年種植成本/41.20.5560.90.3為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜 的種植面積(單位：畝)分別 用某原料由甲車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小每千克B產品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產計劃為( [答案] [解析](1)設種植黃瓜x畝 y畝，則由題意可知

求目標函數(shù)z＝x＋0.9y當目標函數(shù)線l向右平移，移至點A(30,20)處時，目標函數(shù)取得最大值，即當黃瓜種植30畝， （2）設甲每天加工x箱，乙每天加工y箱，利潤為則

，即畫出可行 ，作直線l0：7x＋5y＝0，并平移至經過點A(15,55)時，z取最大值，∴選設A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 答案11解析由已知得解析由已知得即1y<

22

)2x＋y－10＝0與不等式組

表示的平面區(qū)域的公共點有 A．0 B．1 C．2 答案解析2x＋y－10＝01(2012·山東)x，y滿足約束條件

z＝3x－y

答案

解析3x－y＝0A時，z＝3x－yB時，z＝3x－y由

由

∴z＝3x－y的取值范圍是當點M(x，y)在 的三角形ABC區(qū)域內(含邊界)運動時，目標函數(shù)z＝kx＋y取得最大值的一個最優(yōu)解為(1,2)，則實數(shù)k的取值范圍是( [答案]B－k≤kAC＝10≥－k≥kBC＝－1，即已知x，y滿足

，如果目標函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實數(shù)m等于 [答案]Bm>0z＝x－yy＝x－zA時，－z取z取最小值－1.

由

A(3

31＋m2m－1∴z＝3－3＝3

所表示的平面區(qū)域被直線 k的值是

答案

解析不等式組表示的平面區(qū) y＝kx＋3過定點，3.ABy＝kx＋3A(1,1)，B(0,4)AB

某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A原料3噸、B原料2噸；生產每噸乙產品要用A原料1噸、B原料3噸．銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元、每噸乙產品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是 答案解析xy噸，z＝5x＋3y.由題意得x、yA點取值時，zx＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(萬元(10分)2x－3<y≤3解先將所給不等式轉化為x，y即求

所給不等式等價于依照二元一次不等式表示平面區(qū)域可得如圖2x－3<y≤3的正整數(shù)解，再畫出y≤3，

表示的平面區(qū)域．如圖(2) 率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計 額不超過10萬元，要求確?？赡艿?虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少 解x萬元、y由題意知

上述不等式組表示的平面區(qū) z＝x＋0.5yy＝－2x＋2z，這是斜率為－2zy＝－2x＋2z經過可行域內My＝－2x＋2zy2z最大，z也最大．Mx＋y＝100.3x＋0.1y＝1.8解方程組

∵7>0，∴x＝4，y＝6時，z4萬元投資甲項目、61.8萬元的前提下，使可能的

例1：變量x、y滿足 設 z的最小值＝xz＝x2＋y2zz＝x2＋y2＋6x－4y＋13z審題視角(x，y)

(x，y)與點(0,0)連線的斜率．(2)x2＋y2x－0(x，y)與點(0,0)連線距離的平方．(3)x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2可以理解為點(x，y)與(－3,2)的距離的解由約束條件

由 由

，5

由

B(5,2)．[4分 ∴zO5zmin＝kOB＝2.[6分5dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[9分z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點到點(－3,2)的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝－3－52＋2－22＝8.∴16≤z≤64.[12分

舉一反三：設變量x，y滿足約束條件

則 的取值范圍

(x，y)與點(－3，－3)連線的斜率的取值范圍[解析]畫出可行域如圖，z表示可行域內的點(x，yE(－3，－3)連線的斜率，則由圖像可知，連線過點CB時斜率最大．0＋3 ＝

2＋3 3所以z的取值范圍是

53[答案]

5b[點評]此類題可以歸類為求x的取值范圍，即求點(b，a)(注：點(b，ab

2D是不等式組

所表示的平面區(qū)域，則區(qū)域D中的點P(x，y)到直線x＋y＝10的距的最大值 [答案]4(1,1)x＋y＝104

稱．對于Ω1中的任意點A與Ω2中的任意點B，|AB|的最小值等于 55答案

5

不等式組

，所表示的平面區(qū) ，解方程組

，得 A(1,1)3x－4y－9＝0

二、專題過

P在平面區(qū)域

Qx2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ| 2 42C．2 D.答案

解析P取點，2，Q取點(0，－1)時，|PQ|有最小值為

則實數(shù)m的最大值為 22答案

解析y＝2x

m≤1m1.

，所表示的平面區(qū)域為M，使函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖像過區(qū)M的a的取值范圍是 B．[2， D．[[答案][解析]由二元一次不等式組

得所表示的平面區(qū)域M為圖中陰影部分∴使函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖像過區(qū)域Ma的取值范圍為[2,9]．故選已知函數(shù)f(x)的定義域為[－2，＋∞)，部分對應值如下表x0411f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖 ．若兩正數(shù)a、b滿足f(2a＋b)<1，求

[解析]由y＝f′(x)圖像知，f(x)在[－2,0]為減函數(shù)，在[0,4]∴－2<2a＋b<4，且a>0，b>0，可行域如圖陰影部分．而

可看作(a，b)與(－3，－3)兩點連線的斜率35

，kPB＝3

3 的取值范圍為5

已知x，y滿足z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值yz＝zx[解析]不等式組

表示的平面區(qū) ．圖中陰影部分即為可行域

過原點(0,0)作直線l垂直于直線x＋y－3＝0，垂足為N，則直線l的方程為

3由 得

∴N2，3322

3N2

AB上，也在可行域內 92此時可行域內點M到原點的距離最大，點N到原點的距離最?。諳M＝ 92

2≤x＋y≤22

≤x＋y9所以，z13，z2由圖象可得，原點與可行域內的點A的連線的斜率值最大，與點B的連線的斜率值最小1

，∴

21∴z2，z2三、學法提1、專題特點：2(1)x2＋y2表示點(x，y)與原點(0,0)x－a2＋y－b2表示點(x，y)與點(a，by

表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率xax－表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率a3一、能力培

不等式的綜合運1、已知a＞b＞0，求a2+的最小值b（a﹣b）范圍，進而代入原式，進一步利用基本不等式求得問題答案．解答解：∵b（a﹣b）≤（）2=，∴a2+≥a2+當且僅 ， 時取等號2、已知函數(shù)f（x）=x2﹣blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x﹣b在（0，1）為減函數(shù)求b設函數(shù)φ（x）=2ax﹣是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對于（0，1]內的任意兩個變量s、t，f（s）≥?（t）a的取值范圍．（2）由于函數(shù)在x∈（0，1]上為增函數(shù)，則φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立，即（0，1]a解答解：（1）∵f′（x）≥0x∈（1，2]b≤2x2x∈（1，2]∴b≤2（3分，，∴b≥2（5分∴b=2（6分∴f（x）1（8分 ， ∵函數(shù)在x∈（0，1]上為增函數(shù)∴φ'（x）≥0在（0，1] ∴a≥﹣1，且的最大值為2a﹣1（10分）依題意，解得﹣1≤a≤1為所求范圍（12分）3（2008?南通模擬）2的等邊△ABCDE把草坪分成面積相等的兩部分，DAB上，EAC上．AD=x（x≥0），ED=yxyDE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DEDE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請予證明．分析（1）先根據(jù)S△ADE=S△ABC求得x和AE的關系，進而根據(jù)余弦定理把x和AE的關系代入求得x和解答解（1）在△ADE中，y2=x2+AE2﹣2x?AE?cos60°?y2=x2+AE2﹣x?AE，①又S△ADE=S△ABC=22=x?AE?sin60°?x?AE=2．②②代入①得y2=x2+ （2）如果DE是水管 當且僅當x2=，即x= 時“=”成立，故DE∥BC，且DE= 如果DE是參觀線路，記f（x）=x2+，DEABAC中線時，DE最長．二、能力點學法升一、知識收二、方法總

z過求直線的截距bz

＝－b＋b三、技巧提3、解線性規(guī)劃問題的關鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范．求最優(yōu)解時，若沒有特殊要求一般為邊界交點若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解而 利用圖解法得到的解為非整數(shù)解應作適當調整其方法應以與線性目標函數(shù)直線的距離為依據(jù)在直線附近尋求與直線距離最近的整點但必須是在可行域內尋找.但考慮到圖畢竟還是會有誤差假若圖上的最優(yōu)解并不明顯易辨時應將最優(yōu)解附近的整點都找出來然后逐一檢查，以“驗明正身．課后作

文)設x，y滿足約束條件

則目標函數(shù)z＝x＋y的最大值是 [答案]C[解析]該題考查線性規(guī)劃知識，求線性目標函數(shù) 作z＝0時：x＋y＝0的直線，在可行域內平移，當移至A(6,0)時，x＋y－z＝0的截距最大，此時z值最大2．(2010·山東理)設變量x、y滿足約束條件

，則目標函數(shù)z＝3x－4y的最大值和最小值別為 [答案]A3x－4y＝0(3,5)時，z取最小值－11，平移至點(5,3)取最大3.若直線y＝kx＋1x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q兩點，且點P、Q關于x＋y＝0對稱，則不等組

表示的平面區(qū)域的面積是 2 24

[答案]P、Qx＋y＝0y＝kx＋1x＋y＝0

kx＋y＝0

2∴m＝－1，則不等式組 1如圖，A坐標為(－1,0)，B點坐標為

，21

＝ 24．(2009·陜西)若x，y滿足約束條件

，目標函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，則的取值范圍是 [解析]本小題主要考查線性規(guī)劃問題．解

得 a2

∴－4<a<2，故選

xy1a≥0，b≥0，且當xy

答案2、已知平面區(qū)域D由以A