1992考研數(shù)二真題及解析

1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上 .)(1)xf(t),可導(dǎo),且f(0)0,則dy＿＿＿＿＿＿.設(shè)yf(e3t其中f1),dxt0(2)函數(shù)yx2cosx在[0,]上的最大值為＿＿＿＿＿＿.2(3)lim11x2＿＿＿＿＿＿.x0excosx(4)dx＿＿＿＿＿＿.1x(x21)(5)由曲線yxex與直線yex所圍成的圖形的面積S＿＿＿＿＿＿.二、選擇題(本題共5小題,每小題 3分,滿分15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中是符合題目要求的 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi) .)

,只有一項(xiàng)(1)當(dāng)x0時(shí),xsinx是x2的()(A)低階無窮小(B)高階無窮小(C)等價(jià)無窮小(D)同階但非等價(jià)的無窮小(2)設(shè)f(x)x2,x0()x2x,x,則0(A)f(x)x2,x0f(x)(x2x),x0(x2(B)x2,x0x),x0(C)f(x)x2,x0f(x)x2x,x0x2x,x(D)x2,x00(3)當(dāng)x1時(shí),函數(shù)x21ex11的極限()x1(A)等于2(B)等于0(C)為(D)不存在但不為設(shè)f(x)連續(xù),F(x)x2(4)f(t2)dt,則F(x)等于()0(A)f(x4)(B)x2f(x4)(C)2xf(x4)(D)2xf(x2)(5)若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx,則f(x)有一個(gè)原函數(shù)為()(A)1sinx(B)1sinx(C)1cosx(D)1cosx三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25分.)(1)求lim(3x)x21.x6x(2)設(shè)函數(shù)yy(x)由方程yxey1所確定,求d2y的值.dx2x0(3)求x31dx.x2(4)求1sinxdx.0(5)求微分方程(yx3)dx2xdy0的通解.四、(本題滿分 9分)1x2,x03設(shè)f(x)x,求f(x2)dx.e,x01五、(本題滿分 9分)求微分方程 y 3y 2y xex的通解.六、(本題滿分 9分)計(jì)算曲線y ln(1 x2)上相應(yīng)于0 x 1的一段弧的長度.2七、(本題滿分 9分)求曲線y x的一條切線 l,使該曲線與切線 l及直線x 0,x 2所圍成的平面圖形面積最小.八、(本題滿分 9分)已知f(x) 0,f(0) 0,試證：對任意的二正數(shù) x1和x2,恒有f(x1 x2) f(x1) f(x2)成立.1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】3【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得dydy/dt3e3tf(e3t1),于是dy3.dxdx/dtf(t)dxt0【相關(guān)知識點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果ug(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),而yf(x)在點(diǎn)ug(x)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)yfg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為dyf(u)g(x)或dydydudxdxdu.dx(2)【答案】36【解析】令y12sinx0,得[0,2]內(nèi)駐點(diǎn)x.6因?yàn)橹挥幸粋€(gè)駐點(diǎn),所以此駐點(diǎn)必為極大值點(diǎn),與端點(diǎn)值進(jìn)行比較,求出最大值.又y(0)2,y()3,y()2,662可見最大值為()3.y66(3)【答案】0【解析】由等價(jià)無窮小,有x0時(shí),11x2:1(x2)1x2,故2211x21(x2)lim2,limcosxcosx上式為“0”型的極限未定式x0exx0ex,又分子分母在點(diǎn)0處導(dǎo)數(shù)都存在,由洛必達(dá)法則,有0x原式lim0.xsinx(4)【答案】1ln2x0e2【解析】令b,原式limbdxlimbx21x2dxlimb1x)dx21x(x2(x2b1x(x1)b1)b1x1

(分項(xiàng)法)limlnxblim1b1dx2(湊微分法)11bb2x21limlnxblim1ln(x2blimlnb1ln211)bb21bb212limlnb21ln11ln21ln2.b21ln2b222【答案】e12【解析】聯(lián)立曲線和直線的方程 ,解得兩曲線的交點(diǎn)為 (0,0),(1,e),則所圍圖形面積為1,得S(exxex)dx,再利用分部積分法求解0ex21e1.Sxex10exdx220注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰先進(jìn)入積分號的問題,如果選擇不當(dāng)可能引起更繁雜的計(jì)算,最后甚至算不出結(jié)果來.在做題的時(shí)候應(yīng)該好好總結(jié),積累經(jīng)驗(yàn).【相關(guān)知識點(diǎn)】分部積分公式：假定uu(x)與vv(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則uvdxuvuvdx,或者udvuvvdu.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)【答案】(B)xsinx為“0”型的極限未定式,又分子分母在點(diǎn)0處導(dǎo)數(shù)都存在,連續(xù)【解析】limx20x0運(yùn)用兩次洛必達(dá)法則,有l(wèi)imxsinxlim1cosxlimsinx0,故選(B).x22x2x0x0x0【相關(guān)知識點(diǎn)】無窮小的比較：設(shè)在同一個(gè)極限過程中,(x),(x)為無窮小且存在極限lim(x)l,(x)(1)若l0,稱(x),(x)在該極限過程中為同階無窮小；(2)若l1,稱(x),(x)在該極限過程中為等價(jià)無窮小,記為(x):(x)；(3)若l0,稱在該極限過程中(x)是(x)的高階無窮小,記為(x)o(x).(x)若lim(x)

不存在(不為 ),稱 (x), (x)不可比較.【答案】(D)【解析】直接按復(fù)合函數(shù)的定義計(jì)算 .(x)2,x0x2x,x0,f(x)2(x),x0x2,x0.(x)所以應(yīng)選(D).【答案】(D)【解析】對于函數(shù)在給定點(diǎn) x0的極限是否存在 ,需要判定左極限 x x0和右極限x x0是否存在且相等 ,若相等,則函數(shù)在點(diǎn) x0的極限是存在的 .x211lim1ex1lim(x1)ex1x1x1x1211limx1ex1lim(x1)ex1x1x1x10,故當(dāng)x1時(shí)函數(shù)沒有極限,也不是.故應(yīng)選(D).【答案】(C)x2【解析】F(x)[f(t2)dt]f[(x2)2](x2)0

,.2xf(x4),故選(C).【相關(guān)知識點(diǎn)】對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若F(t)(t)(t)均一階可導(dǎo),則f(x)dx,(t),(t)F(t)(t)f(t)(t)f(t).【答案】(B)【解析】由f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx,即f(x)sinx,得f(x)f(x)dxsinxdxcosxC,其中C為任意常數(shù).所以f(x)的原函數(shù)F(x)f(x)dx(cosxC)dxsinxC1xC2,其中C1,C2為任意常數(shù).令C10,C21得F(x)1sinx.故選(B).三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25分.)3【答案】e2【解析】此題考查重要極限： lim(1 1)xe.x將函數(shù)式變形 ,有l(wèi)im(3x16x3x1x)2lim(13)36x2x6xx6x3x1lim3x13lime6xe2.2ex6x2x(2)【答案】2e2【解析】函數(shù)yy(x)是一個(gè)隱函數(shù),即它是由一個(gè)方程確定,寫不出具體的解析式.方法1：在方程兩邊對x求導(dǎo),將y看做x的函數(shù),得yeyxeyy0,即yey,1xey把x0,y1代入可得y(0)e.兩邊再次求導(dǎo),得yeyy(1xey)ey(eyxeyy)(1xey)2,把x0,y1,y(0)e代入得y(0)d2y2e2.dx2x0方法2：方程兩邊對x求導(dǎo),得yeyxeyy0；再次求導(dǎo)可得yeyy(eyyxeyy2xeyy)0,把x0,y1代入上面兩式,解得y(0)e,y(0)d2y2e2.dx2x0【相關(guān)知識點(diǎn)】1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果ug(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),而yf(x)在點(diǎn)ug(x)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)yfg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為dyf(u)g(x)或dydydudxdxdu,dx兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).3.分式求導(dǎo)公式：uuvuvvv2.3(3)【答案】(1x2)21x2C其中C為任意常數(shù).【解析】方法1：積分的湊分法結(jié)合分項(xiàng)法,有x3dx1x2d(1x2)1(1x2)1d(1x2)1x221x221x21(1x21x2)d(1x2)2111x2d(1x2)11d(1x2)221x21(13x2)21x2C其中C為任意常數(shù).3方法2：令xtant,則dxsec2tdt,x3dx32td(sect)21)d(sect)tantsectdttan(sect1x21sec3t13sectC(1x2)21x2C,其中C為任意常數(shù).33方法3：令tx2,則xt,dx1,2tx31tdt此后方法同方法1,積分的湊分法結(jié)合分項(xiàng)法1x2dx1t21113(1t)dt(1x2)21x2C,其中C為任意常數(shù).21t3【答案】4(21)【解析】注意 f(x)2 f(x) f(x),不要輕易丟掉絕對值符號；絕對值函數(shù)的積分實(shí)際上是分段函數(shù)的積分 .由二倍角公式sin2sincos,則有2221sinsin2cos22sincossincos.2222222所以 1 sinxdx0 020

sinxcosxdx0sinxcosxdx2222cosxsinxdxsinxcosxdx222222sinx cosx2 2

20

cosxsinx2224( 2 1).(5)【答案】yCx1x3,其中C為任意常數(shù)511【解析】所給方程為一階線性非齊次方程,其標(biāo)準(zhǔn)形式為yyx2.,得2x2由一階線性微分方程的通解公式1dx1dxye2x1x2e2xdxC2Cx1x3其中C為任意常數(shù).5【相關(guān)知識點(diǎn)】一階線性非齊次方程yP(x)yQ(x)的通解為P(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxC,其中C為任意常數(shù).四、(本題滿分9分)【解析】分段函數(shù)的積分應(yīng)根據(jù)積分可加性分段分別求積分.另外,被積函數(shù)的中間變量非積分變量,若先作變量代換,往往會(huì)簡化計(jì)算.令x2t,則dxdt.當(dāng)x1時(shí),t1；當(dāng)x3時(shí),t1,于是3f(x1f(t)dt分段01tdt12)dx1t2dte11001t3et1t031

1.e五、(本題滿分9分)【解析】所給方程為常系數(shù)的二階線性非齊次方程,對應(yīng)的齊次方程的特征方程r23r20有兩個(gè)根為r11,r22,而非齊次項(xiàng)xex,1r1為單特征根,因而非齊次方程有如下形式的特解Y(ax)xxbe,代入方程可得1,b1,所求解為a2x(xyC1exC2e2x2)ex,其中C1,C2為任意常數(shù).2【相關(guān)知識點(diǎn)】1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)y*(x)是二階線性非齊次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解.Y(x)是與之對應(yīng)的齊次方程yP(x)yQ(x)y0的通解,則yY(x)y*(x)是非齊次方程的通解.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 y P(x)y Q(x)y 0中的P(x)、Q(x)均是常數(shù),方程變?yōu)閥 py qy 0.其特征方程寫為 r2 pr q 0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根 r1,r2；分三種情況：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r1,r2,則通解為yC1erx1C2er2x;(2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根r1r2,則通解為yC1C2xerx1;(3)一對共軛復(fù)根r1,2i,則通解為yexC1cosxC2sinx.其中C1,C2為常數(shù).3.對于求解二階線性非齊次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解y*(x),可用待定系數(shù)法,有結(jié)論如下：如果f(x)()x,則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如*kxPmxey(x)xQm(x)e的特解,其中Qm(x)是與Pm(x)相同次數(shù)的多項(xiàng)式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)x[Pl(x)cosx(x)sin]ePnx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解可設(shè)為y*xkex[Rm(1)(x)cosxRm(2)(x)sinx],其中Rm(1)(x)與Rm(2)(x)是m次多項(xiàng)式,mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為01或.六、(本題滿分 9分)【解析】由于 y ln(1 x2),y2xy2(1x2)21y2dx1x2x2,1(1x2)2,ds1x2dx,(011/21x2dx1/22(1x2)dx所以s1x201x201/2211/21dx1/211x2dx1x01dx00x1x1/211ln.ln31x022【相關(guān)知識點(diǎn)】平面曲線弧長計(jì)算：已知平面曲線?AB的顯式表示為y

1),212f(x) a x b,則弧微分為ds1f2(x)dx,弧長sb1f2(x)dx,其中f(x)在a,b有連續(xù)的a導(dǎo)數(shù).七、(本題滿分9分)【解析】過曲線上已知點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為yy0k(xx0),其中當(dāng)y(x0)存在時(shí),ky(x0).如圖所示,設(shè)曲線上一點(diǎn)(t,t)處的切線方程為yyt1(xt),t2t化簡即得yxtt2.x2Ot2面積S(t)2xtxdx1t42,02t2t3其一階導(dǎo)數(shù)S(t)1t3/21t1/2t1.222tt令S(t)0解得唯一駐點(diǎn)t1,而且S在此由負(fù)變正,即S(t)