2022年數理方程第二版-課后習題答案

..精品文本精品文本.精品文本第一章曲線論§1向量函數1.證明本節(jié)命題3、命題5中未加證明的結論。略2.求證常向量的微商等于零向量。證：設r=c，lim所以r'3.證明d證：d證畢4.利用向量函數的泰勒公式證明：如果向量在某一區(qū)間內所有的點其微商為零，那么此向量在該區(qū)間上是常向量。證：設r=rt=x(t)rt在區(qū)間I上可導當且僅當數量函數x(t)，y(t)和z(t)在區(qū)間I上可導。所以，?xyz其中θ1，θ2，θ3介于tr==上式為向量函數的0階Taylor公式，其中ε=x'θ1y'θ2z'θ35.證明r=rt證：必要性：設r=rt具有固定方向，那么r=rt可表示為r=充分性：如果r×r'=0，可設r≠0，令r=rr因為r≠0，故ρ2e為常向量，于是，r=rt6.證明r=rt證：必要性：設r=rt平行于固定平面，那么存在一個常向量p，使得pr=0，對此式連續(xù)求導，依次可得pr'=0和pr"=0充分性：設r,r',r"=0，即r×r'r"=0，其中，如果r×r'=0，根據第5題的結論知，r=rt具有固定方向，那么r=rt可表示為r=rt=ρ(t)e，其中ρ(t)為某個數量函數，e其中ρ(t)，φ(t)為數量函數，令n=r×r'，那么n'=r×r"=φ(t)n，這說明n與n'共線，從而n×n'=0，根據第5題的結論知，n§2曲線的概念1.求圓柱螺線r={cost解：r'={-sint,cost,1}，點r'={x-1法平面的方程為y+z=02.求三次曲線r=at,bt解：r'={a,2bt,3ct2}，當t=t于是切線的方程為：x-a法平面的方程為a3.證明圓柱螺線r={acos證：r令θ為切線與z軸之間的夾角，因為切線的方向向量為r'={-asint,acosθ=證畢4.求懸鏈線r=at,a解：rs=5.求拋物線y=bx2對應于解：ys====6.求星形線x=acost3解：s=47.求旋輪線x=a(t-sint)，y=a(1-解：s=8.求圓柱螺線r={3acost,3a解：圓柱螺線r={3acost,3asint,4at}與Oxy平面z=0的交點為s=9.求曲線x3=3a2y，2xz=解：取x為曲線參數，曲線的向量參數方程為：rrr平面y=a3對應于參數x=a，平面y=9a對應于參數s=10.將圓柱螺線r={解：r'={s=s所以r11.求極坐標方程ρ=ρ(θ)給定的曲線的弧長表達式。解：極坐標方程ρ=ρ(θ)給定的曲線的方程可化為向量參數形式：rrs=§3空間曲線1.求圓柱螺線r={解：密切平面的方程為X-即ab2.求曲線r={解：rrr原點(0,0,0)對應于參數t=0,于是在t=0處，rrrαγβ密切平面的方程為X+Y-Z=0副法線的方程為X法平面的方程為：Y+Z切線的方程為X從切平面的方程為2主法線的方程為X3.證明圓柱螺線r={acos證：rrrαγβ一方面，主法線的方程為X-a另一方面，過圓柱螺線r={a作平面π與z軸垂直，π的方程為Z-bt=0，π與z軸的交點為N(0,0,bt)，過M與N的直線顯然與z軸垂直相交，而其方程為X-a這正是主法線的方程，故主法線和z軸垂直相交。證畢4．在曲線r={解：令a=cosC設C1的副法線向量為γγ根據題意，新曲線的方程可表示為C2將a=cosCρρρ于是新曲線C2sin+Z-(即：sin5.證明球面曲線的法平面通過球的中心。證：設曲線(C):r=r(s)為球心在原點，半徑為a的球面上的曲線,其中s為自然參數。曲線(C)上任意一點P〔P點的向徑為r〕處的根本向量為α1上式兩邊關于s求導，得2設ρ為法平面上的點的向徑，那么曲線(C)上任意一點P處的法平面的向量方程為3根據(2)式ρ=06.證明過原點平行于圓柱螺線r={acos證：rrrαγ設過原點(0,0,0)且與γ平行的直線上的點為(X,Y,Z),那么直線的方程為X化為參數方程，得X那么有a這說明直線上的點(X,Y,Z)都在錐面a27.求以下曲線的曲率和撓率。1r解:對于曲線(1)rkτ對于曲線(2)rkτ8.給定曲線r=(cost)3,解:對于給定曲線，有1234其中，ε5678910根據(5)(6)(8)式可得α=kβ，根據(6)(9)(10)式，可得另一方面，根據(4)(7)(8)(10)式，可得-從而，β=-9.證明：如果曲線的所有切線都經過一個定點，那么此曲線是直線。證1：設曲線(C)的向量參數方程為：r=r(s)，其中s為自然參數。(C)上任意一點P〔P點的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因為(C)在P點處的切線都經過一定點Q〔Q點的向徑設為r0〕，所以r(1)r上式兩端關于s求導并利用Frenet公式，得：(2)k(2)式中的k為(C)在P點處的曲率。又(2)式中r-r-r0×β=0，那么r-r0同時與α和β證2：設曲線的方程為，因為曲線上任一點的切線經過一定點，那么與共線，但，于是與共線，從而=0,由此可知具有固定的方向，即與一個常向量平行，于是=,或，這說明曲線上的點都在以為方向向量，過點的直線上，所以曲線為直線。證畢10.證明：如果曲線的所有密切平面都經過一個定點，那么此曲線是平面曲線。證：設曲線(C)的向量參數方程為：r=r(s)，其中s為自然參數。曲線(C)上任意一點P〔P點的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因為我們只研究不含逗留點的曲線〔參見教科書P.31的腳注〕，即而r即(C)上任何點的曲率k≠0。設(C)在P點處的密切平面都經過一個定點Q〔Q點的向徑設為r0〕，那么r-r0為(Cr(1)式兩端關于s求導并利用Frenet公式，得：(2)τ(2)式中的τ為(C)在P點處的撓率。由(2)式可知，τ=0或者r但r-r0?β≠0(3)r(3)式兩端關于s求導并利用Frenet公式，得：(4)k(4)式中的k為(C)在P點處的曲率。因為k≠0，所以r-r0×β=0，結合(3)知r-r0這個矛盾說明r-r0?β≠11.證明：如果曲線的所有法平面都包含常向量e，那么此曲線是平面曲線。證1：設曲線(C)的向量參數方程為：r=r(s)，其中s為自然參數。(C)上任意一點P〔P點的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因為(C)在P點處的法平面都包含常向量(1)e注意到α=r，(1)式兩端關于s從s0(2)e〔2〕式說明曲線(C)在以常向量e為法向量且過點rs證2：設曲線(C)的向量參數方程為：r=r(s)，其中s為自然參數。(C)上任意一點P〔P點的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因為我們只研究不含逗留點的曲線〔參見教科書P.31的腳注〕，即而r即(C)上任何點的曲率k≠0。因為(C)在P點處的法平面都包含常向量e，那么(1)e上式兩端關于s求導并利用Frenet公式，得：(2)k因為k≠0，所以(3)eβ結合(1)式可知e與γ共線，從而(4)e(4)式兩端關于s求導并利用Frenet公式，得：(5)τ(5)式中e×β≠0，否那么，根據(3)式，e×β=0和eβ=0將同時成立，即β既與12.證明曲率為常數的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數的曲線。證：設曲率為常數k的空間曲線(C)的向量參數方程為：r=r(s)，其中s為自然參數。(C)上任意一點P處的根本向量為α，β，γ，曲率半徑為R=1/k，又設(C)的曲率中心的軌跡為Γ，Γ的曲率記為k，根據題意，1(1)式兩邊關于s求導，得234(4)式說明Γ的曲率k也是常數且k=13.證明曲線(C)：r=解：rτ=由上式可知，(C)為平面曲線。令t=0，那么有rrr(C)所在平面的方程為2x-114.設在兩條曲線C1和C證：設曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數。因為所討論的曲線都是正那么曲線，于是曲線C1上的點1設α1，β1，和γ1為曲線C1在點P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點Q處的根本向量，曲線C1在點P處的曲率和撓率分別記為k和τ，曲線C22α(2)式兩邊關于s求導，得3從而，4(4)式說明C1和C2在對應點P與Q處的主法線平行。又因為5(5)式說明C1和C2在對應點P與15.設在兩條曲線C1和C證：設曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數。因為所討論的曲線都是正那么曲線，于是曲線C1上的點1設α1，β1，和γ1為曲線C1在點P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點Q處的根本向量，曲線C1在點P處的曲率和撓率分別記為k和τ，曲線C22β根據(2)式，可得3設α1與α2之間的夾角為4(4)式說明C1和C2在對應點P與16.如果曲線C1的主法線是曲線C2的副法線，C1的曲率和撓率分別為k和τ，求證k=a(證：設曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數。因為所討論的曲線都是正那么曲線，于是曲線C1上的點1設α1，β1，和γ1為曲線C1在點P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點Q處的根本向量，曲線C1在點P處的曲率和撓率分別記為k和τ，曲線C22γ23(3)式兩邊關于s求導，得4整理(4)式，可得5利用(2)式，在(5)式兩邊與β16(6)式中由于ds故t=0，從而7(7)式兩邊關于s求導，得8因為γ2=ε9根據(7)式，(9)式等價于k即k從而，k=a(k17.曲線r在哪些點的曲率半徑最大？解：解:對于給定曲線，有1=2asin234其中，ε567根據(7)式，當t=(2k±1)π，k=0,±1,±2,?時，R=818.曲線(C)：r=r(s)∈C3上一點r(s)的鄰近一點r(s+?s)，求點r(s+?s)到點r(s)的密切平面、法平面的距離〔設(解：設曲線(C)在點r(s)的根本向量分別為α，β和γ，那么點r(s+?s)到點12其中，lim因為rs=αr將它們代入(1)式和(2)式中，得3319.如果曲線C1：r=r(s)為一般螺線，其中s為C1的自然參數。α，β，γ為C1上任意一點P處的根本向量，R為C1ρ也是一般螺線。證：曲線C2的方程兩邊關于s123根據(1)式和(3)式，得5其中ε67因為曲線C1：r=r(s)為一般螺線，故存在一個常向量p8(8)式說明曲線C220.證明：一條曲線(C)：r=r(s)為一般螺線的充要條件是證：充分性：如果r,r,r(4)=0，那么曲線(C')：r=r(s)的撓率為零，(C')為平面曲線，于是存在一個常向量p，使得pr=0，但必要性：如果(C)為一般螺線，存在一個常向量p使得pβ=0，但β=k-1α=k-1r,從而，pr21.證明：一條曲線的所有切線不可能同時都是另一條曲線的切線。證：因為我們只研究不含逗留點的曲線，故所討論的兩條曲線的曲率均不為0，設曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數。因為所討論的曲線都是正那么曲線，于是曲線C1上的點1設α1，β1，和γ1為曲線C1在點P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點Q處的根本向量，曲線C1在點P處的曲率和撓率分別記為k和采用反正法來證明結論。如果曲線C1在點P的切線總是曲線C2的在對應點Q處的切線，那么點P與1上式兩邊關于s求導，得2因為P與Q共有同一條切線，于是α2=εα1，其中ε=±1，(2)式兩邊同時與β1作內積，得tk=0，但k≠022.設在兩條曲線C1和C2的點之間建立了一一對應關系，使它們在對應點的切線平行，證明它們在對應點的主法線以及副法線也分別平行，而且它們的撓率和曲率都成比例，因此如果C1證：設曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數。因為所討論的