拓?fù)鋵W(xué)測(cè)試題二

拓?fù)鋵W(xué)測(cè)試題二（共9頁(yè)）--本頁(yè)僅作為文檔封面，使用時(shí)請(qǐng)直接刪除即可----內(nèi)頁(yè)可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小--測(cè)試題二一、（15分）（1）敘述，是集合X上的拓?fù)洹钡亩x；,、、丁田 田二矛：矛—U是可數(shù)集｝U[0]日…人士…1（2）證明：T』 是是」是X上的一個(gè)拓?fù)?二、（15分）（1）敘述完備格的定義；（2）設(shè)（'9是偏序集，證明：若L的每個(gè)子集有下確界，則L是一個(gè)完備格.三、（10分）設(shè)'Il"匹"｝，￡二（O[）Ug），求出￡分別在數(shù)直線￡二（凡1）及可數(shù)補(bǔ)空間X，t）中的閉包和內(nèi)部.四、（15分）（1）敘述片空間的定義；（2）證明：若，X：T）是弓的，則X內(nèi)每個(gè)網(wǎng)至多有一個(gè)極限點(diǎn).五、（10分）設(shè)（區(qū)T）/-W）是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，「XTF/匕*,（1）敘述」是開(kāi)映射的定義,（2）證明:y是TW連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)然已wJ⑻、六、（10分）（1）敘述緊空間的定義；（2）證明：為空間的每個(gè)緊子集是閉的.七、（15分）（1）敘述：“戶(hù)是集合X上的一個(gè)度量”的定義；（2）證明：若度量空間（*'*）是可分的，則它是第二可數(shù)的.答案一、（15分）（1）T稱(chēng)為集合X上的拓?fù)?，若T滿(mǎn)足：:陟喧鼠T,F;（c）a—T^^A—T.（2）證明：因發(fā)一匯二0是可數(shù)集，故工匕％°匕”6"￡,則"一工工一"是可數(shù)集，從而"一"17=（'—⑺U（T-是可數(shù)集，即“工y0T；Va1t,\Mua,X一工是可數(shù)集，于是W—'）是可數(shù)集，從而N—u15-4）―嗎.Hnuu 付=笈修是可數(shù)集｝u｛0｝g…八皿軌A= 是可數(shù)集，即A.T.，因此T= 是X上的一個(gè)拓?fù)?TT（3）可數(shù)補(bǔ)拓?fù)涫堑牟皇?.由可數(shù)補(bǔ)空間的任意兩個(gè)非空開(kāi)集的交不空知它不是空間.對(duì)工沙匕旦工工‘，則"任'-且（M，因此它是空間.二、（15分）（1）若L的每個(gè)子集都有上確界和下確界，則L是完備格.（2）證明：因空集和整個(gè)L有下確界，L有最大元1和0.設(shè)B是L的任一子集，若B為空集則力二口,否則令D表示B的所有上界之集，對(duì)每個(gè),匕瓦克顯然是D的一個(gè)下界，于是八。之環(huán)即“是B的一個(gè)上界,這樣“是B的最小上界，即“八八兒即L的每個(gè)子集有上確界，故L是完備格.三、（10分）解：在數(shù)直線]'T）中， ； 可數(shù)補(bǔ)空間中，R=且?=0,豆：及贄:0四、（15分）（1）設(shè)（X,T）是拓?fù)淇臻g， ，若 使得 ，則稱(chēng)X是2分的。（2）證明：設(shè):,T）是?的，是金內(nèi)任一網(wǎng)且’.，但然4不能同時(shí)終在X*內(nèi)，矛盾.故x=7.五、（10分）

（1）開(kāi)于K貝"（G）開(kāi)于y,則稱(chēng)在點(diǎn)XT^W連續(xù)的.⑵證明（必要性）"匕W,設(shè)/（町M0.出"『）’則/（"亡'*"6|））,由條值存在山EM?？诙?。是"TH?于是 T., 、Vr9獷￥，亡》（丁（芯）），正三「（吟二，"伊）EW（A）步一1（口匚卜 .（充分性）6E」，1八則SI，5,從而 ，且"I'一，故』是T.W連續(xù)的.六、（10分）（1）若X的每個(gè)開(kāi)覆蓋有有限子覆蓋，則稱(chēng)拓?fù)淇臻gX是緊的.圖用黑就是X窗集工謂::禹性,篝皿的F的開(kāi)覆蓋，由F是緊的知，它有有限子覆蓋｛/（"J-L2L同，結(jié)果":1"值刈*"⑶且U匚X-F.由工的任意性知F是閉集.七、（15分）（1）稱(chēng)是集合x(chóng)上的一個(gè)度量，若*；***—滿(mǎn)足下面的度量公理：（「0（b）小”="（."）；（c）三角不等式：小*門(mén)（”力"―）.（2）證明：設(shè)度量空間（工㈤是可分r<n”｛專(zhuān):工七町 總漢仔〔和力,再叼=%/的，5 浦是X的可數(shù)稠子集.對(duì)每個(gè) ?，令B=l、則」則BHc^Bs是X的可數(shù)（n/、 Bp?！蜺開(kāi)集族.下面說(shuō)明B是X的基.對(duì)每個(gè)月￡了，°￡"（"’存在先三義， ,超" .因A是X的稠子集，有「1）r1）I口），這樣IM ,B是X的可數(shù)基.八、（10分）證明：設(shè)巴白。匚工aA.(b證明：設(shè)巴白。匚工aA.(bvc)=(af\b)v(aAc)，則(avb)/x(avc)=((avi1)as)v《qvi)Ac)=av((cj\/b)八力=au(gAc)v(i-Ac))=a廿(dAc)v@Ac)=a\f(bAc)白皿不=八。）=1VS）八9VC）△/7g八己_（g△&）7公八（9八與7口同理設(shè) 則 一二口/\(g廿0八(匕x/f))=口△(□\心△&>Vc)_a/\(bVc)測(cè)試題三一、（每題3分，共24分）.任意多個(gè)連通空間的積空間一定是連通的..緊度量空間的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有Lebesgue數(shù)..局部連通空間的閉子集也是局部連通的..任意個(gè)道路連通空間的積空間一定是道路連通空間..任意個(gè)緊致空間的積空間一定是緊致空間..度量空間X緊致的充要條件是X上的任意一個(gè)連續(xù)函數(shù)都是有界的..若A在X中稠密，B在A中稠密，則B一定在X中稠密..可分空間一定滿(mǎn)足吃公理二、（20分）設(shè)伊㈤是一個(gè)度量空間。證明下述兩個(gè)結(jié)論等價(jià):

1）（反的是可分得。2）（及成的拓?fù)溆幸粋€(gè)可數(shù)拓?fù)浠Ｈ?、?0分）證明：任一緊度量空間（反”）是可分的。四、（每題18分，共計(jì)36分）切如果區(qū)和*3都是了的開(kāi)集，“=”尸耳，并且了與藥I“口都道路連通，則W與凡也都是道路連通的.b）若A的每個(gè)緊數(shù)子集都是閉集，則A中的序列的極限是惟一的.答案一、是非1、V2、V3、x4、V5、V6、V7、V8、x。證明事實(shí)上，由于用,獷回㈤的一個(gè)可數(shù)拓?fù)浠Ｊ强蓴?shù)集，映射TH工『一I包顯然是單全射。故2是可數(shù)集?，F(xiàn)設(shè)「U區(qū)是1 5任一開(kāi)集。于是西匕UJ。證明事實(shí)上，由于用,獷回㈤的一個(gè)可數(shù)拓?fù)浠?。是可?shù)集，映射TH工『一I包顯然是單全射。故2是可數(shù)集。現(xiàn)設(shè)「U區(qū)是1 5任一開(kāi)集。于是西匕UJ15〉13使得網(wǎng)工為仁^。現(xiàn)在設(shè)耀eM使得短〈萬(wàn)。由于卜加6在田中稠密，故存在/使得/ 1、/己3兀一I踮人從而ywB工一。陶人那么&0工3/)+d(/㈤』&0工3/)+d(/㈤』5『1：-.—十—=U22(n§/，一匚3（二刃匚U，并且XEB/,一l活人于是口是后的元素的并。故B是（瓦的的一個(gè)可數(shù)的拓?fù)浠?）=12）=1）設(shè)｛耳睽的是（乙的一個(gè)可數(shù)拓?fù)浠?冏W",任取/w4.那么｛4旌乃是可圖。為了證明此可數(shù)集在區(qū)中稠密，只需證明對(duì)區(qū)的任一開(kāi)集「工0這是顯然的。因?yàn)閊是拓?fù)浠?，故至少存在為?使得舄匚口。于是/三口。因此（4卜己.是總的一個(gè)可數(shù)稠密集，即阿㈤是可分的。_」1、一個(gè)可數(shù)稠密集，即阿㈤是可分的。_」1、飛盤(pán) 五一uHE=UBk「三、證明：XL.L，故n口。的緊性表明存在有限個(gè)犬依】*情】T丁門(mén)】演，/使"%使得。則口是總的一可數(shù)集。]_ --：-F

下面證明白在豆中稠密，也即方二五。為此設(shè)邑￡＞口。于是存在舊匕獷使得司。從而存在a）如果，和都是工的開(kāi)集，*二藥°”2,并且無(wú)與“1C蒞都道路連通，則與也都道路連通.四.鏟」町?于是四.鏟」町?于是11cB匯一I知1。二見(jiàn)凡丹1。 _ _。此即表明龍￡口，因此下二力證明下證是道路連通的.的口巨苞一凡巧三與c凡，因無(wú)道路連通，故有無(wú)中的道路人［0口-才使鼻⑨=七戶(hù)⑴=3易見(jiàn)1"喘必）（。』,設(shè)數(shù)集小區(qū)華的下確界為，則［。⑷5町因?yàn)樾￠|）是電1］的開(kāi)氟所以有六'使匚一（W），由力的定義知，存在‘閆右&+以使厘㈤左藥門(mén)￡,作道路曬⑼二砧爾因?yàn)殚T(mén)￡道路連通，故存在道路叫曲1］7苞門(mén)出使啊⑨二厘㈤嗎⑴二國(guó)因此叼第叫是藥中的從飛到道路.這表明西門(mén)區(qū)中的點(diǎn)在中的連通分支巾"蒞，/C在道路連通，故㈤從而出］口因一町55町=包于是江」二哲，即是道路連通的.同理可證凡是道路連通的.b）若X的每個(gè)緊致子集都是胡集，則X中的序列的極限是惟一的證明首先，單點(diǎn)集總是緊致的，從而X滿(mǎn)足公理，假如工的一個(gè)序列（/）有兩個(gè)不同的極限"及""口，則是包含厘的開(kāi)集，它必定包含了 的幾乎所有項(xiàng)，也就是說(shuō)只有有限項(xiàng)為》，作子集'"0//=,0（4,則工緊致，從而是胡集，4是否的開(kāi)鄰域，它最多只能含（/）的有限多項(xiàng)，從而/步".測(cè)試題一、（20分）證明：T=U-X:X—U是可數(shù)集}U{0}構(gòu)成X上的拓?fù)?；并說(shuō)明該拓?fù)涫荰的還是T2一、（20分）1）f連續(xù)；三、（20分）f-1(B0)u(f-1）f連續(xù)；三、（20分）f-1(B0)u(f-i(B))2）對(duì)于Y的任何一個(gè)子集B，B的內(nèi)部的原象包含于B的原象的內(nèi)部，即1、敘述完全正則空間的定義；2、證明：每一個(gè)完全正則空間都是正則空間。四、（20分）1）X中任一既開(kāi)又閉的連通子集都是X的連通分支.2）如果X只有有限個(gè)連通分支，那么X的每個(gè)連通分支都是既開(kāi)又閉的.舉例說(shuō)明如果X有無(wú)限個(gè)連通分支，結(jié)論未必成立.五、（20分）1、敘述緊致空間的定義；2、證明：緊致空間中的每一個(gè)胡子集都是緊致子集.答案一、證明：因X-X=0是可數(shù)集，故XeT,0eT.VU,VeT，則X-U,X-V是可數(shù)集，從而X-UnV=（X-U）U（X-丫）是可數(shù)集,即UPVeT.Va-t,VAea,X-A是可數(shù)集，于是"X-A）是可數(shù)集，從而X-UA=n（X-A）是可數(shù)集，即」A-T.，因此T=U-X：X一U是可數(shù)集}u{0}是X上的一個(gè)拓?fù)?可數(shù)補(bǔ)拓?fù)涫荰的不是T.由可數(shù)補(bǔ)空間的任意兩個(gè)非空開(kāi)集的交不空知它不是T空間.對(duì)x,yeR,x豐y，則y%R-{y}eN（x）且xeR-{x}e&），因此它是（空間.—f-i—f-i（B0）證明：1）02） 開(kāi)，又f-i(Bo)uf-i(B) f-i(Bo)u(f-i(B))。所以2)^])U開(kāi)f-i(U)=f-i(UJ=(f-i(U))所以f-i(U)=(f-i(U))三、證明：設(shè)C為X的既開(kāi)又閉的連通子集，A為X的連通分支且CuA，則c在子空間A中也是既開(kāi)又胡的。因?yàn)锳連通且C手°，故必有C=A，即C是X的連通分支。C即j是既開(kāi)又胡的(V'=1,2,…,n)1）設(shè)*U￡，其中Ci"'為X的連通分支。由于Vi,Ci閉于X，從而Vi=C即j是既開(kāi)又胡的(V'=1,2,…,n)C=UCC又因不同的連通分支不相交，故j i五i開(kāi)于X當(dāng)X有無(wú)限個(gè)連通分支時(shí)，結(jié)論未必成立。例如X=Q作為E1的子空間.VxGQ，｛^｝為連通分支，但不是：的開(kāi)子集。四、1、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g。如果對(duì)于任意xGX和X中任何一個(gè)不含點(diǎn)x的閉集B存在一個(gè)連續(xù)映射f:xf0"使得f（x）=0以及對(duì)于任何丁GB有f""1，則稱(chēng)拓?fù)淇臻gx是一個(gè)完全正則空間。2、證明：設(shè)X是一個(gè)完全正則空間。設(shè)XGX，B是X中的一個(gè)不含點(diǎn)的x閉集。則存在連續(xù)影射f:X-h'ff:X-h'f(x)=0和對(duì)于畫(huà)bgb于是口2J7和VL2J7分別是點(diǎn)x和閉集B的開(kāi)領(lǐng)域，并且它們無(wú)交。這表明X是一個(gè)正則空間。五、1、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g。如果X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋，則稱(chēng)拓?fù)淇臻gX是一個(gè)緊致空間.2、設(shè)Y是緊數(shù)空間的一個(gè)閉子集，如果A是Y的一個(gè)覆蓋，它由X中的開(kāi)集構(gòu)成，則B=Au｛Y｝是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋，設(shè)B1是B的一個(gè)有限子族并且覆蓋X，則B「｛Y｝便是A的一個(gè)有限子族并且覆蓋Y，這證明Y是的X一個(gè)緊致子集.測(cè)試題五一、（20分）1.敘述拓?fù)淇臻g的定義；2.證明：對(duì)無(wú)窮集X,集族Tc：[G:X\G為可數(shù)集｝°拙｝為拓?fù)洌籵. A=｛1:ngN｝3?在X=R且上述拓?fù)湎?，?4并做出說(shuō)明，其中 n，二、（20分）1.敘述11空間的定義；.證明：（X，T）為T(mén)空間0VxGX，｛x｝=｛x｝；.說(shuō)明有限補(bǔ)空間（R，TF）是T空間，但不是12空間.三、（15分）.敘述正則空間的定義；.證明：（X，T）為正則空間0VxGX，VUGN（x）,”GN（x）,使得D=U.四、（10分）敘述拓?fù)淇臻g上連續(xù)函數(shù)的定義，并給出函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)充要條件.五、（15分）敘述度量空間的定義并證明度量空間為第二可數(shù)空間的充要條件為它是可分空間.六、（10分）敘述緊空間的定義并寫(xiě)出（X，T）為緊空間的兩個(gè)充要條件.

七、(10分)敘述連通空間的定義，并給出空間(X，T)為連通空間的三個(gè)充要條件.答案一.(20分)1設(shè)X是一個(gè)集合，T-P,X稱(chēng)X為上的一個(gè)拓?fù)?若T滿(mǎn)足下面的三條：XeT,力eT；U,VeT,nUcVeT；(3)VAuTn2AeT..集族滿(mǎn)足上述的三條開(kāi)集公理，A—A,A-=0二.(20分).空間X稱(chēng)為[空間0V“，>且**y,存在UeN(x)，VeN(y)使yeU且x右V；.設(shè)X是(空間，對(duì)每個(gè)y*X,則存在VeN(y)，xeV于是ye{x}，因此{(lán)x}-{x}；反之，由每個(gè)單點(diǎn)集是閉集，對(duì)每個(gè)x，yeX且x*y，則y電X\{y}eN(x),x電X\{x}eN(y)，即x是T的；.由有限補(bǔ)空間(R，Tf)的任意兩個(gè)非空開(kāi)集之交不空知它不是T2空間；Vx，yeR且x*y，則yeR\{y}eN(x)，xeR\{x}eN(y)，即X是T的.三.(15分).設(shè)(X，T)是拓?fù)淇臻g.稱(chēng)X為正則空間0VF閉于X，xeF，存在UeN(x)，VeN(F)使UcV二。；.n設(shè)X是正則空間，UeN(x)，由x右X\U閉于X,存在VeN(x)，GeN(X\U展得VcG―、于是V-VuGc-U ■；uVxeX，F(xiàn)uX（xeF），「.xeX\FeN（x），由已知存在VeN（x），VuX\F;令U=X\VeN（F）則UcV=。，故x是正則空四.（15分）.設(shè)（X，t），（y，U）是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，若對(duì)VxeX，VVeN（f（x）），3UeN（x），f[U]uV，則稱(chēng)f是t-u連續(xù)的；.（a）VVeU,ft（V）eT;（b）VVeB,ft（V）eT.五.（15分）（1）p是集X上的一個(gè)度量0p:X義XT[0，+8）滿(mǎn)足下面的度量公理：P（x，y）=0ox=y;（2）p（x，y）=p（y，x）;（3）p（x，z）<p（x，y）+p（z，y）；⑵必要性是顯然的，下證可分度量空間(X，p)是第二可數(shù)的._，1={B（x，—）:xeA}設(shè)卜={x：ieN}是X的可數(shù)稠子集，對(duì)每個(gè)n設(shè)卜={x：ieN}是X的可數(shù)稠子集，對(duì)每個(gè)的可數(shù)開(kāi)集族；下面說(shuō)明B是X的基.TOC\o"1-5"\h\z， 1、neN，B(x， )—U事實(shí)上,對(duì)每個(gè)xeX，UeN(x)存在0 pn0 ，因A是X的稠子集，有1x_--）， xeB（x，--）—U，B是X的可數(shù)基.2n B是X的可數(shù)基.0這樣 0六.(10分)1.拓?fù)淇臻gX稱(chēng)為緊的oX的每個(gè)開(kāi)覆蓋有有限子覆蓋；2.(1)X內(nèi)每個(gè)具有有限交性質(zhì)的國(guó)集族具有非空交；(2)X內(nèi)每個(gè)網(wǎng)有聚點(diǎn).七.（10分）空間X稱(chēng)為連通空間：著這樣的子集4B不存在，4B滿(mǎn)足AcB=BcA=力；充要條件：（1）X沒(méi)有由兩個(gè)閉集組成的分劃；（2）X沒(méi)有由兩個(gè)開(kāi)集組成的分劃；（3）X的既開(kāi)又閉的子集只有“，X-測(cè)試題六一、（20分）1.敘述拓?fù)淇臻g的定義;A二(0,1)}u{2}.證明：對(duì)無(wú)窮集X,集族TF=｛G：XA二(0,1)}u{2}.在X=R上述拓?fù)湎拢驛A一，并做出說(shuō)明，其中T二、（20分）1.敘述0空間的定義;.證明：（X,t）為T(mén)o空間0V羽"X.｛x｝=仔｝,則x二y說(shuō)明：（L,。（L））空間是To空間，但不是T1空間。（L為多于一點(diǎn)的偏序集）.三、（20分）1.敘述正規(guī)空間的定義；2.證明：（X,t）空間為正規(guī)空間0VA閉于X，VWGN（A）,則mUGN（A）使得壯W.四、.（20分）1.敘述網(wǎng)的定義；2.證明：若拓?fù)淇臻g（X,T）是T的，則X內(nèi)每個(gè)網(wǎng)至多有一個(gè)極限點(diǎn).五、（20分）1.敘述Urysohn定理；2.敘述全正則空間的定義；3.說(shuō)明4‘4.5,9空間之間的關(guān)系.答案一、（20分）1設(shè)X是一個(gè)集合，T=P,X稱(chēng)X為上的一個(gè)拓?fù)?，若T滿(mǎn)足下面的三條：（1）XeT,?！闠;（2）U,VeT,nUcVeT;⑶VAuTnuAeT.A°=AAa2.集族滿(mǎn)足上述的三條開(kāi)集公理，3. ,二、（20分）1,空間X稱(chēng)為T(mén)o空間0Vx,y且xwy，存在UeN（x）y生U或存在VeN（y）xeV;2.設(shè)X是To空間且｛x｝二｛y｝，若x豐y可設(shè)存在UeN（x）y^U即UC｛y｝二。由定理xe｛y｝與假設(shè)矛盾；反之若（X,T）不是To空間，則存在x,y