近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件

第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件1第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件2第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件3第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件4第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件5萬(wàn)能顧問

歐拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）1707年出生在瑞士的巴塞爾（Basel）

城，13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo)．歐拉淵博的知識(shí)，無窮無盡的創(chuàng)作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！萬(wàn)能顧問歐拉（LeonhardEuler公元1707-6他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個(gè)多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清．他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個(gè)多世紀(jì)寫下7他對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨(dú)具匠心，《無窮小分析引論》一書便是他劃時(shí)代的代表作，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們稱他為"分析學(xué)的化身"．歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，據(jù)統(tǒng)計(jì)他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．他對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨(dú)具匠心，《無窮小分析引論》一書便8歐拉出生於牧師家庭，自幼受到父親的教育。13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。歐拉的父親希望他學(xué)習(xí)神學(xué)，但他最感興趣的是數(shù)學(xué)。在上大學(xué)時(shí)，他已受到約翰·伯努利的特別指導(dǎo)，專心研究數(shù)學(xué)。18歲時(shí)，他徹底的放棄了當(dāng)牧師的想法而專攻數(shù)學(xué)，并開始發(fā)表文章。歐拉出生於牧師家庭，自幼受到父親的教育。13歲時(shí)入讀91727年，在丹尼爾·伯努利的推薦下，歐拉到俄國(guó)的彼得堡科學(xué)院從事研究工作，并在1731年接替丹尼爾·伯努利，成為物理學(xué)教授。

在俄國(guó)的14年中，他努力不懈地投入研究工作，在分析學(xué)、數(shù)論及力學(xué)方面均有出色的表現(xiàn)。此外，歐拉還應(yīng)俄國(guó)政府的要求，解決了不少如地圖學(xué)、造船業(yè)等的實(shí)際問題。1727年，在丹尼爾·伯努利的推薦下，歐拉到俄國(guó)的彼101735年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普魯士腓特烈大帝的邀請(qǐng)到德國(guó)科學(xué)院擔(dān)任物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)一職，長(zhǎng)達(dá)25年。他在柏林期間的研究?jī)?nèi)容更加廣泛，涉及行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)等等，這些工作與他的數(shù)學(xué)研究互相推動(dòng)著。與此同時(shí)，他在微分方程、曲面微分幾何及其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。1735年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，11

1766年，他應(yīng)俄國(guó)沙皇喀德林二世的禮聘重回彼得堡。1771年彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來．

1766年，他應(yīng)俄國(guó)沙皇喀德林二世的禮聘重回彼得堡。12在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄．歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之久在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的13歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述年青時(shí)代筆記的內(nèi)容，心算并不限于簡(jiǎn)單的運(yùn)算，高等數(shù)學(xué)一樣可以用心算去完成．有一個(gè)例子足以說明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個(gè)單位，歐拉為了確定究竟誰(shuí)對(duì)，用心算進(jìn)行全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復(fù)雜的分析問題．歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述年青時(shí)代14歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家，從19歲起和歐拉通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生．等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈贊揚(yáng)，1759年10月2日歐拉在回信中盛稱拉格朗日的成就，并謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年青的拉格朗日的工作得以發(fā)表和流傳，并贏得巨大的聲譽(yù)．歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家，15他晚年的時(shí)候，歐洲所有的數(shù)學(xué)家都把他當(dāng)作老師，著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace）曾說過："歐拉是我們的導(dǎo)師．"歐拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計(jì)算氣球上升定律的成功，請(qǐng)朋友們吃飯，那時(shí)天王星剛發(fā)現(xiàn)不久，歐拉寫出了計(jì)算天王星軌道的要領(lǐng).他晚年的時(shí)候，歐洲所有的數(shù)學(xué)家都把他當(dāng)作老師，著名數(shù)16這時(shí)還和他的孫子逗笑，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從手中落下，口里喃喃地說："我死了"，歐拉終于"停止了生命和計(jì)算"．歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的．這時(shí)還和他的孫子逗笑，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從17歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tan（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，18哥尼斯堡七橋問題18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問題的答案，但是誰(shuí)也解決不了這個(gè)問題。哥尼斯堡七橋問題18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城19ABCDABCD20七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖2所示的簡(jiǎn)單圖形，于是，七橋問題就變成一個(gè)一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡(jiǎn)單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉的關(guān)注。他把具體七橋布局21第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件22歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：該圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？請(qǐng)看下面的分析。如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過該點(diǎn)n次，那么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：該圖是不能一筆畫出的圖形。23如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果24圖中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。1736年，歐拉在圣彼得堡科學(xué)院作了一次學(xué)術(shù)報(bào)告。在報(bào)告中，他證明了上述結(jié)論。后來他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫出的準(zhǔn)則，即歐拉定理。圖中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相25分析的化身歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，《無窮小分析引論》，《微分學(xué)原理》，以及《積分學(xué)原理》都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。除了教科書外，歐拉平均以每年800頁(yè)的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們整理出他的研究成果多達(dá)74卷。分析的化身歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不26歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析學(xué)的一些重要分支，如無窮級(jí)數(shù)、微分方程等的產(chǎn)生與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

歐拉把無窮級(jí)數(shù)由一般的運(yùn)算工具轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)重要的研究科目。他計(jì)算出了ξ函數(shù)在偶數(shù)點(diǎn)的值，他證明了是有理數(shù)，而且可以伯努利數(shù)來表示。此外，他對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)亦有所研究，并相當(dāng)精確的計(jì)算出歐拉常數(shù)γ的值，其值近似為0.57721566490153286060651209…歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析27在18世紀(jì)中葉，歐拉和其他數(shù)學(xué)家在解決物理方面的問過程中，創(chuàng)立了微分方程這門學(xué)科。其中在常微分方程方面，他完整地解決了n階常系數(shù)線性齊次方程的問題，對(duì)於非齊次方程，他提出了一種降低方程階的解法；在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動(dòng)的問題，歸結(jié)出了一、二、三維波動(dòng)方程的解法。歐拉所寫的《方程的積分法研究》更是偏微分方程在純數(shù)學(xué)研究中的第一篇論文。在18世紀(jì)中葉，歐拉和其他數(shù)學(xué)家在解決物理方面的問28在微分幾何方面，歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達(dá)方式。在1766年，他出版了《關(guān)於曲面上曲線的研究》，這是歐拉對(duì)微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，更是微分幾何發(fā)展史上一個(gè)里程碑。他將曲面表為z=f(x,y)，并引入一系列標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)以表示z對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)，這些符號(hào)至今仍通用。此外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式。在微分幾何方面，歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了29歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝枚舉，如他引入了G函數(shù)和B函數(shù)，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等。數(shù)學(xué)史家認(rèn)為，歐拉的著作《無窮小分析引論》是第一部最系統(tǒng)的分析學(xué)的著作?！兑摗肥状伟押瘮?shù)概念放在突出的地位，并把函數(shù)的概念作為全書的基礎(chǔ)。歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝枚舉，如他引入了G函數(shù)和B函30《引論》的第一章就是函數(shù)概念，第四章是用無窮級(jí)數(shù)解釋函數(shù)，給無窮級(jí)數(shù)理論注入了新的生命。第六章是用函數(shù)觀點(diǎn)討論指數(shù)與對(duì)數(shù)?！兑摗钒讶菍W(xué)發(fā)展到一個(gè)嶄新的階段，使三角學(xué)脫離了天文學(xué)而發(fā)展為分析學(xué)的一個(gè)分支。歐拉用分析方法研究三角學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要公式：歐拉令x=π,便得到一個(gè)奇妙的恒等式?！兑摗返牡谝徽戮褪呛瘮?shù)概念，第四章是用無窮級(jí)數(shù)解釋31這個(gè)恒等式把數(shù)學(xué)中最基本的5個(gè)數(shù)1，0，i，π，e用一個(gè)恒等式聯(lián)系起來了。德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，這時(shí)整個(gè)數(shù)學(xué)中最卓越最漂亮的公式之一。歐拉的《引論》及他的其他一些著作，對(duì)以后的數(shù)學(xué)家有極大的吸引力。因?yàn)闅W拉是杰出的方法發(fā)明家，是善于用歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的大師。這個(gè)恒等式把數(shù)學(xué)中最基本的5個(gè)數(shù)1，0，i，π，e用一32他在自己的著作中，總是下功夫把有關(guān)的歸納證明細(xì)心地，詳盡地，有條有理地寫出來，坦率地表述把他引向發(fā)現(xiàn)的那些思想。因此讀歐拉的著作，不只是能學(xué)到現(xiàn)成的結(jié)論，更重要的是能學(xué)到獲得這些結(jié)論的思考方法。大概由于這個(gè)緣故，歐拉的著作被視為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好學(xué)校。高斯在信中寫到：“學(xué)習(xí)歐拉的著作，乃是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的最好工具?！彼谧约旱闹髦校偸窍鹿Ψ虬延嘘P(guān)的歸納證明細(xì)心地，33鑒于歐拉對(duì)微積分的貢獻(xiàn)，同時(shí)代的人稱他為“分析的化身”，約翰·伯努利這樣贊許這位學(xué)生在分析方面青出于藍(lán)：“我介紹高等分析時(shí)，它還是個(gè)孩子，而歐拉正將它帶大成人?！辫b于歐拉對(duì)微積分的貢獻(xiàn)，同時(shí)代的人稱他為“分析的化身342.數(shù)學(xué)王子高斯2.數(shù)學(xué)王子高斯35在德國(guó)哥廷根大學(xué)的廣場(chǎng)上，引人注目地矗立著一座用白色大理石砌成的紀(jì)念碑，它的底座砌成正十七邊形，紀(jì)念碑上是一個(gè)青銅雕像，他就是高斯。高斯是德國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家，1777年4月30日生于德國(guó)的不倫瑞克，1855年2月23日逝世于哥廷根。由于他非凡的數(shù)學(xué)才華和偉大成就，人們尊崇他為“數(shù)學(xué)王子”。在德國(guó)哥廷根大學(xué)的廣場(chǎng)上，引人注目地矗立著一座用36高斯出生在一個(gè)貧苦的家庭，祖父是農(nóng)民，父親沒有固定職業(yè)，為了維持生計(jì)，做過多種工作，沒有受太多的教育，但也能寫會(huì)算。母親是父親第二個(gè)妻子，在結(jié)婚前是一個(gè)貴族家的女仆，聰慧善良，僅能識(shí)字而不會(huì)寫。在高斯親屬中的長(zhǎng)輩中對(duì)他影響最大的要數(shù)腓特烈舅舅。腓特烈舅舅很有智慧，他靠自己鉆研成為藝術(shù)綢緞的著名織匠，他十分喜愛聰明的高斯。高斯出生在一個(gè)貧苦的家庭，祖父是農(nóng)民，父親沒有固定37有一次，舅舅帶高斯在河邊玩。舅舅看到河的上游漂來一根木頭，便問高斯：“小高斯，你說木頭為什么沉不下去?”

“木頭輕唄!”小高斯不加思索地回答。

舅舅彎下腰，拾起一顆小石子，又問：“這顆石子重還是那根木頭重?”

“木頭重，大木頭重多啦!”

舅舅并不吱聲，只見他用力一扔，撲通一聲，石子沉到了河底。

“……”有一次，舅舅帶高斯在河邊玩。舅舅看到河的上游漂來一38舅舅沒有給小外甥解釋，為什么比大木頭輕的小石子會(huì)沉下去，但是，這件事給小高斯留下了難忘的印象。他認(rèn)識(shí)到，要得到正確的結(jié)論，必須有嚴(yán)密的推理。他逐漸養(yǎng)成習(xí)慣，遇事一定要問幾個(gè)“為什么”。在整個(gè)數(shù)學(xué)史上，沒有人像高斯那樣早熟，說來簡(jiǎn)直令人難以置信。當(dāng)他還在咿呀學(xué)語(yǔ)時(shí)，母親懷抱中的他就能把雞欄中的小雞數(shù)得一清二楚；舅舅沒有給小外甥解釋，為什么比大木頭輕的小石子會(huì)沉下39他在3歲的時(shí)候就已經(jīng)顯示出不凡的智慧。有一個(gè)星期六的晚上，高斯的父親在費(fèi)力地計(jì)算工人的工資，他一點(diǎn)也沒察覺到兒子在旁邊觀看著，當(dāng)他好不容易計(jì)算出來后，松了一口氣。不料小高斯過來拉拉他的衣角，細(xì)聲說：“算錯(cuò)啦，爸爸?？倲?shù)是……”父親驚訝不已，決定重算一遍，結(jié)果是兒子對(duì)了!高斯父親原來并不打算讓高斯上學(xué)，看到如此聰明的兒子，他改變了主意。7歲時(shí)，父親把高斯送進(jìn)國(guó)民小學(xué)。他在3歲的時(shí)候就已經(jīng)顯示出不凡的智慧。有一個(gè)星期六的晚上，高40圣·凱瑟琳小學(xué)是高斯走進(jìn)的第一所學(xué)校，管理學(xué)校的是個(gè)叫布特納的教師，一位從柏林來的大學(xué)生。布特納認(rèn)為讓他來教這些頑皮的鄉(xiāng)下孩子，簡(jiǎn)直是大材小用，心情不好的他經(jīng)常把怒氣撒到學(xué)生身上，動(dòng)輒揪著小學(xué)生的耳朵罰站墻角。小學(xué)生見到他，就像老鼠見了貓，嚇得幾乎連自己的名字都記不清子?？墒?，就從這個(gè)使孩子膽戰(zhàn)心驚的老師身上，高斯找到了幸運(yùn)。圣·凱瑟琳小學(xué)是高斯走進(jìn)的第一所學(xué)校，管理學(xué)校的是41高斯上四年級(jí)的一天，神情嚴(yán)厲的布特納夾著講義來上算術(shù)課。這一天，他好像特別不高興，陰沉著臉向大家說，如果做不好今天的題，就不用回家吃飯了。他讓學(xué)生們計(jì)算1+2+3+…+100=?

隨后，他拿出一本書讀起來，教室里一片寂靜，所有的學(xué)生都在急忙地計(jì)算，數(shù)字越加越大，稍不留心錯(cuò)一位，又得重新開始，有的同學(xué)滿頭是汗，有的同學(xué)急出了淚花。高斯上四年級(jí)的一天，神情嚴(yán)厲的布特納夾著講義來上算42高斯沒有急于計(jì)算，而是細(xì)心地觀察，他發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，50+51=101?？偣灿?0個(gè)101，他立刻得到：1+2+3+…+99+100=50×51=5050。

當(dāng)他把寫有答案的石板交給老師時(shí)，布特納認(rèn)為這個(gè)全班最小的學(xué)生準(zhǔn)是瞎寫了些什么或交了白卷，不耐煩地說：“再算算。”高斯捧著自己的小石板，輕聲地說：“老師，我算完了?！备咚箾]有急于計(jì)算，而是細(xì)心地觀察，他發(fā)現(xiàn)1+100=143

當(dāng)布特納的目光不經(jīng)意地向石板上瞟了一眼時(shí)，他大吃一驚。要知道高斯用的這個(gè)方法，是許多古代數(shù)學(xué)家經(jīng)過長(zhǎng)期努力找出來的求等差級(jí)數(shù)和的方法，有經(jīng)驗(yàn)的布特納意識(shí)到這是一件不尋常的事。這個(gè)聰明的鄉(xiāng)下孩子改變了他昔日的看法，他從柏林買來最好的算術(shù)書送給小高斯。

當(dāng)布特納的目光不經(jīng)意地向石板上瞟了一眼時(shí)，他大吃一驚44

這些新書帶給高斯極大的興趣和喜悅，他把一個(gè)大蘿卜挖成空心，在中間放上一塊油脂，插上一個(gè)燈芯，一盞蘿卜燈就做好了，每天晚上它陪伴著高斯在閣樓上學(xué)習(xí)到深夜。沒用多長(zhǎng)時(shí)間小高斯就把老師送給他的書都看完了，并且不斷探索新問題。

“他已經(jīng)超過我了，”布特納不得不承認(rèn)，“我沒有更多東西可以教他了?！?/p>

這些新書帶給高斯極大的興趣和喜悅，他把一個(gè)大蘿卜挖成45

幸好，這位校長(zhǎng)有個(gè)年輕的助手巴特爾斯，他為人和善，對(duì)數(shù)學(xué)有特殊的愛好，他只比高斯大8歲，高斯很快和他結(jié)成形影不離的好朋友。兩個(gè)人一起學(xué)習(xí)，相互切磋。他們沖破一道道障礙，解決一個(gè)個(gè)疑難。尤為可貴的是，現(xiàn)成的結(jié)論已經(jīng)不能使高斯?jié)M足。他以批判的眼光對(duì)書上的結(jié)論逐個(gè)進(jìn)行審查，一連要問上好幾個(gè)“為什么”。在這個(gè)基礎(chǔ)上，他開始對(duì)數(shù)學(xué)大師們的某些“證明”不客氣地提出挑戰(zhàn)。

幸好，這位校長(zhǎng)有個(gè)年輕的助手巴特爾斯，他為人和善，對(duì)46

高斯成了當(dāng)?shù)赜忻纳裢?。有一天他邊走邊讀書，不知不覺中闖入勃朗斯威克公爵費(fèi)迪南的花園，公爵夫婦聽說這個(gè)孩子就是高斯時(shí)，便對(duì)他進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)高斯確實(shí)聰明。高斯的聰明才智得到費(fèi)迪南公爵的賞識(shí)，他決定資助高斯深造。

15歲的高斯被送進(jìn)卡羅琳學(xué)院，在那里他掌握了希臘文、拉丁文、法文，又學(xué)會(huì)了代數(shù)、幾何、微積分，語(yǔ)言學(xué)和數(shù)學(xué)是他最喜歡的兩門課程。

高斯成了當(dāng)?shù)赜忻纳裢?。有一天他邊走邊讀書，不知不覺47這里的一切強(qiáng)烈地吸引著這個(gè)渴望知識(shí)的農(nóng)村孩子，這是他步入科學(xué)殿堂的新起點(diǎn)。

課余時(shí)間，高斯常常留連于圖書館中鉆研外文和數(shù)學(xué)。他專心研讀了英國(guó)的牛頓、法國(guó)的拉格朗日、瑞士的歐拉這些大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家的外文原著，他學(xué)習(xí)但不迷信，對(duì)大師們的某些證明有時(shí)也不客氣地提出挑戰(zhàn)。勤奮的學(xué)習(xí)得到了豐碩的成果。兩年后，17歲的高斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)論中的二次互反律。這個(gè)問題大數(shù)學(xué)家歐拉和勒讓德都曾研究過，但第一個(gè)給出嚴(yán)格證明的是高斯。學(xué)院院長(zhǎng)為此感到十分榮耀，親自發(fā)給高斯獎(jiǎng)狀。這里的一切強(qiáng)烈地吸引著這個(gè)渴望知識(shí)的農(nóng)村孩子，這是他48

18歲時(shí)，高斯在費(fèi)迪南公爵的推薦下進(jìn)入了哥廷根大學(xué)。這所大學(xué)的辦學(xué)方式追隨英國(guó)牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)，獎(jiǎng)金充裕。高斯對(duì)它格外傾心的原因還有兩個(gè)，一是這里有極豐富的藏書，二是它注重改革，側(cè)重科學(xué)的好名聲。

數(shù)學(xué)和語(yǔ)言等幾科學(xué)問都是高斯所鐘愛的，究竟把哪種學(xué)問作為自己終生研究的職業(yè)，高斯久久拿不定主意。

18歲時(shí)，高斯在費(fèi)迪南公爵的推薦下進(jìn)入了哥廷根大學(xué)。491796年3月30日，19歲的高斯用直尺和圓規(guī)作出了正十七邊形，自歐幾里得時(shí)代起就困擾著歷代數(shù)學(xué)家的尺規(guī)作圖這一難題，兩干多年后被高斯這個(gè)青年學(xué)生解決了，這一成果震動(dòng)了數(shù)學(xué)界。這一成果最終決定了他走數(shù)學(xué)之路而非文學(xué)之路，高斯真正認(rèn)識(shí)了自己的能力之所在。從1796年至1801年是高斯學(xué)術(shù)創(chuàng)作的最旺盛的階段，他提出的定理、證明、概念、假設(shè)和理論每年平均25項(xiàng)之多，一顆璀璨的數(shù)學(xué)新星冉冉升起。1796年3月30日，19歲的高斯用直尺和圓規(guī)作出50

1807年，高斯被他的母校哥廷根大學(xué)聘為常任數(shù)學(xué)教授和天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)這個(gè)職務(wù)比一個(gè)通常的大學(xué)職位更適合于高斯，他是一個(gè)寡言的人，縝密思考是他的強(qiáng)項(xiàng)，他對(duì)教學(xué)的興趣可不大，而天文臺(tái)的工作可以激發(fā)他對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)和天文學(xué)的極大興趣。在這個(gè)職位上他一直工作到1855年2月23日逝世之前。

1807年，高斯被他的母校哥廷根大學(xué)聘為常任數(shù)學(xué)教授51高斯幾乎對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻(xiàn)，是許多數(shù)學(xué)學(xué)科的開創(chuàng)者和奠基人。數(shù)學(xué)家評(píng)論說：“在數(shù)學(xué)世界里，高斯處處留芳。”在代數(shù)學(xué)方面，他第一個(gè)證明了任何一個(gè)復(fù)系數(shù)的單變量的代數(shù)方程都至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。這一定理被稱為代數(shù)基本定理。他還嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了任何復(fù)系數(shù)單變量n次方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根。這兩個(gè)定理的證明奠定了代數(shù)方程的理論基礎(chǔ)高斯幾乎對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻(xiàn)，是許多數(shù)學(xué)52

在數(shù)論方面，高斯在18世紀(jì)末完成了他的傳世之作《算術(shù)研究》，其中的論等分圓周問題是這部專著的精華部分。這部著作給數(shù)論的研究開創(chuàng)了一個(gè)新紀(jì)元，是現(xiàn)代數(shù)論的基礎(chǔ)。高斯非常偏愛數(shù)論，他曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王?！币院蟮?00年間，幾乎所有數(shù)論方面的發(fā)現(xiàn)都能追溯到他的研究里去。

在數(shù)論方面，高斯在18世紀(jì)末完成了他的傳世之作《算術(shù)53

高斯在曲面論、單復(fù)變函數(shù)論及其他方面也有卓越的貢獻(xiàn)。此外，他還有大量成果在生前沒有發(fā)表，其中最著名的有橢圓函數(shù)和非歐幾何。高斯對(duì)科學(xué)持嚴(yán)謹(jǐn)慎重的態(tài)度，他絕不把沒有完全成熟的成果拿出來發(fā)表，在他的日記里記載著大量非常有價(jià)值的研究成果，直到高斯去世后，人們才發(fā)現(xiàn)并被這些重大成果所震驚。

高斯在曲面論、單復(fù)變函數(shù)論及其他方面也有卓越的貢獻(xiàn)。54

高斯24歲時(shí)，一個(gè)名叫皮亞齊的天文學(xué)家在意大利西西里島的巴勒莫天文臺(tái)核對(duì)星圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“沒有尾巴的彗星”，它的直徑只有770公里，他觀察這個(gè)新面孔40多天，不久它被陽(yáng)光所掩，隨之就消失在太空中了。全世界的天文學(xué)家都竭盡全力搜尋它，可是在無垠的太空中去尋找一顆小星星，宛如大海里撈針，談何容易。

高斯24歲時(shí)，一個(gè)名叫皮亞齊的天文學(xué)家在意大利西西里55高斯采用了新的數(shù)學(xué)方法，創(chuàng)立了行星橢圓軌道法，解決這個(gè)問題導(dǎo)致一個(gè)8次方程。為了算這個(gè)8次方程的近似解，高斯發(fā)明了“最小二乘法”，為了評(píng)價(jià)這種近似解的可信度，又建立了“誤差論”。用高斯的新方法，只需三次觀測(cè)數(shù)據(jù)就可以給小行星定位。高斯采用了新的數(shù)學(xué)方法，創(chuàng)立了行星橢圓軌道法，解決56

高斯取得的成果，當(dāng)時(shí)并沒有引起天文學(xué)家的重視。但是，當(dāng)人們?cè)诟咚诡A(yù)言小行星將要出現(xiàn)的位置和時(shí)刻發(fā)現(xiàn)了小行星時(shí)，天文學(xué)家們大吃一驚。這就是人類歷史上觀測(cè)到的第一顆小行星，著名的“谷神星”。1802年，他又準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了小行星二號(hào)－－智神星的位置，這時(shí)他的聲名遠(yuǎn)播，榮譽(yù)滾滾而來，俄國(guó)圣彼得堡科學(xué)院選他為會(huì)員，請(qǐng)他當(dāng)哥廷根天文臺(tái)主任，他沒有立刻答應(yīng)，到了1807年才前往哥廷根就任。

高斯取得的成果，當(dāng)時(shí)并沒有引起天文學(xué)家的重視。但是，571809年他寫了《天體運(yùn)動(dòng)理論》二冊(cè)，第一冊(cè)包含了微分方程、圓錐截痕和橢圓軌道，第二冊(cè)他展示了如何估計(jì)行星的軌道。高斯在天文學(xué)上的貢獻(xiàn)大多在1817年以前，但他仍一直做著觀察的工作到他七十歲為止。雖然做著天文臺(tái)的工作，他仍抽空做其他研究。為了用積分解天體運(yùn)動(dòng)的微分力程，他考慮無窮級(jí)數(shù)，并研究級(jí)數(shù)的收斂問題，在1812年，他研究了超幾何級(jí)數(shù)，并且把研究結(jié)果寫成專題論文，呈給哥廷根皇家科學(xué)院。1809年他寫了《天體運(yùn)動(dòng)理論》二冊(cè)，第一冊(cè)包含了微581820到1830年間，高斯為了測(cè)繪汗諾華公國(guó)的地圖，開始做測(cè)地的工作，他寫了關(guān)於測(cè)地學(xué)的書，由於測(cè)地上的需要，他發(fā)明了日觀測(cè)儀。為了要對(duì)地球表面作研究，他開始對(duì)一些曲面的幾何性質(zhì)作研究。1827年他發(fā)表了《曲面的一般研究》，涵蓋一部分現(xiàn)在大學(xué)念的《微分幾何》。1820到1830年間，高斯為了測(cè)繪汗諾華公國(guó)的地59在1830到1840年間，高斯和一個(gè)比他小廿七歲的年輕物理學(xué)家－韋伯(WithelmWeber)一起從事磁的研究，他們的合作是很理想的：韋伯作實(shí)驗(yàn)，高斯研究理論，韋伯引起高斯對(duì)物理問題的興趣，而高斯用數(shù)學(xué)工具處理物理問題，影響韋伯的思考工作方法。1833年高斯從他的天文臺(tái)拉了一條長(zhǎng)八千尺的電線，跨過許多人家的屋頂，一直到韋伯的實(shí)驗(yàn)室，以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個(gè)電報(bào)機(jī)。在1830到1840年間，高斯和一個(gè)比他小廿七歲的601835年高斯在天文臺(tái)里設(shè)立磁觀測(cè)站，并且組織「磁協(xié)會(huì)」發(fā)表研究結(jié)果，引起世界廣大地區(qū)對(duì)地磁作研究和測(cè)量。高斯已經(jīng)得到了地磁的準(zhǔn)確理論，他為了要獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的證明，他的書《地磁的一般理論》拖到1839年才發(fā)表。1835年高斯在天文臺(tái)里設(shè)立磁觀測(cè)站，并且組織「磁611840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場(chǎng)圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。1841年美國(guó)科學(xué)家證實(shí)了高斯的理論，找到了磁南極和磁北極的確實(shí)位置。高斯一生勤奮努力，刻苦鉆研，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，成果豐碩，對(duì)人類的科學(xué)事業(yè)做出了巨大貢獻(xiàn)。他的格言是“寧肯少些，但要好些”。1840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場(chǎng)圖，而62他的著作都是精心構(gòu)思，反復(fù)推敲后以最精辟的形式論證的。高斯的個(gè)性孤僻，他更喜歡獨(dú)自從事研究。他盡力避免學(xué)術(shù)論爭(zhēng)，一些前瞻性的研究成果，為了避免“蠢人的譏笑，”他寧可把它們鎖在抽屜的深處。他特別注意他的著作可能產(chǎn)生的影響，不達(dá)盡善盡美的程度絕不發(fā)表。所以他的著作遠(yuǎn)沒有歐拉的著作多，但一旦下筆，就會(huì)在數(shù)學(xué)界引起反響。他的著作都是精心構(gòu)思，反復(fù)推敲后以最精辟的形式論證的63他一生共發(fā)表論著155篇(部)，他是最后一位卓越的古典數(shù)學(xué)家，又是一位杰出的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家。他不僅預(yù)見了19世紀(jì)的數(shù)學(xué)，還為19世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

1855年2月3日清晨，高斯在睡眠中故去。許多政府和大學(xué)的高級(jí)官員都來參加高斯的葬禮，為這個(gè)不同凡響的數(shù)學(xué)巨匠送行他一生共發(fā)表論著155篇(部)，他是最后一位卓越的古64他的學(xué)生(后來成為法國(guó)科學(xué)院、柏林科學(xué)院、羅馬科學(xué)院院士)戴德金是送葬抬棺者之一，高斯的女婿在悼詞中贊揚(yáng)他是難得的無與倫比的天才。高斯的大腦具有深而多的溝回，作為解剖標(biāo)本被收藏于哥廷根大學(xué)。高斯被后人譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。這種贊譽(yù)恰如其分，他是數(shù)學(xué)史上一個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)期的杰出代表人物，起著承上啟下的作用。在他身后，哥廷根大學(xué)對(duì)高斯的遺著及文稿進(jìn)行整理，歷時(shí)67年，出版了《高斯全集》共12卷。他的學(xué)生(后來成為法國(guó)科學(xué)院、柏林科學(xué)院、羅馬科學(xué)65謝謝謝謝66第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件67第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件68第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件69第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件70第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件71萬(wàn)能顧問

歐拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）1707年出生在瑞士的巴塞爾（Basel）

城，13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo)．歐拉淵博的知識(shí)，無窮無盡的創(chuàng)作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！萬(wàn)能顧問歐拉（LeonhardEuler公元1707-72他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個(gè)多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清．他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個(gè)多世紀(jì)寫下73他對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨(dú)具匠心，《無窮小分析引論》一書便是他劃時(shí)代的代表作，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們稱他為"分析學(xué)的化身"．歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，據(jù)統(tǒng)計(jì)他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．他對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨(dú)具匠心，《無窮小分析引論》一書便74歐拉出生於牧師家庭，自幼受到父親的教育。13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。歐拉的父親希望他學(xué)習(xí)神學(xué)，但他最感興趣的是數(shù)學(xué)。在上大學(xué)時(shí)，他已受到約翰·伯努利的特別指導(dǎo)，專心研究數(shù)學(xué)。18歲時(shí)，他徹底的放棄了當(dāng)牧師的想法而專攻數(shù)學(xué)，并開始發(fā)表文章。歐拉出生於牧師家庭，自幼受到父親的教育。13歲時(shí)入讀751727年，在丹尼爾·伯努利的推薦下，歐拉到俄國(guó)的彼得堡科學(xué)院從事研究工作，并在1731年接替丹尼爾·伯努利，成為物理學(xué)教授。

在俄國(guó)的14年中，他努力不懈地投入研究工作，在分析學(xué)、數(shù)論及力學(xué)方面均有出色的表現(xiàn)。此外，歐拉還應(yīng)俄國(guó)政府的要求，解決了不少如地圖學(xué)、造船業(yè)等的實(shí)際問題。1727年，在丹尼爾·伯努利的推薦下，歐拉到俄國(guó)的彼761735年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普魯士腓特烈大帝的邀請(qǐng)到德國(guó)科學(xué)院擔(dān)任物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)一職，長(zhǎng)達(dá)25年。他在柏林期間的研究?jī)?nèi)容更加廣泛，涉及行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)等等，這些工作與他的數(shù)學(xué)研究互相推動(dòng)著。與此同時(shí)，他在微分方程、曲面微分幾何及其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。1735年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，77

1766年，他應(yīng)俄國(guó)沙皇喀德林二世的禮聘重回彼得堡。1771年彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來．

1766年，他應(yīng)俄國(guó)沙皇喀德林二世的禮聘重回彼得堡。78在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄．歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之久在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的79歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述年青時(shí)代筆記的內(nèi)容，心算并不限于簡(jiǎn)單的運(yùn)算，高等數(shù)學(xué)一樣可以用心算去完成．有一個(gè)例子足以說明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個(gè)單位，歐拉為了確定究竟誰(shuí)對(duì)，用心算進(jìn)行全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復(fù)雜的分析問題．歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述年青時(shí)代80歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家，從19歲起和歐拉通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生．等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈贊揚(yáng)，1759年10月2日歐拉在回信中盛稱拉格朗日的成就，并謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年青的拉格朗日的工作得以發(fā)表和流傳，并贏得巨大的聲譽(yù)．歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家，81他晚年的時(shí)候，歐洲所有的數(shù)學(xué)家都把他當(dāng)作老師，著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace）曾說過："歐拉是我們的導(dǎo)師．"歐拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計(jì)算氣球上升定律的成功，請(qǐng)朋友們吃飯，那時(shí)天王星剛發(fā)現(xiàn)不久，歐拉寫出了計(jì)算天王星軌道的要領(lǐng).他晚年的時(shí)候，歐洲所有的數(shù)學(xué)家都把他當(dāng)作老師，著名數(shù)82這時(shí)還和他的孫子逗笑，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從手中落下，口里喃喃地說："我死了"，歐拉終于"停止了生命和計(jì)算"．歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的．這時(shí)還和他的孫子逗笑，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從83歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tan（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，84哥尼斯堡七橋問題18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問題的答案，但是誰(shuí)也解決不了這個(gè)問題。哥尼斯堡七橋問題18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城85ABCDABCD86七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖2所示的簡(jiǎn)單圖形，于是，七橋問題就變成一個(gè)一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡(jiǎn)單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉的關(guān)注。他把具體七橋布局87第六章近代數(shù)學(xué)的兩座燈塔課件88歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：該圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？請(qǐng)看下面的分析。如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過該點(diǎn)n次，那么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：該圖是不能一筆畫出的圖形。89如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果90圖中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。1736年，歐拉在圣彼得堡科學(xué)院作了一次學(xué)術(shù)報(bào)告。在報(bào)告中，他證明了上述結(jié)論。后來他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫出的準(zhǔn)則，即歐拉定理。圖中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相91分析的化身歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，《無窮小分析引論》，《微分學(xué)原理》，以及《積分學(xué)原理》都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。除了教科書外，歐拉平均以每年800頁(yè)的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們整理出他的研究成果多達(dá)74卷。分析的化身歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不92歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析學(xué)的一些重要分支，如無窮級(jí)數(shù)、微分方程等的產(chǎn)生與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

歐拉把無窮級(jí)數(shù)由一般的運(yùn)算工具轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)重要的研究科目。他計(jì)算出了ξ函數(shù)在偶數(shù)點(diǎn)的值，他證明了是有理數(shù)，而且可以伯努利數(shù)來表示。此外，他對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)亦有所研究，并相當(dāng)精確的計(jì)算出歐拉常數(shù)γ的值，其值近似為0.57721566490153286060651209…歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析93在18世紀(jì)中葉，歐拉和其他數(shù)學(xué)家在解決物理方面的問過程中，創(chuàng)立了微分方程這門學(xué)科。其中在常微分方程方面，他完整地解決了n階常系數(shù)線性齊次方程的問題，對(duì)於非齊次方程，他提出了一種降低方程階的解法；在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動(dòng)的問題，歸結(jié)出了一、二、三維波動(dòng)方程的解法。歐拉所寫的《方程的積分法研究》更是偏微分方程在純數(shù)學(xué)研究中的第一篇論文。在18世紀(jì)中葉，歐拉和其他數(shù)學(xué)家在解決物理方面的問94在微分幾何方面，歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達(dá)方式。在1766年，他出版了《關(guān)於曲面上曲線的研究》，這是歐拉對(duì)微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，更是微分幾何發(fā)展史上一個(gè)里程碑。他將曲面表為z=f(x,y)，并引入一系列標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)以表示z對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)，這些符號(hào)至今仍通用。此外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式。在微分幾何方面，歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了95歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝枚舉，如他引入了G函數(shù)和B函數(shù)，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等。數(shù)學(xué)史家認(rèn)為，歐拉的著作《無窮小分析引論》是第一部最系統(tǒng)的分析學(xué)的著作。《引論》首次把函數(shù)概念放在突出的地位，并把函數(shù)的概念作為全書的基礎(chǔ)。歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝枚舉，如他引入了G函數(shù)和B函96《引論》的第一章就是函數(shù)概念，第四章是用無窮級(jí)數(shù)解釋函數(shù)，給無窮級(jí)數(shù)理論注入了新的生命。第六章是用函數(shù)觀點(diǎn)討論指數(shù)與對(duì)數(shù)?！兑摗钒讶菍W(xué)發(fā)展到一個(gè)嶄新的階段，使三角學(xué)脫離了天文學(xué)而發(fā)展為分析學(xué)的一個(gè)分支。歐拉用分析方法研究三角學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要公式：歐拉令x=π,便得到一個(gè)奇妙的恒等式?！兑摗返牡谝徽戮褪呛瘮?shù)概念，第四章是用無窮級(jí)數(shù)解釋97這個(gè)恒等式把數(shù)學(xué)中最基本的5個(gè)數(shù)1，0，i，π，e用一個(gè)恒等式聯(lián)系起來了。德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，這時(shí)整個(gè)數(shù)學(xué)中最卓越最漂亮的公式之一。歐拉的《引論》及他的其他一些著作，對(duì)以后的數(shù)學(xué)家有極大的吸引力。因?yàn)闅W拉是杰出的方法發(fā)明家，是善于用歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的大師。這個(gè)恒等式把數(shù)學(xué)中最基本的5個(gè)數(shù)1，0，i，π，e用一98他在自己的著作中，總是下功夫把有關(guān)的歸納證明細(xì)心地，詳盡地，有條有理地寫出來，坦率地表述把他引向發(fā)現(xiàn)的那些思想。因此讀歐拉的著作，不只是能學(xué)到現(xiàn)成的結(jié)論，更重要的是能學(xué)到獲得這些結(jié)論的思考方法。大概由于這個(gè)緣故，歐拉的著作被視為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好學(xué)校。高斯在信中寫到：“學(xué)習(xí)歐拉的著作，乃是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的最好工具?！彼谧约旱闹髦校偸窍鹿Ψ虬延嘘P(guān)的歸納證明細(xì)心地，99鑒于歐拉對(duì)微積分的貢獻(xiàn)，同時(shí)代的人稱他為“分析的化身”，約翰·伯努利這樣贊許這位學(xué)生在分析方面青出于藍(lán)：“我介紹高等分析時(shí)，它還是個(gè)孩子，而歐拉正將它帶大成人?！辫b于歐拉對(duì)微積分的貢獻(xiàn)，同時(shí)代的人稱他為“分析的化身1002.數(shù)學(xué)王子高斯2.數(shù)學(xué)王子高斯101在德國(guó)哥廷根大學(xué)的廣場(chǎng)上，引人注目地矗立著一座用白色大理石砌成的紀(jì)念碑，它的底座砌成正十七邊形，紀(jì)念碑上是一個(gè)青銅雕像，他就是高斯。高斯是德國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家，1777年4月30日生于德國(guó)的不倫瑞克，1855年2月23日逝世于哥廷根。由于他非凡的數(shù)學(xué)才華和偉大成就，人們尊崇他為“數(shù)學(xué)王子”。在德國(guó)哥廷根大學(xué)的廣場(chǎng)上，引人注目地矗立著一座用102高斯出生在一個(gè)貧苦的家庭，祖父是農(nóng)民，父親沒有固定職業(yè)，為了維持生計(jì)，做過多種工作，沒有受太多的教育，但也能寫會(huì)算。母親是父親第二個(gè)妻子，在結(jié)婚前是一個(gè)貴族家的女仆，聰慧善良，僅能識(shí)字而不會(huì)寫。在高斯親屬中的長(zhǎng)輩中對(duì)他影響最大的要數(shù)腓特烈舅舅。腓特烈舅舅很有智慧，他靠自己鉆研成為藝術(shù)綢緞的著名織匠，他十分喜愛聰明的高斯。高斯出生在一個(gè)貧苦的家庭，祖父是農(nóng)民，父親沒有固定103有一次，舅舅帶高斯在河邊玩。舅舅看到河的上游漂來一根木頭，便問高斯：“小高斯，你說木頭為什么沉不下去?”

“木頭輕唄!”小高斯不加思索地回答。

舅舅彎下腰，拾起一顆小石子，又問：“這顆石子重還是那根木頭重?”

“木頭重，大木頭重多啦!”

舅舅并不吱聲，只見他用力一扔，撲通一聲，石子沉到了河底。

“……”有一次，舅舅帶高斯在河邊玩。舅舅看到河的上游漂來一104舅舅沒有給小外甥解釋，為什么比大木頭輕的小石子會(huì)沉下去，但是，這件事給小高斯留下了難忘的印象。他認(rèn)識(shí)到，要得到正確的結(jié)論，必須有嚴(yán)密的推理。他逐漸養(yǎng)成習(xí)慣，遇事一定要問幾個(gè)“為什么”。在整個(gè)數(shù)學(xué)史上，沒有人像高斯那樣早熟，說來簡(jiǎn)直令人難以置信。當(dāng)他還在咿呀學(xué)語(yǔ)時(shí)，母親懷抱中的他就能把雞欄中的小雞數(shù)得一清二楚；舅舅沒有給小外甥解釋，為什么比大木頭輕的小石子會(huì)沉下105他在3歲的時(shí)候就已經(jīng)顯示出不凡的智慧。有一個(gè)星期六的晚上，高斯的父親在費(fèi)力地計(jì)算工人的工資，他一點(diǎn)也沒察覺到兒子在旁邊觀看著，當(dāng)他好不容易計(jì)算出來后，松了一口氣。不料小高斯過來拉拉他的衣角，細(xì)聲說：“算錯(cuò)啦，爸爸?？倲?shù)是……”父親驚訝不已，決定重算一遍，結(jié)果是兒子對(duì)了!高斯父親原來并不打算讓高斯上學(xué)，看到如此聰明的兒子，他改變了主意。7歲時(shí)，父親把高斯送進(jìn)國(guó)民小學(xué)。他在3歲的時(shí)候就已經(jīng)顯示出不凡的智慧。有一個(gè)星期六的晚上，高106圣·凱瑟琳小學(xué)是高斯走進(jìn)的第一所學(xué)校，管理學(xué)校的是個(gè)叫布特納的教師，一位從柏林來的大學(xué)生。布特納認(rèn)為讓他來教這些頑皮的鄉(xiāng)下孩子，簡(jiǎn)直是大材小用，心情不好的他經(jīng)常把怒氣撒到學(xué)生身上，動(dòng)輒揪著小學(xué)生的耳朵罰站墻角。小學(xué)生見到他，就像老鼠見了貓，嚇得幾乎連自己的名字都記不清子?？墒牵蛷倪@個(gè)使孩子膽戰(zhàn)心驚的老師身上，高斯找到了幸運(yùn)。圣·凱瑟琳小學(xué)是高斯走進(jìn)的第一所學(xué)校，管理學(xué)校的是107高斯上四年級(jí)的一天，神情嚴(yán)厲的布特納夾著講義來上算術(shù)課。這一天，他好像特別不高興，陰沉著臉向大家說，如果做不好今天的題，就不用回家吃飯了。他讓學(xué)生們計(jì)算1+2+3+…+100=?

隨后，他拿出一本書讀起來，教室里一片寂靜，所有的學(xué)生都在急忙地計(jì)算，數(shù)字越加越大，稍不留心錯(cuò)一位，又得重新開始，有的同學(xué)滿頭是汗，有的同學(xué)急出了淚花。高斯上四年級(jí)的一天，神情嚴(yán)厲的布特納夾著講義來上算108高斯沒有急于計(jì)算，而是細(xì)心地觀察，他發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，50+51=101。總共有50個(gè)101，他立刻得到：1+2+3+…+99+100=50×51=5050。

當(dāng)他把寫有答案的石板交給老師時(shí)，布特納認(rèn)為這個(gè)全班最小的學(xué)生準(zhǔn)是瞎寫了些什么或交了白卷，不耐煩地說：“再算算。”高斯捧著自己的小石板，輕聲地說：“老師，我算完了。”高斯沒有急于計(jì)算，而是細(xì)心地觀察，他發(fā)現(xiàn)1+100=1109

當(dāng)布特納的目光不經(jīng)意地向石板上瞟了一眼時(shí)，他大吃一驚。要知道高斯用的這個(gè)方法，是許多古代數(shù)學(xué)家經(jīng)過長(zhǎng)期努力找出來的求等差級(jí)數(shù)和的方法，有經(jīng)驗(yàn)的布特納意識(shí)到這是一件不尋常的事。這個(gè)聰明的鄉(xiāng)下孩子改變了他昔日的看法，他從柏林買來最好的算術(shù)書送給小高斯。

當(dāng)布特納的目光不經(jīng)意地向石板上瞟了一眼時(shí)，他大吃一驚110

這些新書帶給高斯極大的興趣和喜悅，他把一個(gè)大蘿卜挖成空心，在中間放上一塊油脂，插上一個(gè)燈芯，一盞蘿卜燈就做好了，每天晚上它陪伴著高斯在閣樓上學(xué)習(xí)到深夜。沒用多長(zhǎng)時(shí)間小高斯就把老師送給他的書都看完了，并且不斷探索新問題。

“他已經(jīng)超過我了，”布特納不得不承認(rèn)，“我沒有更多東西可以教他了。”

這些新書帶給高斯極大的興趣和喜悅，他把一個(gè)大蘿卜挖成111

幸好，這位校長(zhǎng)有個(gè)年輕的助手巴特爾斯，他為人和善，對(duì)數(shù)學(xué)有特殊的愛好，他只比高斯大8歲，高斯很快和他結(jié)成形影不離的好朋友。兩個(gè)人一起學(xué)習(xí)，相互切磋。他們沖破一道道障礙，解決一個(gè)個(gè)疑難。尤為可貴的是，現(xiàn)成的結(jié)論已經(jīng)不能使高斯?jié)M足。他以批判的眼光對(duì)書上的結(jié)論逐個(gè)進(jìn)行審查，一連要問上好幾個(gè)“為什么”。在這個(gè)基礎(chǔ)上，他開始對(duì)數(shù)學(xué)大師們的某些“證明”不客氣地提出挑戰(zhàn)。

幸好，這位校長(zhǎng)有個(gè)年輕的助手巴特爾斯，他為人和善，對(duì)112

高斯成了當(dāng)?shù)赜忻纳裢Ｓ幸惶焖呑哌呑x書，不知不覺中闖入勃朗斯威克公爵費(fèi)迪南的花園，公爵夫婦聽說這個(gè)孩子就是高斯時(shí)，便對(duì)他進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)高斯確實(shí)聰明。高斯的聰明才智得到費(fèi)迪南公爵的賞識(shí)，他決定資助高斯深造。

15歲的高斯被送進(jìn)卡羅琳學(xué)院，在那里他掌握了希臘文、拉丁文、法文，又學(xué)會(huì)了代數(shù)、幾何、微積分，語(yǔ)言學(xué)和數(shù)學(xué)是他最喜歡的兩門課程。

高斯成了當(dāng)?shù)赜忻纳裢?。有一天他邊走邊讀書，不知不覺113這里的一切強(qiáng)烈地吸引著這個(gè)渴望知識(shí)的農(nóng)村孩子，這是他步入科學(xué)殿堂的新起點(diǎn)。

課余時(shí)間，高斯常常留連于圖書館中鉆研外文和數(shù)學(xué)。他專心研讀了英國(guó)的牛頓、法國(guó)的拉格朗日、瑞士的歐拉這些大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家的外文原著，他學(xué)習(xí)但不迷信，對(duì)大師們的某些證明有時(shí)也不客氣地提出挑戰(zhàn)。勤奮的學(xué)習(xí)得到了豐碩的成果。兩年后，17歲的高斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)論中的二次互反律。這個(gè)問題大數(shù)學(xué)家歐拉和勒讓德都曾研究過，但第一個(gè)給出嚴(yán)格證明的是高斯。學(xué)院院長(zhǎng)為此感到十分榮耀，親自發(fā)給高斯獎(jiǎng)狀。這里的一切強(qiáng)烈地吸引著這個(gè)渴望知識(shí)的農(nóng)村孩子，這是他114

18歲時(shí)，高斯在費(fèi)迪南公爵的推薦下進(jìn)入了哥廷根大學(xué)。這所大學(xué)的辦學(xué)方式追隨英國(guó)牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)，獎(jiǎng)金充裕。高斯對(duì)它格外傾心的原因還有兩個(gè)，一是這里有極豐富的藏書，二是它注重改革，側(cè)重科學(xué)的好名聲。

數(shù)學(xué)和語(yǔ)言等幾科學(xué)問都是高斯所鐘愛的，究竟把哪種學(xué)問作為自己終生研究的職業(yè)，高斯久久拿不定主意。

18歲時(shí)，高斯在費(fèi)迪南公爵的推薦下進(jìn)入了哥廷根大學(xué)。1151796年3月30日，19歲的高斯用直尺和圓規(guī)作出了正十七邊形，自歐幾里得時(shí)代起就困擾著歷代數(shù)學(xué)家的尺規(guī)作圖這一難題，兩干多年后被高斯這個(gè)青年學(xué)生解決了，這一成果震動(dòng)了數(shù)學(xué)界。這一成果最終決定了他走數(shù)學(xué)之路而非文學(xué)之路，高斯真正認(rèn)識(shí)了自己的能力之所在。從1796年至1801年是高斯學(xué)術(shù)創(chuàng)作的最旺盛的階段，他提出的定理、證明、概念、假設(shè)和理論每年平均25項(xiàng)之多，一顆璀璨的數(shù)學(xué)新星冉冉升起。1796年3月30日，19歲的高斯用直尺和圓規(guī)作出116

1807年，高斯被他的母校哥廷根大學(xué)聘為常任數(shù)學(xué)教授和天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)這個(gè)職務(wù)比一個(gè)通常的大學(xué)職位更適合于高斯，他是一個(gè)寡言的人，縝密思考是他的強(qiáng)項(xiàng)，他對(duì)教學(xué)的興趣可不大，而天文臺(tái)的工作可以激發(fā)他對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)和天文學(xué)的極大興趣。在這個(gè)職位上他一直工作到1855年2月23日逝世之前。

1807年，高斯被他的母校哥廷根大學(xué)聘為常任數(shù)學(xué)教授117高斯幾乎對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻(xiàn)，是許多數(shù)學(xué)學(xué)科的開創(chuàng)者和奠基人。數(shù)學(xué)家評(píng)論說：“在數(shù)學(xué)世界里，高斯處處留芳?！痹诖鷶?shù)學(xué)方面，他第一個(gè)證明了任何一個(gè)復(fù)系數(shù)的單變量的代數(shù)方程都至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。這一定理被稱為代數(shù)基本定理。他還嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了任何復(fù)系數(shù)單變量n次方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根。這兩個(gè)定理的證明奠定了代數(shù)方程的理論基礎(chǔ)高斯幾乎對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻(xiàn)，是許多數(shù)學(xué)118

在數(shù)論方面，高斯在18世紀(jì)末完成了他的傳世之作《算術(shù)研究》，其中的論等分圓周問題是這部專著的精華部分。這部著作給數(shù)論的研究開創(chuàng)了一個(gè)新紀(jì)元，是現(xiàn)代數(shù)論的基礎(chǔ)。高斯非常偏愛數(shù)論，他曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王?！币院蟮?00年間，幾乎所有數(shù)論方面的發(fā)現(xiàn)都能追溯到他的研究里去。

在數(shù)論方面，高斯在18世紀(jì)末完成了他的傳世之作《算術(shù)119

高斯在曲面論、單復(fù)變函數(shù)論及其他方面也有卓越的貢獻(xiàn)。此外，他還有大量成果在生前沒有發(fā)表，其中最著名的有橢圓函數(shù)和非歐幾何。高斯對(duì)科學(xué)持嚴(yán)謹(jǐn)慎重的態(tài)度，他絕不把沒有完全成熟的成果拿出來發(fā)表，在他的日記里記載