正態(tài)分布 全省一等獎-精講版課件

2.4正態(tài)分布高二數(shù)學(xué)選修2-3引入

正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個區(qū)間上的任何值，它等于任何一個實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個區(qū)間的概率。離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。復(fù)習(xí)100個產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535

產(chǎn)品尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)200個產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535

產(chǎn)品尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)樣本容量增大時頻率分布直方圖頻率組距產(chǎn)品尺寸(mm)總體密度曲線高爾頓板11

總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，這條曲線叫做總體密度曲線．xy0

總體密度曲線．xy0

1234567891011式中的實(shí)數(shù)m、s是參數(shù)正態(tài)分布密度曲線(正態(tài)曲線)則稱X

的分布為正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)m、s唯一確定,m、s分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布記作N（m，s2）.其圖象稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布xy0

ab如果對于任何實(shí)數(shù)

a<b,隨機(jī)變量X滿足:如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記作記為X~N(m,s2)探究發(fā)現(xiàn)

正態(tài)總體的函數(shù)表示式當(dāng)μ=0，σ=1時標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線μ（－∞，μ]（μ，+∞）（1）當(dāng)=時,函數(shù)值為最大.(3)的圖象關(guān)于對稱.（2）的值域為

（4）當(dāng)∈時為增函數(shù).當(dāng)∈時為減函數(shù).012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線正態(tài)總體的函數(shù)表示式

=μ例1．給出下列兩個正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值m和標(biāo)準(zhǔn)差s

說明：當(dāng)m=0,s=1時，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布記為X~N(0,1)例題探究m=0,s=1m=1,s=2變式訓(xùn)練1若一個正態(tài)分布的密度函數(shù)是一個偶函數(shù)且該函數(shù)與y軸交于點(diǎn)，求該函數(shù)的解析式。

在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；

在測量中，測量結(jié)果；

在生物學(xué)中，同一群體的某一特征；……；

在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；

總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位。

m的意義產(chǎn)品尺寸(mm)x1x2總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的平均水平x3x4平均數(shù)x=μ產(chǎn)品尺寸(mm)總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的平均水平總體標(biāo)準(zhǔn)差反映總體隨機(jī)變量的集中與分散的程度平均數(shù)

s的意義例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）

A.B.C.

D.B

例2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為（1）證明f(x)是偶函數(shù)；（2）求f(x)的最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明f(x)的增減性。練習(xí)：1、若一個正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個偶函數(shù)且該函數(shù)的最大值等于，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式。2025301510xy5352、如圖，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。3、正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.

3、正態(tài)曲線的性質(zhì)（4）曲線與x軸之間的面積為1（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最高點(diǎn))方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示312σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示=0.5=1=2μ=0

若固定,大時,曲線矮而胖；小時,曲線瘦而高,故稱為形狀參數(shù)。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.（5）當(dāng)x<μ時,曲線上升;當(dāng)x>μ時,曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近.

3、正態(tài)曲線的性質(zhì)例3、把一個正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。C正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,)＝S(-,-X)正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊區(qū)間的概率:m-am+ax=μ若X~N,則對于任何實(shí)數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別地有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于這些概率值很小（一般不超過5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。例4、在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績服從一個正態(tài)分布，即~N(90,100).（1）試求考試成績位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？練習(xí)：1、已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績X~，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)？（）(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]C2、已知X~N(0,1)，則X在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、設(shè)離散型隨機(jī)變量X~N(0,1),則=

,=

.D0.50.95444、若已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率為0.5，則相應(yīng)的正態(tài)曲線在x=

時達(dá)到最高點(diǎn)。0.35、已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么這個正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望是

。1例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).例2、已知，且，則等于()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4A例4、如圖，為某地成年男性體重的正態(tài)曲線圖，請寫出其正態(tài)分布密度函數(shù)，并求P（|X-72|<20）.xy72(kg)例1.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從正態(tài)分布X～N(90,100).(1)求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考試共有2000名考生,試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人?解:依題意,X～N(90,100),即考試成績在(80,100)間的概率為0.68