高中數(shù)學總復習-分類討論思想介紹及專題訓練附詳細解析

-.z.專題復習分類討論思想一、填空題：例1．設(shè)集合A＝{*||*|≤4}，B＝{*||*－3|≤a}，假設(shè)，則實數(shù)a的取值范圍是________．例2．實數(shù)a≠0，函數(shù)，假設(shè)f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為_______例3．定義在閉區(qū)間[0,3]上的函數(shù)f(*)＝k*2－2k*的最大值為3，則實數(shù)k的取值集合為________．例4．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)*，則雙曲線的離心率為．例5．假設(shè)函數(shù)f(*)＝a|*－b|＋2在[0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)a、b的取值范圍是______．例6．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，假設(shè)a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，則a1的值為________．例7．假設(shè)直線y＝2a與函數(shù)y＝|a*－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是__________．例8．圓*2＋y2＝4，則經(jīng)過點P(2,4)，且與圓相切的直線方程為__________．例9．假設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點，則a的取值為．例10．如下圖，有兩個一樣的直三棱柱，高為eq\f(2,a)，底面三角形的三邊長分別為3a、4a、5a(a＞0)．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是________．例10例11．假設(shè)函數(shù)f(*)＝a＋bcos*＋csin*的圖象經(jīng)過點(0,1)和(,1)兩點，且*∈[0,]時，|f(*)|≤2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______．例12．函數(shù)f(*)＝m*2＋(m－3)*＋1的圖象與*軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是__________例13．設(shè)0＜b＜1＋a，假設(shè)關(guān)于*的不等式(*－b)2＞(a*)2的解集中的整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)a的取值范圍是________例14．數(shù)列的通項，其前n項和為Sn，則Sn＝_________．二、解答題：例15．設(shè)A＝{*|－2≤*≤a}，B＝{y|y＝2*＋3，且*∈A}，C＝{z|z＝*2，且*∈A}，假設(shè)C?B，求實數(shù)a的取值范圍．例16．函數(shù)，a∈R．〔1〕當a≤0時，求證函數(shù)在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)；〔2〕當a＝3時，求函數(shù)在區(qū)間[0,b](b＞0)上的最大值．例17．數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，，假設(shè)數(shù)列{an+1＋λan}是等比數(shù)列．〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕求證：當k為奇數(shù)時，；〔3〕求證：．例18．,且.〔1〕當時,求在處的切線方程；〔2〕當時,設(shè)所對應的自變量取值區(qū)間的長度為(閉區(qū)間的長度定義為)，試求的最大值；〔3〕是否存在這樣的，使得當時,"假設(shè)存在,求出的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由．參考答案例1解析：①當a＜0時，B＝，符合題意；②當a≥0時，B≠，B＝{*|3－a≤*≤3＋a}，由得，解得0≤a≤1，綜上所述a≤1．例2解析：①a＞0時，1－a＜1，1＋a＞1，則可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)＋2a，解得a＝－eq\f(3,2)，與a＞0矛盾，舍去；②a＜0時，1－a＞1，1＋a＜1，則－(1－a)＋2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－eq\f(3,4)；所以a＝－eq\f(3,4)．例3解析：f(*)＝k*2－2k*＝k(*－1)2－k，①當k＞0時，二次函數(shù)開口向上，當*＝3時，f(*)有最大值，f(3)＝3k＝3，解得k＝1；②當k＜0時，二次函數(shù)開口向下，當*＝1時，f(*)有最大值，f(1)＝－k＝3，解得k＝－3③當k＝0時，顯然不成立．∴綜上所述{1，－3}例4解析：當雙曲線焦點，在*軸上，eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(9,16)，∴e2＝eq\f(25,16)，∴e＝eq\f(5,4)；當雙曲線焦點在y軸上，eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(16,9)，∴e2＝eq\f(25,9)，∴e＝eq\f(5,3)．例5解析：①當a＞0時，需*－b恒為非負數(shù)，即a＞0，b≤0，②當a＜0時，需*－b恒為非正數(shù)．又∵*∈[0，＋∞)，∴不成立．綜上所述，由①②得a＞0且b≤0．例6解析當q＝1時，S3＝3a1＝3a3＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，符合題意，所以a1＝eq\f(3,2)；當q≠1時，S3＝eq\f(a1(1－q3),1－q)＝a1(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，又a3＝a1q2＝eq\f(3,2)得a1＝eq\f(3,2q2)，代入上式，得eq\f(3,2q2)(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，即eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)－2＝0，解得eq\f(1,q)＝－2或eq\f(1,q)＝1(舍去)．因為q＝－eq\f(1,2)，所以a1＝eq\f(3,2×(－\f(1,2))2)＝6，綜上可得a1＝eq\f(3,2)或6.例7解析分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論，畫出圖象，由圖象知a應滿足的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<2a<1))?0＜a＜eq\f(1,2)．例8解析：①當斜率存在時，設(shè)直線方程為y－4＝k(*－2)，即k*－y－2k＋4＝0，假設(shè)直線與圓相切，則，解得k＝eq\f(3,4)，所以切線方程是3*－4y＋10＝0；②當斜率不存在時，易得切線方程是*＝2．例9解析即f(*)＝(a－1)*2＋a*－＝0有解，①當a－1＝0時，滿足題意；②當a－1≠0時，只需Δ＝a2－(a－1)＞0，解得；綜上所述，a的取值范圍是或a＝1．例10解析：先考察拼成三棱柱(如圖(1)所示)全面積：S1＝2×eq\f(1,2)×4a×3a＋(3a＋4a＋5a)×eq\f(4,a)＝12a2＋48；再考察拼成四棱柱(如圖(2)所示)全面積：例10圖①假設(shè)AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，則四棱柱的全面積S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)×eq\f(2,a)＝24a2＋28；②假設(shè)AC＝4a，AB＝3a，BC＝5a，則四棱柱的全面積S2＝2×4a×3a＋2(3a＋5a)×eq\f(2,a)＝24a2＋32；③假設(shè)AC＝3a，AB＝5a，BC＝4a，則四棱柱的全面積S2＝2×4a×3a＋2(4a＋5a)×eq\f(2,a)＝24a2＋36；又在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，從而知24a2＋28＜12a2＋48?12a2＜20?0＜a＜eq\f(\r(15),3)．綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(15),3)))．例11解析：由f(0)＝a＋b＝1，f()＝a＋c＝1，得b＝c＝1－a，f(*)＝a＋(1－a)(sin*＋cos*)＝a＋eq\r(2)(1－a)sin(*＋)，∵，①當a≤1時，1≤f(*)≤a＋eq\r(2)(1－a)，∵|f(*)|≤2，∴只要a＋eq\r(2)(1－a)≤2解得a≥－eq\r(2)，∴－eq\r(2)≤a≤1；②當a＞1時，a＋eq\r(2)(1－a)≤f(*)≤1，∴只要a＋eq\r(2)(1－a)≥－2，解得a≤4＋3eq\r(2),∴1＜a≤4＋3eq\r(2)，綜合①,②知實數(shù)a的取值范圍為[－eq\r(2)，4＋3eq\r(2)]．例12解析：①當m＝0時，f(*)＝1－3*，其圖象與*軸的交點為(eq\f(1,3),0)，滿足題意；②當m＞0時，由題意得，解得0＜m≤1；③當m＜0時，由題意得，解得m＜0；所以m的取值范圍是m≤1例13解析：原不等式化為[(1－a)*－b][(1＋a)*－b]＞0，①當a≤1時，易得不合題意；②當a＞1時，－eq\f(b,a－1)＜*＜eq\f(b,a＋1)，由題意0＜eq\f(b,a＋1)＜1，要使不等式解集中恰好有3個整數(shù)，則－3≤－eq\f(b,a－1)＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3，結(jié)合題意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，∴a＜3，從而有1＜a＜3．例14解析：因為，所以{}是以3為周期的數(shù)列，因此，在數(shù)列求和時應分三類進展討論：①當，時，；②當時，；③當時，綜上所述，()例15解∵y＝2*＋3在[－2，a]上是增函數(shù)，∴－1≤y≤2a＋3，即B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．作出z＝*2的圖象，該函數(shù)定義域右端點*＝a有三種不同的位置情況如下：①當－2≤a＜0時，a2≤z≤4，即C＝{z|a2≤z≤4}，要使C?B，由圖1可知，則必須2a＋3≥4，得a≥eq\f(1,2)，這與－2≤a＜0矛盾．②當0≤a≤2時，0≤z≤4，即C＝{z|0≤z≤4}，要使C?B，由圖2可知，必須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋3≥4，,0≤a≤2，))解得eq\f(1,2)≤a≤2；③當a＞2時，0≤z≤a2，即C＝{z|0≤z≤a2}，要使C?B，由圖3可知，必須且只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤2a＋3，,a＞2，))解得2＜a≤3；④當a＜－2時，A＝，此時B＝C＝，則C?B成立．綜上所述，a的取值范圍是(－∞，－2)∪[eq\f(1,2)，3]．例16解：〔1〕∵a≤0，∴*2－a≥0，∴f(*)＝*(*2－a)＝*3－a*，f(*)＝3*2－a，∵f(*)≥0對*∈R成立，∴函數(shù)f(*)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．〔2〕解：當a＝3時，f(*)＝*|*2－3|＝eq\b\lc\{(\a\al(3*－*3，當－eq\r(3)＜*＜eq\r(3)，,*3－3*，當*≤－eq\r(3)，或*≥eq\r(3)．))〔i〕當*＜－eq\r(3)，或*＞eq\r(3)時，f(*)＝3*2－3＝3(*－1)(*＋1)＞0．〔ii〕當－eq\r(3)＜*＜eq\r(3)時，f(*)＝3－3*2＝－3(*－1)(*＋1)．當－1＜*＜1時，f(*)＞0；當－eq\r(3)＜*＜－1，或1＜*＜eq\r(3)時，f(*)＜0．所以f(*)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－eq\r(3)]，[－1，1]，[eq\r(3)，＋∞)；f(*)的單調(diào)遞減區(qū)間是[－eq\r(3)，－1]，[1，eq\r(3)]．由區(qū)間的定義可知，b＞0．①假設(shè)0＜b≤1時，則[0，b][－1，1]，因此函數(shù)f(*)在[0，b]上是增函數(shù)，∴當*＝b時，f(*)有最大值f(b)＝3b－b3．②假設(shè)1＜b≤eq\r(3)時，f(*)＝3*－*3在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，b]上單調(diào)遞減，因此，在*＝1時取到極大值f(1)＝2，并且該極大值就是函數(shù)f(*)在區(qū)間[0，b]上的最大值．∴當*＝1時，f(*)有最大值2．③假設(shè)b＞eq\r(3)時，當*∈[0，eq\r(3)]時，f(*)＝3*－*3在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，eq\r(3)]上單調(diào)遞減，因此，在*＝1時取到極大值f(1)＝2，在*∈[eq\r(3)，b]時，f(*)＝*3－3*在[eq\r(3)，b]上單調(diào)遞增，在*＝b時，f(*)有最大值f(b)＝b3－3b．〔i〕當f(1)≥f(b)，即2≥b3－3b，b3－b－2b－2≤0，b(b2－1)－2(b＋1)≤0，(b＋1)2(b－2)≤0，b≤2．∴當eq\r(3)＜b≤2時，在*＝1時，f(*)取到最大值f(1)＝2．〔ii〕當f(1)＜f(b)，解得b＞2，∴當b＞2時，f(*)在*＝b時，取到最大值f(b)＝b3－3b．綜上所述，函數(shù)y＝f(*)在區(qū)間[0，b]上的最大值為yma*＝eq\b\lc\{(\a\al(3b－b3，0＜b≤1,2，1＜b≤2，,b3－3b，b＞2．))例17解：〔1〕∵數(shù)列{an+1＋λan}是等比數(shù)列，∴為常數(shù)，∴，解得或．當時，數(shù)列{an+1＋2an}是首項為15，公比為3的等比數(shù)列，則①，當時，數(shù)列{an+1－3an}是首項為－10，公比為－2的等比數(shù)列，則②，∴①－②得：；〔2〕當k為奇數(shù)時，,∴；〔3〕由〔2〕知k為奇數(shù)時，，①當n為偶數(shù)時，；②當n為奇數(shù)時，；∴．例18解:〔1〕當時,