胡壽松自動控制原理課后習題答案

..>1請解釋以下名字術(shù)語：自動控制系統(tǒng)、受控對象、擾動、給定值、參考輸入、反響。解：自動控制系統(tǒng)：能夠?qū)崿F(xiàn)自動控制任務的系統(tǒng)，由控制裝置與被控對象組成；受控對象：要求實現(xiàn)自動控制的機器、設(shè)備或生產(chǎn)過程擾動：擾動是一種對系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不利影響的信號。如果擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)內(nèi)部稱為內(nèi)擾；擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)外部，則稱為外擾。外擾是系統(tǒng)的輸入量。給定值：受控對象的物理量在控制系統(tǒng)中應保持的期望值參考輸入即為給定值。反響：將系統(tǒng)的輸出量饋送到參考輸入端，并與參考輸入進展比較的過程。2請說明自動控制系統(tǒng)的根本組成局部。解：作為一個完整的控制系統(tǒng)，應該由如下幾個局部組成：①被控對象：所謂被控對象就是整個控制系統(tǒng)的控制對象；②執(zhí)行部件：根據(jù)所接收到的相關(guān)信號，使得被控對象產(chǎn)生相應的動作；常用的執(zhí)行元件有閥、電動機、液壓馬達等。③給定元件：給定元件的職能就是給出與期望的被控量相對應的系統(tǒng)輸入量〔即參考量〕；④比較元件：把測量元件檢測到的被控量的實際值與給定元件給出的參考值進展比較，求出它們之間的偏差。常用的比較元件有差動放大器、機械差動裝置和電橋等。⑤測量反響元件：該元部件的職能就是測量被控制的物理量，如果這個物理量是非電量，一般需要將其轉(zhuǎn)換成為電量。常用的測量元部件有測速發(fā)電機、熱電偶、各種傳感器等；⑥放大元件：將比較元件給出的偏差進展放大，用來推動執(zhí)行元件去控制被控對象。如電壓偏差信號，可用電子管、晶體管、集成電路、晶閘管等組成的電壓放大器和功率放大級加以放大。⑦校正元件：亦稱補償元件，它是構(gòu)造或參數(shù)便于調(diào)整的元件，用串聯(lián)或反響的方式連接在系統(tǒng)中，用以改善系統(tǒng)的性能。常用的校正元件有電阻、電容組成的無源或有源網(wǎng)絡，它們與原系統(tǒng)串聯(lián)或與原系統(tǒng)構(gòu)成一個內(nèi)反響系統(tǒng)。3請說出什么是反響控制系統(tǒng)，開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)各有什么優(yōu)缺點？解：反響控制系統(tǒng)即閉環(huán)控制系統(tǒng)，在一個控制系統(tǒng)，將系統(tǒng)的輸出量通過*測量機構(gòu)對其進展實時測量，并將該測量值與輸入量進展比較，形成一個反響通道，從而形成一個封閉的控制系統(tǒng)；開環(huán)系統(tǒng)優(yōu)點：構(gòu)造簡單，缺點：控制的精度較差；閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點：控制精度高，缺點：構(gòu)造復雜、設(shè)計分析麻煩，制造本錢高。4請說明自動控制系統(tǒng)的根本性能要求。解：〔1〕穩(wěn)定性：對恒值系統(tǒng)而言，要求當系統(tǒng)受到擾動后，經(jīng)過一定時間的調(diào)整能夠回到原來的期望值。而對隨動系統(tǒng)而言，被控制量始終跟蹤參考量的變化。穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的構(gòu)造決定的，與外界因素無關(guān)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對系統(tǒng)的根本要求，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實現(xiàn)預定任務?！?〕準確性：控制系統(tǒng)的準確性一般用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。即系統(tǒng)在參考輸入信號作用下，系統(tǒng)的輸出到達穩(wěn)態(tài)后的輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做給定穩(wěn)態(tài)誤差。顯然，這種誤差越小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高。〔3〕快速性：對過渡過程的形式和快慢的要求，一般稱為控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。系統(tǒng)的快速性主要反映系統(tǒng)對輸入信號的變化而作出相應的快慢程度，如穩(wěn)定高射炮射角隨動系統(tǒng)，雖然炮身最終能跟蹤目標，但如果目標變動迅速，而炮身行動緩慢，仍然抓不住目標。圖2-1習題2-1質(zhì)量－彈簧－摩擦系統(tǒng)示意圖2-1設(shè)質(zhì)量-彈簧-摩擦系統(tǒng)如圖2-1所示，途中為黏性摩擦系數(shù)，為彈簧系數(shù)，系統(tǒng)的輸入量為力，系統(tǒng)的輸出量為質(zhì)量的位移。試列出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。圖2-1習題2-1質(zhì)量－彈簧－摩擦系統(tǒng)示意圖解：顯然，系統(tǒng)的摩擦力為，彈簧力為，根據(jù)牛頓第二運動定律有移項整理，得系統(tǒng)的微分方程為圖2-2習題2-2機械系統(tǒng)示意圖圖2-2習題2-2機械系統(tǒng)示意圖2-2試列寫圖2-2所示機械系統(tǒng)的運動微分方程。解：由牛頓第二運動定律，不計重力時，得整理得2-3求以下函數(shù)的拉氏變換?！?〕〔2〕〔3〕解：〔1〕〔2〕〔3〕2-4求以下函數(shù)的拉氏反變換〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕〔2〕〔3〕2-5試分別列寫圖2-3中各無源網(wǎng)絡的微分方程〔設(shè)電容上的電壓為，電容上的電壓為，以此類推〕。圖2-3習題2-5無源網(wǎng)絡示意圖解：〔a〕設(shè)電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為〔b〕設(shè)電容、上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為〔c〕設(shè)電阻上電壓為，兩電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔2〕代入〔4〕并整理得〔5〕〔1〕、〔2〕代入〔3〕并整理得兩端取微分，并將〔5〕代入，整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為2-6求圖2-4中各無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。圖2-4習題2-6示意圖解：〔a〕由圖得〔1〕〔2〕〔2〕代入〔1〕，整理得傳遞函數(shù)為〔b〕由圖得〔1〕〔2〕整理得傳遞函數(shù)為〔c〕由圖得〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕整理得傳遞函數(shù)為圖2-5習題2-7無源網(wǎng)絡示意圖2-7求圖2-5中無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。圖2-5習題2-7無源網(wǎng)絡示意圖解：由圖得整理得2-8試簡化圖2-6中所示系統(tǒng)構(gòu)造圖，并求傳遞函數(shù)和。解：〔a〕⑴求傳遞函數(shù)，按以下步驟簡化構(gòu)造圖：圖2-6習題2-8系統(tǒng)構(gòu)造圖示意圖令，利用反響運算簡化如圖2-8a所示圖2-6習題2-8系統(tǒng)構(gòu)造圖示意圖圖2-8a圖2-8a②串聯(lián)等效如圖2-8b所示圖2-8b圖2-8b③根據(jù)反響運算可得傳遞函數(shù)⑵求傳遞函數(shù)，按以下步驟簡化構(gòu)造圖：①令，重畫系統(tǒng)構(gòu)造圖如圖2-8c所示圖2-8c圖2-8c將輸出端的端子前移，并將反響運算合并如圖2-8d所示圖2-9d圖2-9d③和串聯(lián)合并，并將單位比較點前移如圖2-8e所示圖2-8e圖2-8e④串并聯(lián)合并如圖2-8f所示圖2-8f圖2-8f⑤根據(jù)反響和串聯(lián)運算，得傳遞函數(shù)〔b〕求傳遞函數(shù)，按以下步驟簡化構(gòu)造圖：①將的引出端前移如圖2-8g所示圖2-8g圖2-8g②合并反響、串聯(lián)如圖2-8h所示圖2-8h圖2-8h將的引出端前移如圖2-8i所示圖2-8i圖2-8i合并反響及串聯(lián)如圖2-8j所示圖2-8j圖2-8j⑤根據(jù)反響運算得傳遞函數(shù)圖2-7習題2-9系統(tǒng)構(gòu)造圖示意圖習題2-4無源網(wǎng)絡示意圖2-9試簡化圖2-7中所示系統(tǒng)構(gòu)造圖，并求傳遞函數(shù)。圖2-7習題2-9系統(tǒng)構(gòu)造圖示意圖習題2-4無源網(wǎng)絡示意圖解：求傳遞函數(shù)，按以下步驟簡化構(gòu)造圖：將的引出端前移如圖2-9a所示圖2-9a圖2-9a合并反響及串聯(lián)如圖2-9b所示圖2-9b圖2-9b合并反響、串聯(lián)如圖2-9c所示圖2-9c圖2-9c④根據(jù)反響運算，得傳遞函數(shù)2-10根據(jù)圖2-6給出的系統(tǒng)構(gòu)造圖，畫出該系統(tǒng)的信號流圖，并用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)和。解：〔a〕根據(jù)構(gòu)造圖與信號流圖的對應關(guān)系，用節(jié)點代替構(gòu)造圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數(shù)的之路代替構(gòu)造圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應的信號流圖。如圖2-10a所示。圖2-10a圖2-10a〔1〕令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號流圖2-10a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，，與互不接觸流圖特征式由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔2〕令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)"由信號流圖2-10a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有兩條前向通路，其增益為，有兩個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸的回路，所以流圖特征式為由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式，根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔b〕根據(jù)構(gòu)造圖與信號流圖的對應關(guān)系，用節(jié)點代替構(gòu)造圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數(shù)的之路代替構(gòu)造圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應的信號流圖。如圖2-10b所示。圖2-10b圖2-10b求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號流圖2-10b可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，，與互不接觸流圖特征式為由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為2-11根據(jù)圖2-7給出的系統(tǒng)構(gòu)造圖，畫出該系統(tǒng)的信號流圖，并用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：根據(jù)構(gòu)造圖與信號流圖的對應關(guān)系，用節(jié)點代替構(gòu)造圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數(shù)的之路代替構(gòu)造圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應的信號流圖。如圖2-11a所示圖2-11a圖2-11a由信號流圖2-11a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，，沒有互不接觸回路。因此，流圖特征式由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為3-2各系統(tǒng)得脈沖響應，試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：〔1〕；〔2〕；〔3〕。解：〔1〕〔2〕〔3〕3-3二階系統(tǒng)的單位階躍響應為，試求系統(tǒng)的超調(diào)量，峰值時間和調(diào)節(jié)時間。解：＝由上式可知，此二階系統(tǒng)的放大系數(shù)是10，但放大系數(shù)并不影響系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。由于標準的二階系統(tǒng)單位階躍響應表達式為所以有解上述方程組，得所以，此系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)，其動態(tài)性能指標如下超調(diào)量峰值時間調(diào)節(jié)時間3-4設(shè)單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的動態(tài)性能。解題過程：由題意可得系統(tǒng)得閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中。這是一個比例－微分控制二階系統(tǒng)。比例－微分控制二階系統(tǒng)的單位階躍響應為故顯然有此系統(tǒng)得動態(tài)性能指標為峰值時間超調(diào)量調(diào)節(jié)時間3-5控制系統(tǒng)的單位階躍響應為，試確定系統(tǒng)的阻尼比和自然頻率。解：系統(tǒng)的單位脈沖響應為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為自然頻率阻尼比3-6系統(tǒng)特征方程為，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，列出勞斯表如下顯然，由于表中第一列元素得符號有兩次改變，所以該系統(tǒng)在右半平面有兩個閉環(huán)極點。因此，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。再用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，特征方程的各項系數(shù)均為正，則顯然，此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-7設(shè)單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定義為多大值時，特使系統(tǒng)振蕩，并求出振蕩頻率。解：由題得，特征方程是列勞斯表由題意，令所在行為零得由行得解之得，所以振蕩角頻率為3-8單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的值范圍。解：由題可知系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得解上述方程組可得3-9系統(tǒng)構(gòu)造如圖3-1所示，，定義誤差，(1)假設(shè)希望圖a中，系統(tǒng)所有的特征根位于平面上的左側(cè)，且阻尼比為0.5，求滿足條件的的取值范圍。求圖a系統(tǒng)的單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零，讓斜坡輸入先通過一個比例微分環(huán)節(jié)，如圖b所示，試求出適宜的值。(a)(b)(a)(b)圖3-1習題3-9示意圖解：〔1〕閉環(huán)傳遞函數(shù)為即，代入上式得，列出勞斯表，，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)∴并沒有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3-10單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：〔1〕；〔2〕試求輸入分別為和時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：〔1〕由上式可知，該系統(tǒng)是型系統(tǒng)，且。型系統(tǒng)在信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為，該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為〔2〕由上式可知，該系統(tǒng)是型系統(tǒng)，且。型系統(tǒng)在信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為，該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為3-11閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為誤差定義為。試證，系統(tǒng)在階躍信號輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為〔2〕系統(tǒng)在斜坡信號輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為〔3〕推導系統(tǒng)在斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件〔4〕求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)型別之間的關(guān)系解：〔1〕滿足終值定理的條件，即證〔2〕滿足終值定理的條件，即證(3)對于加速度輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零的必要條件為同理可證〔4〕系統(tǒng)型別比閉環(huán)函數(shù)分子最高次冪大1次。3-12單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：〔1〕；〔2〕；〔3〕試求位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)，加速度誤差系數(shù)。解：此系統(tǒng)是一個型系統(tǒng)，且。故查表可得，，根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得3-13設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號為其中,,,i,,均為正數(shù)，a和b為正常數(shù)。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差<,其中,試求系統(tǒng)各參數(shù)滿足的條件。解：首先系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中，,為系統(tǒng)的開環(huán)增益，各參數(shù)滿足：,即穩(wěn)定條件為由于本例是I型系統(tǒng)，其,,故在作用下，其穩(wěn)態(tài)誤差必有于是，即能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，又滿足對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求的各參數(shù)之間的條件為3-14設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。試用動態(tài)誤差系數(shù)法求出當輸入信號分別為時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為所以有對上式進展拉氏反變換可得〔1〕當時，顯然有將上述三式代入〔1〕式，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為3-15假設(shè)可用傳送函數(shù)描述溫度計的特性，現(xiàn)在用溫度計測量盛在容器內(nèi)的水溫，需要一分鐘時間才能指出實際水溫的的數(shù)值。如果給容器加熱，使水溫依的速度線性變化，問溫度計的穩(wěn)態(tài)誤差有多大"解：由題意，該一階系統(tǒng)得調(diào)整時間，但，所以。系統(tǒng)輸入為，可推得因此可得的穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)誤差為所以，穩(wěn)態(tài)誤差為3-16如圖3-2所示的控制系統(tǒng)構(gòu)造圖，誤差在輸入端定義，擾動輸入.(1)試求時，系統(tǒng)在擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。(2)假設(shè),其結(jié)果又如何？(3)在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對其結(jié)果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對其結(jié)果又有何影響？圖3-2習題3-16示意圖解：令，，圖3-2習題3-16示意圖則代入得令，得擾動作用下的輸出表達式：此時的誤差表達式為：假設(shè)在s右半平面上解析，則有在擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出為代入的表達式，可得〔1〕當時，〔2〕當時，可見，開環(huán)增益的減小將導致擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大，且穩(wěn)態(tài)誤差的絕對值也增大?！?〕假設(shè)加在擾動之前，則得假設(shè)加在擾動之后，則可見在擾動作用點之前的前向通路中參加積分環(huán)節(jié)，可以消除階躍輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3-17設(shè)隨動系統(tǒng)的微分方程為：其中，為系統(tǒng)輸出量，為系統(tǒng)輸入量，為電動機機電時間常數(shù)，為電動機電磁時間常數(shù)，為系統(tǒng)開環(huán)增益。初始條件全部為零，試討論：、與之間關(guān)系對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響〔2〕當,,時，可否忽略的影響？在什么影響下的影響可以忽略？解：〔1〕對系統(tǒng)微分方程在零初始條件下進展拉氏變換，得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程當均為正值時，且有即時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?！?〕由于，因此只有當閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定，顯然，對于,閉環(huán)不穩(wěn)定。此時假設(shè)略去,閉環(huán)特征方程為上式中各項系數(shù)為正，從而得到得出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的錯誤結(jié)論。如果。如果，則略去不會影響閉環(huán)穩(wěn)定性。對于本例，當時，不能忽略對穩(wěn)定性的影響，否則可以忽略。3-18設(shè)計題飛機的自動控制，是一個需要多變量反響方式的例子。在該系統(tǒng)中，飛機的飛行姿態(tài)由三組翼面決定，分別是：升降舵，方向舵和副翼，如附圖3-3(a)所示。飛行員通過操縱這三組翼面，可以使飛機按照既定的路線飛行。這里所要討論的自動駕駛儀是一個自動控制系統(tǒng)，它通過調(diào)節(jié)副翼外表來控制傾角，只要使副翼外表產(chǎn)生一個的變形，氣壓在這些外表上會產(chǎn)生一個扭矩，使飛機產(chǎn)生側(cè)滾。圖3-3〔a〕飛機副翼模型圖飛機副翼是由液壓操縱桿來控制的，后者的傳遞函數(shù)為。圖3-3〔a〕飛機副翼模型圖測量實際的傾角，并與輸入設(shè)定值進展比較，其差值被用來驅(qū)動液壓操縱桿，而液壓操縱桿則反過來又會引起副翼外表產(chǎn)生變形。為簡單化起見，這里假定飛機的側(cè)滾運動與其他運動無關(guān)，其構(gòu)造圖如圖3-3(b)所示，又假定，且角速率由速率陀螺將其值進展反響，期望的階躍響應的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間(以的標準)，試選擇適宜的和值。圖3-3〔b〕飛機控制傾角構(gòu)造圖圖3-3〔b〕飛機控制傾角構(gòu)造圖解：由于過阻尼響應緩慢，故通常不希望采用過阻尼系統(tǒng)，在此題中欠阻尼因此，計算可得又因，，由題計算可得，故圖4-1習題4-1系統(tǒng)零極點分布圖4-1系統(tǒng)開環(huán)零極點分布如圖4-1所示，試繪制相應的根軌跡圖。圖4-1習題4-1系統(tǒng)零極點分布圖解：圖4-1a根軌跡圖圖4-1a根軌跡圖〔a〕根軌跡的漸近線條數(shù)為〔b〕根軌跡的漸近線條數(shù)為〔c〕根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾斜角為，，〔d〕根軌跡的漸近線條數(shù)為〔e〕根軌跡的漸近線條數(shù)為〔f〕根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾斜角為4-2單位反響控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為：(1)(2)(3)(4)，畫出各系統(tǒng)的根軌跡圖。解：〔1〕按以下步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為②實軸上的根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，，漸近線與實軸的交點為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如以下列圖4-2a所示圖4-2a閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖圖4-2a閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖〔2〕按以下步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點；開環(huán)有限極點為②實軸上的根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，，，漸近線與實軸的交點為④別離點方程為解得別離點閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如以下列圖4-2b所示圖4-2b圖4-2b〔3〕按以下步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點；開環(huán)有限極點為實軸上根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，，④根軌跡的起始角：復數(shù)開環(huán)有限極點處，⑤別離點方程為解得別離點檢查時，時，皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的別離點。⑥確定根軌跡與虛軸的交點：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列寫勞斯表當時，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為解得根軌跡與虛軸交點為。根軌跡如以下列圖4-2c所示：圖4-2c圖4-2c〔4〕按以下步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為，，②實軸上根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，，④別離點方程為解得別離點根軌跡如以下列圖4-2d所示：圖4-2d圖4-2d圖4-2習題4-3系統(tǒng)零極點分布圖4-3給定系統(tǒng)如圖4-2所示，，試畫出系統(tǒng)的根軌跡，并分析增益對系統(tǒng)阻尼特性的影響。圖4-2習題4-3系統(tǒng)零極點分布圖解：〔1〕作系統(tǒng)的根軌跡。開環(huán)傳遞函數(shù)為①開環(huán)極點為和，開環(huán)零點為和。②所以實軸上的根軌跡區(qū)間為和。③別離點方程得別離點檢查時，時，可得到根軌跡如以下列圖4-3a所示圖4-3a圖4-3a〔2〕分析增益對阻尼特性的影響。從根軌跡圖可以看出，對于任意，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，但阻尼狀況不同。增益較小時〔〕系統(tǒng)過阻尼；增益很大時〔〕，系統(tǒng)過阻尼；增益中等時〔〕，系統(tǒng)欠阻尼。圖4-3習題4-4系統(tǒng)構(gòu)造圖4-4給定控制系統(tǒng)如圖4-3所示，，試用系統(tǒng)的根軌跡圖確定，速度反響增益為何值時能使閉環(huán)系統(tǒng)極點阻尼比等于。圖4-3習題4-4系統(tǒng)構(gòu)造圖解：〔1〕求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并劃成標準形式。通過方塊圖變換或代數(shù)運算可以求得單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)因為可變參數(shù)不是分子多項式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程改寫為即，上述閉環(huán)特征方程也相當于開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。〔2〕根據(jù)作出根軌跡圖。有兩個極點，一個零點，所以負實軸是根軌跡，而且其上有別離點。將閉環(huán)特征方程改寫為由可以求得，其中在根軌跡上，對應增益為，故是實軸上的別離點。根軌跡如圖4-4a所示。圖4-4a圖4-4a〔3〕求反響增益。首先要確定閉環(huán)極點。設(shè)途中虛線代表，則閉環(huán)極點為根軌跡和該虛線的交點，由可得。設(shè)列出該點對應的輻角條件經(jīng)整理得兩邊同取正切，整理得解得，。所以該閉環(huán)極點為。再由得速度反響增益為。4-5單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：。要求系統(tǒng)的閉環(huán)極點有一對共軛復數(shù)極點，其阻尼比為。試確定開環(huán)增益，并近似分析系統(tǒng)的時域性能。解：根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的根本法則，作系統(tǒng)的概略根軌跡如圖4-5a所示。圖4-5a圖4-5a欲確定，需先確定共軛復極點。設(shè)復極點為根據(jù)阻尼比的要求，應保證在圖上作的阻尼線，并得到初始試探點的橫坐標，由此求得縱坐標。在處檢查相角條件不滿足相角條件；修正，則，點處的相角為；再取，則，點處的相角為。因此共軛復極點。由模值條件求得運用綜合除法求得另一閉環(huán)極點為。共軛復極點的實部與實極點的實部之比為，因此可視共軛復極點為系統(tǒng)的主導極點，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似表示為并可近似地用典型二階系統(tǒng)估算系統(tǒng)的時域性能4-6單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定時K的取值范圍。解：由題得開環(huán)極點：和開環(huán)零點：別離、會合點：從平面的零點、極點分布可知在區(qū)間內(nèi)可能有別離、會合點。記由，可得經(jīng)整理后得到用試探法或程序算得區(qū)間內(nèi)的一個根為，它就是實軸上的別離點。根軌跡自復數(shù)極點的出射角：根軌跡趨向復數(shù)零點的入射角：根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程為令，可得由第二式得，代入第一式，得解得根據(jù)以上數(shù)據(jù)畫根軌跡圖，如圖4-6a所示。圖4-6a根軌跡圖圖4-6a根軌跡圖再分析系統(tǒng)得穩(wěn)定情況：根軌跡與虛軸第一個交點的頻率為，利用幅值條件可以計算出對應的增益同樣可以算得與和對應的增益參看根軌跡圖可知：系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍為：或4-7單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖。解：按以下步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點；開環(huán)有限極點為②實軸上的根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，，漸近線與實軸的交點為④別離點方程為解得別離點閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如以下列圖4-7a所示圖4-7a圖4-7a4-8反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出和同時變化的根軌跡簇。解：〔1〕列寫閉環(huán)特征方程。閉環(huán)特征方程為〔2〕畫，從到的根軌跡。時閉環(huán)特征方程為。這相當于一個開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)。它的根軌跡是與虛軸重合的直線。見圖4-8a中由圓圈構(gòu)成的根軌跡?！?〕畫為常數(shù)，從到的根軌跡。給定，則閉環(huán)特征方程為它相當于一個開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的開環(huán)極點為，開環(huán)零點為。圖4-8a中不帶圓圈的根軌跡是時的根軌跡。圖4-8a圖4-8a4-9單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫出系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為即有等效開環(huán)傳遞函數(shù)為，變化范圍為按照繪制常規(guī)根軌跡的根本法則確定根軌跡的各項參數(shù)：〔1〕等效系統(tǒng)無開環(huán)有限零點；開環(huán)有限極點為：〔2〕實軸上的根軌跡區(qū)間為〔3〕根軌跡有3條漸近線，且〔4〕根軌跡的別離點：由別離點方程解得〔5〕根軌跡與虛軸的交點：根據(jù)閉環(huán)特征方程列寫勞斯表如下：當時，勞斯表的行元素全為零，輔助方程為解得繪制系統(tǒng)參數(shù)根軌跡如圖4-9a所示圖4-9a圖4-9a4-10反響控制系統(tǒng)中，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制時的閉環(huán)根軌跡概略圖；繪制時的閉環(huán)根軌跡概略圖；比較開環(huán)零點變化對根軌跡形狀的影響。解：〔1〕開環(huán)傳遞函數(shù)按以下步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為，，②實軸上的根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，，漸近線與實軸的交點為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如以下列圖4-10a所示圖4-10a根軌跡圖圖4-10a根軌跡圖〔2〕開環(huán)傳遞函數(shù)按以下步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)開環(huán)有限零點為，；開環(huán)有限極點為，，，②實軸上的根軌跡區(qū)間為和③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，，漸近線與實軸的交點為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如以下列圖4-10b所示圖4-10b根軌跡圖圖4-10b根軌跡圖4-11給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分取何值時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解：〔1〕求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并化成標準的形式。因為可變參數(shù)不是分子多項式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可改寫為則開環(huán)傳遞函數(shù)為〔2〕根據(jù)作系統(tǒng)的根軌跡。中的增益為負值，所以要作系統(tǒng)的補根軌跡。開環(huán)極點為和，開環(huán)零點為。按照補根軌跡的作圖規(guī)則，實軸上的根軌跡區(qū)間為和。在區(qū)間有會合點，在有別離點。為求別離、會合點，將閉環(huán)特征方程改寫為由，得，解得，分別對應的增益為和，所以是別離、會合點?？梢宰C明，不在實軸上的根軌跡是一個圓，圓心在，半徑為。以為參變量的根軌跡如圖4-11a所示，圖4-11a圖中箭頭表示從到的方向，也即從到的方向。圖4-11a〔3〕求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍。首先求根軌跡與虛軸的交點。由閉環(huán)特征方程可知，時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這相當于，所以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為。4-12實系參數(shù)多項式函數(shù)為：欲使的根均為實數(shù)，試確定參數(shù)的范圍。解：對作等效變換得等效開環(huán)函數(shù)為當時，需繪制常規(guī)根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為，，實軸上的根軌跡區(qū)間為和根軌跡有2條漸近線，且；由別離點方程在實軸區(qū)間內(nèi)用試探法求得。繪制根軌跡圖，如圖4-12a所示。當時，需繪制零度根軌跡。實軸上，零度根軌跡區(qū)間為(-∞,-3]，[-2,-1]和[0,+∞]。作零度根軌跡圖，如圖4-12b所示。當多項式有根時，根據(jù)模值條件得根據(jù)常規(guī)根軌跡圖，知當時，多項式的根皆為實數(shù)；根據(jù)零度根軌跡圖，知當時，多項式的根亦全為實數(shù)。因此所求參數(shù)的范圍為。圖4-12a常規(guī)根軌跡圖4-12b零度根軌跡4-13設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：大致畫出系統(tǒng)的根軌跡圖；用文字說明當時，如何求系統(tǒng)單位階躍響應的超調(diào)量，峰值時間及調(diào)節(jié)時間。解：〔1〕繪根軌跡圖漸近線：別離點：由，得相應的根軌跡增益根軌跡與虛軸交點：閉環(huán)特征方程列勞斯表當時，勞斯表出現(xiàn)全零行，由輔助方程得根軌跡與虛軸交點處為根軌跡圖如以下列圖4-13a所示：圖4-13a圖4-13a〔2〕求動態(tài)性能指標當時，系統(tǒng)，閉環(huán)有兩個實主導極點和，且，因此求得調(diào)節(jié)時間如下：當時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復極點，則由于因此4-14設(shè)單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出系統(tǒng)根軌跡圖，并求出系統(tǒng)具有最小阻尼比時的閉環(huán)極點和對應的增益。解：系統(tǒng)在實軸上的根軌跡區(qū)域為和在這兩段區(qū)域內(nèi)，均存在別離點。為了求出別離點，令求出因而復數(shù)根軌跡是以為圓心，為半徑的一個圓，如圖4-14a所示圖4-14a圖4-14a在圖上，過原點作圓得切線，得最小阻尼比線。由根軌跡圖知，對于等腰直角三角形，必有，故最小阻尼比響應的閉環(huán)極點由根軌跡模值條件，可求出相應的增益為4-15單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試按照步驟作出時的根軌跡圖。解：開環(huán)極點：根軌跡在實軸上的區(qū)間根軌跡的漸近線別離點：即整理得為了求取別離點方程的根，將上式表示為令等效開環(huán)傳遞函數(shù)為其中。假設(shè)令從變到，其根軌跡如圖4-15a所示。圖中，漸近線圖4-15a圖4-15a；別離點。在圖上，試探，檢驗模值條件故符合要求，故為別離點方程的一個根。利用綜合除法，有求得別離點別離角為根軌跡的起始角根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程為列勞斯表顯然，當時，根軌跡和虛軸相交，由輔助方程求得交點處根據(jù)以上步驟，繪制系統(tǒng)根軌跡圖4-15b圖4-15b根軌跡圖圖4-15b根軌跡圖4-16設(shè)*單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制從時系統(tǒng)的根軌跡圖；求系統(tǒng)階躍響應中含有時的值范圍，其中；求系統(tǒng)有一個閉環(huán)極點為時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：繪制根軌跡圖閉環(huán)特征方程為寫成根軌跡方程形式為：令等效開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上根軌跡：別離點：由求得與虛軸交點：列勞斯表顯然，當時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，由輔助方程并代入，解出交點處別離點處根軌跡增益：由模值條件得：繪出系統(tǒng)根軌跡如圖4-16a所示圖4-16a圖4-16a〔2〕求值范圍當系統(tǒng)階躍響應含有分量時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)有一對具有負實部的共軛極點，值范圍為〔3〕求閉環(huán)傳遞函數(shù)當系統(tǒng)具有閉環(huán)極點時，由模值條件，其對應的值為于是閉環(huán)傳遞函數(shù)為5-1設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試根據(jù)頻率特性的定義證明，輸入為余弦函數(shù)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為解：由題目可得對等式兩邊同時進展拉氏變換可得由于系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，所以不存在正實部的極點。假設(shè)可表示為如下表達式由以上分析可得，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對上述閉環(huán)傳遞函數(shù)作如下分解對上式等式兩邊進展拉氏反變換可得由系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的定義可得利用留數(shù)法確定待定的系數(shù)所以可得5-2假設(shè)系統(tǒng)階躍響應為：試確定系統(tǒng)頻率特性解：單位階躍輸入信號的拉氏變換為系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為將代入傳遞函數(shù)可得5-3設(shè)系統(tǒng)構(gòu)造圖如圖5-1所示，試確定輸入信號圖5-1習題5-3控制系統(tǒng)構(gòu)造圖圖5-1習題5-3控制系統(tǒng)構(gòu)造圖作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：如圖5-1所示，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為1：備注：為什么穩(wěn)態(tài)誤差？其幅頻特性和相頻特性分別為當時5-4系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解：由題可知，系統(tǒng)的頻率特性如下由于系統(tǒng)，所以開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧當時，當時，又由于，所以有當時，開環(huán)幅相曲線始終處于第三象限，如圖5-4a所示；當時，開環(huán)幅相曲線始終處于第二象限，如圖5-4b所示。圖5-4a開環(huán)幅相曲線圖5-4b開環(huán)幅相曲線5-5系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試分別繪制時系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相曲線。解：由題目可知，系統(tǒng)的頻率特性如下當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。圖5-5a系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線圖5-5a系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線5-6系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試分別計算和時，開環(huán)頻率特性的幅值和相位。解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性表達式如下當時此時當時此時5-7繪制以下傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線=1\*alphabetica．圖2-7a對數(shù)幅頻漸進特性曲線圖2-7a對數(shù)幅頻漸進特性曲線=2\*alphabeticb．圖2-7b對數(shù)幅頻漸進特性曲線圖2-7b對數(shù)幅頻漸進特性曲線對數(shù)幅頻漸進特性曲線=3\*alphabeticc．圖2-7c對數(shù)幅頻漸進特性曲線圖2-7c對數(shù)幅頻漸進特性曲線對數(shù)幅頻漸進特性曲線=4\*alphabeticd．圖2-7d對數(shù)幅頻漸進特性曲線圖2-7d對數(shù)幅頻漸進特性曲線5-8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制的對數(shù)頻率特性曲線，并算出截止頻率。解：由題可得則因此對數(shù)頻率特性曲線如圖5-8a所示圖5-8a對數(shù)頻率特性曲線圖5-8a對數(shù)頻率特性曲線又，可得，即計算可得5-9系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：=1\*alphabetica．計算截止頻率。=2\*alphabeticb．確定對數(shù)幅頻漸進特性曲線的低頻漸進線的斜率。=3\*alphabeticc．繪制對數(shù)幅頻特性曲線。解：計算可得當時，斜率為；當時，斜率為；當時，斜率為；當時，斜率為；繪制對數(shù)幅頻特性曲線，如圖5-9a所示。圖5-9a對數(shù)幅頻特性曲線5-10利用奈氏判據(jù)分別判斷題5-4，5-5系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：對于題5-4的系統(tǒng)，分和的兩種情況來討論系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。當時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4a所示，由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不包圍，根據(jù)奈奎斯特判據(jù)可得又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無極點，時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4b所示，由圖可知，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個極點，時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)對于題5-5的系統(tǒng)，其開環(huán)幅相曲線如下列圖，由圖5-5a可知當時，，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無極點，時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當時，，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個極點，時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-11用勞斯判斷據(jù)驗證題5-10的結(jié)果。解：〔1〕對于題5-4的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為列勞斯表則當時，，即第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，，即第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?〕對于題5-5的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為，即當時，列勞斯表第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，列勞斯表第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當時，情況與一樣，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-12三個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，，， 又知它們的奈奎斯特曲線如圖5-2(a)(b)(c)所示。找出各個傳遞函數(shù)分別對應的奈奎斯特曲線，并判斷單位反響下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖5-2習題5-12控制系統(tǒng)乃奎斯特曲線圖解：三個傳遞函數(shù)對應的奈奎斯特曲線分別為圖5-2習題5-12控制系統(tǒng)乃奎斯特曲線圖對式，，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對式，，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對式，，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；5-13系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉環(huán)穩(wěn)定條件：=1\*alphabetica．時，值的范圍；=2\*alphabeticb．時，值的范圍；=3\*alphabeticc．，值的范圍。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)的開環(huán)曲線圖如圖5-13a所示圖5-13a系統(tǒng)開環(huán)曲線圖5-13a系統(tǒng)開環(huán)曲線由于，故想要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，必有，即幅相曲線不包圍點。系統(tǒng)的頻率特性表達式如下、時，對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得、時，對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得、對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得5-14*系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求畫出以下4種情況下的奈奎斯特曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：=1\*alphabetica．；=2\*alphabeticb．；=3\*alphabeticc．；=4\*alphabeticd．。解：當時，，其開環(huán)幅相曲線如圖5-14a所示，，則，故在平面右半平面有2個閉環(huán)極點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；b．當時，假設(shè)，則假設(shè)，則其開環(huán)幅相曲線如圖5-14b所示，，則，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；c．當時，假設(shè)，則假設(shè)，則其開環(huán)幅相曲線如圖5-14c所示，，則，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；d．當時，由可得,故可得其開環(huán)幅相曲線如圖5-14d所示，，圖5-14a開環(huán)幅相曲線圖5-14b開環(huán)幅相曲線則，故系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5-14a開環(huán)幅相曲線圖5-14b開環(huán)幅相曲線圖5-14c開環(huán)幅相曲線圖5-14d開環(huán)幅相曲線5-15反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，如果閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)會有幾個極點在復數(shù)平面的右半平面？解：當時，當時，由于系統(tǒng)不穩(wěn)定，故可得其開環(huán)幅相曲線如圖5-15a所示由圖可得，則，故閉環(huán)傳遞函數(shù)有2個極點在復數(shù)平面的右半平面。圖5-15a開環(huán)幅相曲線圖5-15a開環(huán)幅相曲線5-16設(shè)控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖如圖5-3所示。=1\*alphabetica．求出開環(huán)傳遞函數(shù)；=2\*alphabeticb．畫出對數(shù)相頻特性曲線；=3\*alphabeticc．求出臨界開環(huán)比例和截止頻率；=4\*alphabeticd．用奈氏判據(jù)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果穩(wěn)定再分別求出當輸入信號和的情況下系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。圖5-3習題5-16控制系統(tǒng)構(gòu)造圖圖5-3習題5-16控制系統(tǒng)構(gòu)造圖解：〔a〕系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為〔b〕，，圖5-16a圖5-16a〔c〕，，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為與實軸的交點故幅相曲線為圖5-16b圖5-16b當時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，得當時，，系統(tǒng)穩(wěn)定圖5-16c當時，，系統(tǒng)不穩(wěn)定當時，，當時，5-17*最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-4所示。=1\*alphabetica．寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)；=2\*alphabeticb．畫出其相頻特性草圖，并從圖上求出和標明相角裕度和幅值裕度；=3\*alphabeticc．求出該系統(tǒng)到達臨界穩(wěn)定時的開環(huán)比例系數(shù)值；圖5-4習題5-17控制系統(tǒng)構(gòu)造圖=4\*alphabeticd．在復數(shù)平面上畫出其奈奎斯特曲線，并標明點的位置。圖5-4習題5-17控制系統(tǒng)構(gòu)造圖解：〔1〕確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)。因?qū)?shù)幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為，由圖，低頻漸近斜率為，故，系統(tǒng)含有2個積分環(huán)節(jié)?！?〕確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)構(gòu)造形式。由于對數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉(zhuǎn)折點對應的頻率為所含一階或二階環(huán)節(jié)的交接頻率，每個交接頻率處斜率的變化取決于環(huán)節(jié)的種類。處，斜率變化，對應微分環(huán)節(jié)；處，斜率變化，對應慣性環(huán)節(jié)；處，斜率變化，對應慣性環(huán)節(jié)。因此，所測系統(tǒng)具有下述傳遞函數(shù)其中待定。〔3〕低頻漸近線方程為由給定點，得故所測系統(tǒng)傳遞函數(shù)為5-18設(shè)單位反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定相角裕度為時的參數(shù)值。解：系統(tǒng)的頻率特性表達式為設(shè)系統(tǒng)的截止頻率為，則由相角裕度的定義可得即又由于由上式得所以5-19假設(shè)高階系統(tǒng)的時域指標為，，試根據(jù)經(jīng)歷公式確定系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度的范圍。解：根據(jù)經(jīng)歷公式，根據(jù)題意有，可求得5-20典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)假設(shè)，試確定相角裕度的范圍；假設(shè)給定，試確定系統(tǒng)帶寬的范圍。解：由于且，可解得而根據(jù)題意又有，且故計算可得：5-21設(shè)二階系統(tǒng)如圖5-5(a)所示。假設(shè)分別參加測速反響校正，〔圖5-5(b)〕和比例-微分校正，〔圖5-5(c)〕，并設(shè)，，試確定各種情況下相角裕度的范圍，并加以比較。圖5-5習題5-21控制系統(tǒng)構(gòu)造圖圖5-5習題5-21控制系統(tǒng)構(gòu)造圖解：(a)由題意可知系統(tǒng)開環(huán)頻率特性，，設(shè)為截止頻率，當時，則有和把代入上式，得：，(b)由題意可知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)頻率特性為設(shè)為截止頻率，當時，則有和把，設(shè)，代入上式，得：，(c)由題意可知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，其中其開環(huán)頻率特性為，設(shè)為截止頻率，當時，則有和把，設(shè)，代入上式，得：，圖5-6習題5-22控制系統(tǒng)構(gòu)造圖5-22單位反響系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖5-6所示。當時，系統(tǒng)幅值裕度，穿越頻率，試求輸入為，幅值裕度為下述值時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖5-6習題5-22控制系統(tǒng)構(gòu)造圖=1\*alphabetica．=2\*alphabeticb．解：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性為：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：解得當有，得則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成系統(tǒng)與實軸的交點為當時，，當時，，5-23設(shè)單位反響系統(tǒng)如圖5-7所示。其中，；時，截止頻率，假設(shè)要求不變，問與如何變化才能使系統(tǒng)相角裕度提高至？解：開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性為：相頻特性為：當時，，把代入得：假設(shè)要求相角提高，即要求提高，設(shè)調(diào)整后的系統(tǒng)相頻特性為： 調(diào)整后的值為：，值不做調(diào)整。圖5-7習題5-23單位反響系統(tǒng)構(gòu)造圖圖5-7習題5-23單位反響系統(tǒng)構(gòu)造圖5-24單位反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線，并據(jù)此確定：=1\*alphabetica．求時的相角裕度；=2\*alphabeticb．求時的幅值裕度；(1)解：開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性為：令，當時，得開環(huán)系統(tǒng)相頻特性為：，當時，有(2)解：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：令其虛部為零，即得5-25假設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值。解：系統(tǒng)的頻率特性表達式為由上式可得，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)幅相曲線穿過點，此時由上式可得，顯然，當時，由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。故的取值范圍為5-26設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，延遲時間的范圍。解：系統(tǒng)的頻率特性表達式為由上式可得，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)幅相曲線穿過點，此時由幅頻特性可得解之可得〔舍去〕又即顯然，當時，由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。故的取值范圍為6-1設(shè)單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計一無源校正網(wǎng)絡，使已校正系統(tǒng)的相角裕度不小于，截止頻率不低于。解：作待校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性，如圖6-1a所示，得，故應選擇超前網(wǎng)絡。圖6-1a系統(tǒng)特性取，量得，由，求得取無源超前網(wǎng)絡將放大增益提高4倍，作校正后系統(tǒng)，見圖6-1a，得滿足設(shè)計要求得如下指標：6-2設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：試設(shè)計一串聯(lián)超前校正裝置，使系統(tǒng)滿足如下指標：相角裕度；在單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；(3)截止頻率。解：首先確定開環(huán)增益得，取則開環(huán)傳遞函數(shù)為由，得未校正前的截止頻率對應得相角裕度不符合要求，進展串級超前校正。取計算由，得，所以所以設(shè)計得超前網(wǎng)絡傳遞函數(shù)為最終校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為驗算滿足性能指標要求，設(shè)計合理。6-3單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計串聯(lián)校正裝置，使校正后系統(tǒng)的相位裕度，幅值裕度，靜態(tài)速度誤差系數(shù)。解：給定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量時宜采用頻率響應校正設(shè)計方法。確定期望的開環(huán)增益。因為，所以取。分析增益校正后的系統(tǒng)。圖6-2中的虛線為的對數(shù)幅頻特性和相頻特性。圖6-3a中的對數(shù)幅頻特性采用的是漸近線，漸近線的拐點處的分貝數(shù)用數(shù)字表示，相頻特性為示意圖。從圖6-3a虛線所示的對數(shù)幅頻特性可以測算出增益穿越頻率圖6-3a系統(tǒng)校正前后的伯德圖相位裕量。校正的任務是增加相位裕量。由圖可以看出，采用超前校正，可以提高相位裕量。因為增益已經(jīng)確定，所以超前校正裝置采用的形式。在時，，因此校正裝置不會影響低頻增益，故而不會改變已獲得的靜態(tài)誤差系數(shù)。圖6-3a系統(tǒng)校正前后的伯德圖由可得，并進而取。超前校正裝置的最大相角頻率為，而且在該頻率的增益為。要使增益穿越頻率等于，曲線必須在處穿過軸，即所以由圖6-2可以算出。進而取可得故校正裝置的傳遞函數(shù)為6-4設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試用比例—微分裝置進展校正，使系統(tǒng)，，并確定校正參數(shù)。解：首先確定開環(huán)增益，取所以未校正開環(huán)傳遞函數(shù)為計算校正前截止頻率為計算相角裕度為相角裕度低于性能指標，可用比例微分裝置進展校正。設(shè)比例微分校正裝置傳遞函數(shù)為需要補償?shù)鲁敖菫槿?，又因為可得比例微分裝置的時間常數(shù)所以比例微分校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為驗算符合要求。6-5設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)的，。解：取，繪待校正系統(tǒng)，如6-5a圖，由圖6-5a查得采用超前網(wǎng)絡，其最大超前相角應為由于較大，應采用兩級超前校正，每級超前網(wǎng)絡傳遞函數(shù)為依據(jù)，算得，取，故校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為當時，因為是和得幾何中點，因此可得從而求得，代入，有，于是圖6-5a系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖6-5a系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性經(jīng)放大補償后，驗算：故將增大，取，算得滿足設(shè)計要求。因此，放大器增益需提高6倍。6-6設(shè)單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計一串聯(lián)滯后校正網(wǎng)絡，使已校正系統(tǒng)的相角裕度為，幅值裕度不低于，開環(huán)增益保持不變，截止頻率不低于"1〞。解：畫校正前系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線，由圖6-6a得說明待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，由于大于要求得，故可采用串聯(lián)滯后校正。圖6-6a圖6-6a系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線由畫曲線根據(jù)題目意思，估計，而，因此由曲線查得，滿足的要求。當時，，故令，求得。于是串聯(lián)滯后網(wǎng)絡傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為驗算：，滿足要求。6-7對于題6-4試用比例—積分裝置進展串聯(lián)校正。解：加PI控制器后，系統(tǒng)成為Ⅱ型，有，必滿足穩(wěn)態(tài)性要求。因此可取任何滿足要求得任意值。因待校正系統(tǒng)。今要求，再考慮校正元件產(chǎn)生的滯后相位，可以選擇，使。設(shè)取，由題可得，所以未校正開環(huán)傳遞函數(shù)為選PI校正裝置傳遞函數(shù)根據(jù)，取，則校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為校正后的相角裕度滿足設(shè)計要求。6-8單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計串聯(lián)校正裝置使系統(tǒng)具有相位裕度，幅值裕度，靜態(tài)速度誤差系數(shù)。解：由題意可得畫的伯德圖，從圖6-8a中可以看出，只要將對數(shù)幅頻漸近線德中段下降，即可滿足相位裕量要求。所以，采用滯后校正，傳遞函數(shù)取為令，它對應的相角為對應于該期望相位裕量的頻率為解得，即為新的增益穿越頻率圖6-8a系統(tǒng)校正前后的伯德圖圖6-8a系統(tǒng)校正前后的伯德圖令，得因此，，即，解得。滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為：校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為驗算，符合要求。6-9設(shè)單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：要求設(shè)計—串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)滿足：輸入速度為時，穩(wěn)態(tài)速度誤差不大于；許可的放大器增益不變；相角裕度不小于，截止頻率為。解：繪待校正系統(tǒng)，由圖6-9a得，算出。說明待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且要求，宜采用串聯(lián)滯后－超前校正。圖6-9a系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性由圖知，，則，于是在時，的斜率均為－20。由于要求，故可得因此，已校正系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為令，由可以求出，于是校正網(wǎng)絡為驗算：，滿足指標要求。6-10單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計串聯(lián)滯后超前校正裝置使校正后系統(tǒng)具有相角裕度，增益穿越頻率，靜態(tài)速度誤差系數(shù)。解：由題意可得所以增益校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為由題意，采用超前和滯后分別設(shè)計的滯后超前裝置，即其中，且不一定等于1。設(shè)計超前局部：根據(jù)題目要求，超前局部至少應再提供超前角，故取超前裝置的最大超前角為，由此可算的，由，故因此，超前局部的傳遞函數(shù)為由于它的零點和對象的一個極點十分接近，故該取所以設(shè)計滯后局部：要使成為增益穿越頻率，必須滿足，可解得，