湖北省襄州一中棗陽一中等四校2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點，與軸的正半軸交于點，與準線交于點，且，則（）A． B．2 C． D．32．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．3．正的邊長為2，將它沿邊上的高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．4．如圖，在三棱錐中，平面，，現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個，則選取的個表面互相垂直的概率為（）A． B． C． D．5．某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種6．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若從圓：的內(nèi)部隨機選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．7．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點，又P、Q分別在線段、上，且，設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面 B．C．當時，平面 D．當m變化時，直線l的位置不變8．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．9．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．10．拋物線的準線方程是，則實數(shù)（）A． B． C． D．11．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．12．若函數(shù)在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義，已知，，若恰好有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.14．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是__________元.15．已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則__________.16．已知實數(shù)滿約束條件，則的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，，證明：.18．（12分）第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項，329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開，武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解軍運會的相關(guān)知識，并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者，他們得分（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：組別頻數(shù)5304050452010（1）若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計總體，設(shè)，分別為這200人得分的平均值和標準差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表），求，的值（，的值四舍五入取整數(shù)），并計算；（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動，市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運市民制定如下獎勵方案：得分低于的可以獲得1次抽獎機會，得分不低于的可獲得2次抽獎機會，在一次抽獎中，抽中價值為15元的紀念品A的概率為，抽中價值為30元的紀念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運參與者，記Y為他參加活動獲得紀念品的總價值，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀念品所需要的總金額.（參考數(shù)據(jù)：；；.）19．（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進行了調(diào)查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200（2）從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，且，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知函數(shù)，，若存在實數(shù)使成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設(shè)，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進而求得結(jié)果.【題目詳解】過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由拋物線解析式知：，準線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.【答案點睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.2、C【答案解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．3、D【答案解析】

如圖所示，設(shè)的中點為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【題目詳解】如圖所示，設(shè)的中點為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因為，故，因為，故.由正弦定理可得，故，又因為，故.因為，故平面，所以，因為平面，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【答案點睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一定的難度.4、A【答案解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對數(shù)，再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率．【題目詳解】由已知平面，，可得，從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法，而選取的個表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為．故選：A．【答案點睛】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù)．5、C【答案解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.【題目詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有種組合；若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C【答案點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.6、B【答案解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【題目詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【答案點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎(chǔ)題.7、C【答案解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【題目詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立；因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選：C【答案點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.8、A【答案解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進行求解即可【題目詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【答案點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功9、C【答案解析】

設(shè)，計算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【題目詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【答案點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.10、C【答案解析】

根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數(shù)求解即可.【題目詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選：C【答案點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎(chǔ)題.11、C【答案解析】

直線恒過定點，由此推導(dǎo)出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【題目詳解】設(shè)拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【答案點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題.12、A【答案解析】

對函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進而可求出答案.【題目詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【答案點睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

根據(jù)題意，分類討論求解，當時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，再分當，兩種情況討論求解.【題目詳解】由題意得：當時，在軸上方，且為增函數(shù)，無零點，至多有兩個零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，如圖所示：當時，即時，要有3個零點，則，解得；當時，即時，要有3個零點，則，令，，所以在是減函數(shù)，又，要使，則須，所以.綜上：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【答案點睛】本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.14、1元【答案解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為桶，桶，利潤為元

則根據(jù)題意可得目標函數(shù)，作出可行域，如圖所示作直線然后把直線向可行域平移，

由圖象知當直線經(jīng)過時，目標函數(shù)的截距最大，此時最大，

由可得，即此時最大，

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤，最大利潤為1．【答案點睛】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識進行求解是解決本題的關(guān)鍵．15、【答案解析】

根據(jù)的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，得到，再利用組合數(shù)公式求解.【題目詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【答案點睛】本題主要考查二項式的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、8【答案解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移計算得到答案.【題目詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標函數(shù)表示直線在軸上的截距，由圖可知當經(jīng)過點時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【答案點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見證明【答案解析】

（1）利用零點分段法討論去掉絕對值求解；（2）利用絕對值不等式的性質(zhì)進行證明.【題目詳解】（1）解：當時，不等式可化為.當時，，，所以；當時，，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，，得，，，又，所以，即.【答案點睛】本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點分段討論法.18、（1），，；（2）詳見解析.【答案解析】

（1）根據(jù)頻率分布表計算出平均數(shù)，進而計算方差，從而X～N（65，142），計算P（51＜X＜93）即可；（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每個取值對應(yīng)的概率，列出分布列，計算期望，進而可得需要的總金額．【題目詳解】解：（1）由已知頻數(shù)表得：，，由，則，而，所以，則X服從正態(tài)分布，所以；（2）顯然，，所以所有Y的取值為15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列為：Y15304560P所以，需要的總金額為：.【答案點睛】本題考查了利用頻率分布表計算平均數(shù)，方差，考查了正態(tài)分布，考查了離散型隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計算能力，屬于中檔題．19、（1）見解析，有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）【答案解析】

（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結(jié)論；（2）由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是，則，根據(jù)二項分布的期望公式計算可得；【題目詳解】解：（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）根據(jù)樣本估計，從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機抽取1人，抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是，且，所以隨機變量的期望為.【答案點睛】本題考查獨立性檢驗的