初中數(shù)學(xué)建模常見類型及舉例

初中數(shù)學(xué)建模初探隨著經(jīng)濟的飛速發(fā)展和計算機的廣泛應(yīng)用,數(shù)學(xué)日益成為一種技術(shù),其手段就是計算和數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模是解決實際問題的過程，在這一個過程中，建立數(shù)學(xué)模型是最關(guān)鍵、最重要的環(huán)節(jié)，也是學(xué)生的困難所在。它需要運用數(shù)學(xué)的語言和工具，對部分現(xiàn)實世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等）加以簡化、抽象、翻譯、歸納，然后利用合適的數(shù)學(xué)工具描述事物特征的一種數(shù)學(xué)方法。一、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使學(xué)生初步學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型的方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，應(yīng)著重注意以下幾點：1、審題建立數(shù)學(xué)模型，首先要認(rèn)真審題。蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家斯托利亞爾說過，數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。實際問題的題目一般都比較長，涉及的名詞、概念較多，因此要耐心細(xì)致地讀題，深刻分解實際問題的背景，明確建模的目的；弄清問題中的主要已知事項，盡量掌握建模對象的各種信息；挖掘?qū)嶋H問題的內(nèi)在規(guī)律，明確所求結(jié)論和對所求結(jié)論的限制條件。2、簡化根據(jù)實際問題的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要簡化。抓住主要因素，拋棄次要因素，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識和方法，用精確的語言作出假設(shè)。3、抽象將已知條件與所求問題聯(lián)系起來，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)出來，從而建立數(shù)學(xué)模型。按上述方法建立起來的數(shù)學(xué)模型，是不是符合實際，理論上、方法上是否達(dá)到了優(yōu)化，在對模型求解、分析以后通常還要用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?。二、初中?shù)學(xué)建模的主要類型一切數(shù)學(xué)概念、公式、方程式和算法系統(tǒng)等都是數(shù)學(xué)模型，可以說，數(shù)學(xué)建模的思想滲透在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中。因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊涵的應(yīng)用數(shù)學(xué)的材料，并從中總結(jié)提煉，就能找到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材。例如：最大最小問題，包括面（體）積最大（?。?、用料最省、費用最低、效益最好等，可以建立函數(shù)或不等式模型。行程、工程、濃度問題，可以建立方程（組）、不等式（組）模型。1、函數(shù)模型當(dāng)涉及到總運費最少或利潤最大等決策性問題時，可通過建立函數(shù)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用函數(shù)的相關(guān)知識來解決.2、直角三角形模型當(dāng)涉及測量高度、測量距離、航海、攔水壩等應(yīng)用型問題時，可考慮建立直角三角形的模型，利用直角三角形的知識使問題獲得解決.3、方程（組）模型現(xiàn)實生活中廣泛地存在等量關(guān)系，如利息和稅率、百分比、工程施工、行程問題等，通常都需要建立方程（組）的模型來解決問題.4、不等式（組）模型生活中的不等關(guān)系主要體現(xiàn)在市場營銷、生產(chǎn)決策、統(tǒng)籌安排等方面，對于此類實際問題可以考慮通過建立不等式（組）的模型來解決.5、幾何模型生活中諸如邊角余料加工、拱橋計算、修復(fù)殘破輪片等問題，涉及應(yīng)用一定幾何圖形的性質(zhì)需建立幾何模型，用幾何知識加以解決.三、強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用現(xiàn)已成為當(dāng)今各國課程內(nèi)容改革的共同特點。在美國，人們提出了“用數(shù)學(xué)服務(wù)于現(xiàn)實世界”的口號。近年來，我國對數(shù)學(xué)應(yīng)用給予了高度重視，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也開始進(jìn)行建模教學(xué)的探索，但所作的努力還不夠。一般說來，運用較少的數(shù)學(xué)知識、與教材內(nèi)容密切相關(guān)的、相對簡單的建?；顒涌梢栽谡n堂教學(xué)中進(jìn)行，而需要綜合運用多種知識、與教材內(nèi)容聯(lián)系不緊密的、相對復(fù)雜的建?；顒討?yīng)在課外活動中進(jìn)行。有些建模問題比較復(fù)雜，可以將其分解、分步解決；或在教師帶領(lǐng)下解決某些環(huán)節(jié)，其具體求解過程可留給學(xué)生課后解決，最后再組織學(xué)生宣講、交流或?qū)懗尚≌撐?，這樣既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的原則，也培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實際問題中,是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識分析問題,解決問題的能力的必備手段之一.數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行切入,把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識落實在平時的教學(xué)過程中,以教材為載體,以改革教學(xué)方法為突破口,通過對教學(xué)內(nèi)容的處理和再創(chuàng)造達(dá)到在學(xué)中用,在用中學(xué)。數(shù)學(xué)建模題型舉例1、建立二元一次方程組的模型解決實際問題。例1、利用兩塊長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖的方式放置。再交換木塊的位置，按圖的方式放置。測量數(shù)據(jù)。如圖。求桌子的高度。解析：利用二元一次方程組模型，找到兩個未知量和兩個相等關(guān)系，特別是圖形中隱含的等量關(guān)系。設(shè)：木塊長為a、寬為b、桌子的高為x，依題意有：解得：X=75例2、玲玲家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需6周完成，共需裝修費5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費4.8萬元。玲玲的爸爸媽媽商量后決定，只選一個公司單獨完成。（1）如果從節(jié)約時間的角度考慮應(yīng)選哪家公司？（2）如果從節(jié)約開支的角度考慮呢？說明理由。解析：利用二元一次方程組數(shù)學(xué)模型，節(jié)約時間久應(yīng)考慮效率、節(jié)約開支就得計算總費用，通過這兩方面的計算得到?jīng)Q策。2、建立分式方程模型解決實際問題。例3、小明去離家2.4千米的體育館看球賽，進(jìn)場時，發(fā)現(xiàn)門票放在家中，此時離比賽開始還有45分鐘，于是他立即步行（勻速）回家取票，在家取票時用時2分鐘，取到票后，他馬上騎自行車（勻速）趕往體育館。已知小時騎自行車從價趕往體育館比從體育館步行回家所用時間少20分鐘，騎自行車的速度是步行速度的3倍。（1）小明步行的速度（單位：米/分）是多少？（2）小明能否在球賽開始前趕到體育館？解析：（1）利用數(shù)學(xué)模型“路程=時間速度”列方程（2）由上面的模型計算來去，共用的時間，再與45分鐘盡心比較，如果小于45分鐘就可以提前趕到。3、建立一元二次方程模型解決實際問題。例4、某市某樓盤準(zhǔn)備以5000元/的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平米4050元的均價開盤銷售。（1）求平均每次下調(diào)的百分率。（2）某人準(zhǔn)備以開盤均價購買一套100平米的房子，開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇。打9.8折銷售；不打折，送兩年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費是每平米每月1.5元。請問哪種方案更優(yōu)惠？解析：模型“a（1x）n=b”其中a為原來量，x為平均增長率，n為增長決數(shù)，b為增長后的量?！?”表示增長，“-”表示下降（減少）。本題由模型a（1+x）n=b列方程，分別計算兩種方程的總花費，比較大小得出結(jié)論。4、建立一元一次不等式組模型解決實際問題。例5、開學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購買學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用了1元錢買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本。（1）求每支鋼筆和每本筆記本的價格。（2）校運會后，班主任拿出200元學(xué)校獎勵基金給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本48件，作為獎品，獎給校運會中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有多少種購買方案？解析：（1）利用二元一次方程組模型，由小芳、小亮花費錢數(shù)等量關(guān)系列一元一次方程組。（2）由花銷不多于200元和筆記本數(shù)量不少于鋼筆數(shù)量里餓不等式組，根據(jù)不等式組解得確定購買方案。5、建立一次函數(shù)模型求解實際問題。例6、2010年我國西南地區(qū)遭受了百年一遇的旱災(zāi)，但在這次旱情中，某市因近年來“森林城市”的建設(shè)而受災(zāi)較輕。據(jù)統(tǒng)計，該市2009年全年植樹5億棵，涵養(yǎng)水源3億立方米，若該市以后每年年均植樹5億棵，到2015年“森林城市”的建設(shè)將全面完成。那時，樹木可以長期保持涵養(yǎng)水源11億立方米。（1）從2009年到2015年這七年間，該市一共植樹多少億棵？（2）若把2009年作為第一年，該樹木涵養(yǎng)水源的能力y（億立方米）與第x年成一次函數(shù)，求出該函數(shù)解析式，并求出到第3年（即2011年）可以涵養(yǎng)多少水源？解析：利用一次函數(shù)模型，設(shè)樹木涵養(yǎng)水源的能力y（億立方米）與第x年所成的一次函數(shù)為y=kx+b。再將第一年（1，3），第七年（7,11）代入解析式求解。6、建立二次函數(shù)模型解決幾何問題。例7、小明在一次高爾夫球爭霸賽中，從山下O點打出一球向球洞A點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球到達(dá)最大水平高度12米時，球移動的水平距離為9米，已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30°，O、A兩點相距8分米。（1）求出點A的坐標(biāo)及支線OA的解析式。（2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式。（3）判斷小明這一桿能否吧高爾夫球從O點直接打入球洞A點。解析：（1）解直面三角形，求A點的坐標(biāo)，再求解析式。（2）將O點坐標(biāo)直接代入頂點式，求a。（3）當(dāng)X=OC=12時，比較此時的y值與a的縱坐標(biāo)得出結(jié)論。例8、某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=-+c,且過頂點C（0,5）。（長度單位：m）（1）直接寫出C的值。（2）現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯，地毯的價格為20元/。求購買地毯需多少元？（3）在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右側(cè)上），并鋪設(shè)斜面EG，已知矩形EFGH的周長為27.5m。求斜面EG的傾斜面GEF的度數(shù)（精確到0.1°）。解析：（1）利用二次函數(shù)模型，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把拱橋與二次函數(shù)模型聯(lián)系起來。（2）紅地毯的總長，就是臺階的高之和與臺階平臺面長之和。7、運用勾股定理模型解決實際問題。例9、有一塊直角三角形綠地，量得兩直角邊長分別為6m、8m，現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長。解析：（1）分情況討論。（2）利用勾股定理模型把這塊地轉(zhuǎn)化為直角三角形。AB=AD=10時，可得CD=CB=6，周長為32.②當(dāng)AB=AD=10時，CD=4，AD=4