圓與方程題型歸納2021

專題復(fù)習(xí):圓的方程考點(diǎn)總結(jié)考點(diǎn)1:圓的方程.圓ピ+ブ-2ス-8丫+13=0的圓心到原點(diǎn)的距離為.【解答】解:根據(jù)題意,圓ボ+ザー2x-8y+13=0的圓心為(1,4),則其圓心到原點(diǎn)為距離イ=4T布=ノ萬(wàn):故答案為:Jiラ..若直線2x+y+/n=0過(guò)圓ペ+y2-2x+4y=0的圓心,則m的值為( )A.2 B.-1 C.-2 D.0【解答】解:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l>+(y+2)2=5,則圓心坐標(biāo)為(1,-2),?.?直線2x+y+加=0過(guò)圓スユ+y2-2x+4y=0的圓心,.,.2-2+/n=0Ww=0.故選:D..若方程ペ+>2+瓜+或+尸=0表示以(2,T)為圓心,4為半徑的圓，則ド=.【解答】解:由圓的一般方程結(jié)合題中的條件可得一2=2,上=Y,丄〃>ユ+￡-4尸=4,2 2 2解得。=Y,E=8fF=4,故答案為4..方程ペ+ザ+/nr-2y+3=0表示圓,則加的范圍是( )A.(—〇〇,―\/2)|^(>/2,-Foo) B.(―〇〇?—2\/2)(2>/2,4<jo))c.(-oo,-G)U(G，e) D.(y,-26)U(2百,內(nèi))【解答】解：根據(jù)題意,方程Y+ブ+如ー2ソ+3=0,必有ガ+(-2)2-4x3>0,即オ>8,解可得：m>2①或m<_2近;故選:B.5.對(duì)于awR,直線(x+y-l)-a(x+l)=0恒過(guò)定點(diǎn)P,則以尸為圓心，石為半徑的圓的方程是( )

A.(x+l)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y-2)2=5C.x-l)2+(y+2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5【解答】解:對(duì)于直線(x+y-l)-a(x+l)=O,令x+l=O,求得x=-l,y=2,可得直線恒過(guò)定點(diǎn)P(-1,2),則以尸為圓心,お為半徑的圓的方程(x+l)2+(y-2)2=5,故選:B.考點(diǎn)2:直線與圓的位置關(guān)系1.圓的切線問(wèn)題.若直線x-y+l=O與圓(x-a)2+y2=2相切,則a等于( )A.1或-3 B.-1或ー3 C.1或3 D.-1或3【解答】解:根據(jù)題意，圓(x-a)ユ+ブ=2的圓心為(a,〇),半徑r=&,若直線イ-y+若直線イ-y+l=0與圓(x-a)2+y2=2相切,則圓心到直線的距離イ=端正解可得:a=l或ー3,故選：A..已知圓C：x2+y2=20.則過(guò)點(diǎn)P(2,4)的圓的切線方程是.【詳解】因?yàn)??+因=20,；.P(2,4)在圓C:ズ+屮=20上,OP的斜率為フ=2,.\P點(diǎn)處的圓的切線的斜率為ー萬(wàn),.?.切線方程為メー4=-5(ス一2),化簡(jiǎn)得:x+2y=10,故答案為:x+2y=\0.3.過(guò)點(diǎn)P(3,4)作圓ザ+ギ2=10的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為A,B,則線段A8=.【詳解】如圖所示,A8與0P相交于點(diǎn)ハ,由圓的方程ピ+y2=io可知圓心。(〇⑼,半徑?布,.?.\OA\=\OB\=y/\0,：PA，尸8分別為圓的兩條切線,AOALPA,OBVPB,\PA\=\PB\,OP為NAPB的平分線根據(jù)等腰三角形三線合一,可知|蝴=忸ハ1,P￡)丄AO,則三角形△PAO為直角三角形.???P(3,4),0(0,0),.,.13=5/32+42=5.在由，AOP中，根據(jù)勾股定理\ao\Vio,:在R?AOP中sinZAPO=局=—在Rt令PAD中sinNAPD=ad\\ad\--= 因?yàn)閟inZAPO=sinZ4PZ),\AP\イ15叵=啰?jiǎng)t岡=".?.|蜴=2|4)卜2遍故答案為:2瓜4.一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為(b.-ユ或ー2J-1或ーヌ【詳解】根據(jù)光的反射原理知,反射光線的反向延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)(-2,-3)關(guān)于メ軸的對(duì)稱點(diǎn)(2,-3),設(shè)反射光線所在直線的斜率為ん,則反射光線所在直線方程為y+3=&(x-2),即ほーy-2%-3=0,又由反射光線與圓(x+3y+(y-2又由反射光線與圓(x+3y+(y-2)2=l相切，可得\-3k-2-2k-3\yJk2+l整理得12公+25ん+12=0,解得ス=-ズ或た=-7■.故選:D..相交、弦長(zhǎng)問(wèn)題則圓C的半徑為( )1.若直線ハx(chóng)-y+4=0被圓C:(x-l)2+(y-3)2=則圓C的半徑為( )A.竝B.2A.竝B.2C.瓜D.6【解答】解:依題意可得圓心C(l,3),半徑r,則圓心到直線-ア+4=0的距離d 二手!=應(yīng),V2由勾股定理可知2+4=/,代入化簡(jiǎn)得r=#,則圓C的半徑為述.故選:C.2.已知直線ソ=ほー1與圓ビ+ブ+2>-3=0相交于A,B兩點(diǎn),貝”A8|=(

A.242后A.242后D.與ん的取值有關(guān)【解答】解:直線ど=はー1恒過(guò)(0,-1),圓ボ+ザ+2〉-3=0的圓心(0,-1),半徑為2,所以直線y=-1恒過(guò)圓ド+ブ+2丫ー3=0的圓心,直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=4.故選:B..直線1一6ギ+2=0被圓デ+y2=4截得的弦長(zhǎng)為.TOC\o"1-5"\h\zL |2|解:由題知:圓ド+ヅ=4的圓心為(0,0),r=2?故圓心到直線x—+2=0的距離為:d=-——=1,所以弦長(zhǎng)為:/=2プ彳=2百?故答案為:2月知AB是圓ピ+ゴー6x+2y=0內(nèi)過(guò)點(diǎn)E(2,l)的最短弦,貝リ|ん團(tuán)等于( )A.G B.2& C.2お D.2お【解答】解：圓づ+y2-6x+2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+l)2=10,則圓心坐標(biāo)為C(3,-l),半徑為：回,過(guò)E的最短弦為￡為。在弦上垂足，則CE=5-2)2+(l+I)2=逐,則|AB|=2而-5=2石，故選:D.考點(diǎn)3:圓與圓的位置關(guān)系1.公切線問(wèn)題.若圖G:ギ+ザ=1與圓G:ゼ+ザー6x-8y+m=0有三條公切線,則か=( )A.21 B.19 C.9 D.一11【解答】解:圓C］的方程:x24-y2=1?圓心半徑為1,圓6:ス2+ザー6スー8〉+ノ%=。,化為:(スー3y+(y-4)2=25ー根,圓心G(3,4),半徑為イ25ー根,兩圓的圓心距為5,?.,圓G：f+ザ=1與圓G:/+ザー6スー8〉+加=0有三條公切線,/.5=1+\/25ー加,「.帆=9,故選:C.2.已知兩圓C：f+y2=4,C2:(x-l)2+(y-2)2=r2(r>0),當(dāng)圓與圓Cユ有且僅有兩條公切線時(shí),則ア的取值范圍.【解答】解:若圓C1與圓G有且僅有兩條公切線時(shí),等價(jià)為兩圓相交,圓心￠(0,0),半徑t?=2,圓。2(1,2),半徑r,則|GGI=#+22=け，若兩圓相交,則滿足r-R<|CCI<R+r，即ー2(行<2+r,得お-2<r<石+2,故答案為:y/5-2<r<y[5+22.公共弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題1.圓ペ+ザー4スー分一2=0與圓ボ+ザ+2ス+8どー8=0的公共弦所在的直線方程為,公共弦長(zhǎng).【詳解】由デ+9+2犬+8yー8=0和づ+メー4メー4ぎー2=0作差得:6x+12y-6=0,整理得x+2y—l=0,即為公共弦所在的直線方程;圓V+ザー4スー分一2=0即為(スー2)2+(メー2)2=10,圓心為(2,2),半徑為ノi6,圓心到公共弦所在的直線的距離為：:——=V5,VI+4所以公共弦長(zhǎng)=2，10-5=26.故答案為:x+2y-l=0；2け.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C的方程為は-1)2+ブ=4,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-3).(1)求過(guò)點(diǎn)”且與圓。相切的直線方程.(2)已知圓。:ゼ+ザー4尤+2の+/=〇,若圓。與圓。的公共弦長(zhǎng)為イス,求圓。的方程.【詳解】(1)當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí)，顯然直線x=3與圓C相切,當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為:y+3=m(x—3),|—2m-31G 5圓心到直線的距離等于半徑ー/ ノ=2,解得6=ーー,切線方程為:5x+12y+21=0,y/l+m2 12綜上,過(guò)點(diǎn)M(3,-3)且與圓。相切的直線方程為:x=3或5x+12y+21=0.(2)圓C:(x-l)2+ザ=4與圓Q:X?+ザー4x+2ay+か=0,相減得圓。與圓。的公共弦所在直線方程八2ay—2x+/+3=0,圓。的圓心為(1,0),r=2,-2+a2+3 -設(shè)C到直線/的距離為d,：,d= ,又???圓C與圓。公共弦長(zhǎng)為ノほ,.?./+メー=產(chǎn),"(2a)+(-2) I2ノ即(グ+1)?7= 解得a=±l,.?.圓。的方程為づ+y2-4x+2y+l=0或x2+y2-4x-2y+l=0.4a2+42.過(guò)點(diǎn)作(3,2)圓(x-1)?+ザ=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB的方程為()A.2x+2y-3=0 B.x+2y-3=0C.2x+y-3=0 D.2x+2y+3=0【解答】解:圓(X-1)2+ザ=1的圓心為C(l,0),半徑為1,以(3,2)、C(l,0)為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y_1)2=2,將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程x+2y-3=0,故選:B.考點(diǎn)4：最值問(wèn)題1.尸為。C:バ+ザー2x-2y=o上一點(diǎn),。為直線ムx-y-4=0上一點(diǎn),則線段尸。長(zhǎng)度的最小值()A.a B.垣 C. D.2723 3【詳解】因?yàn)閳Aじ:ズ+ザー2スー2ソ=。,即=2,所以圓心C(l,l),半徑Z?=又因?yàn)镻Q長(zhǎng)度的最小值為圓心到直線的距離減去半徑,且圓心到直線距離d=リ 丨=2Jラ,VI2+12所以PQ1bl=イーr=20—0=イラ,故選:A.2.直線x+y+2=0分別與x軸，ド軸交于A3兩點(diǎn),點(diǎn)。在圓(x—2尸+ザ=2上,則ハ45尸面積的取值范圍是()A.[2,6]B.[4,8]C.[竝,3衣D.[272,372]【答案】A【詳解】圓心(2,0)到直線的距離d=邑フ」=2夜，所以點(diǎn)P【詳解】圓心(2,0)到直線的距離d=根據(jù)直線的方程可知んB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(—2,0),8(0,—2),所以|A財(cái)=20,所以△ABP的面積S=g|A8|4=04,所以S￠[2,6],故選:A.3.由直線y=x+l上的一點(diǎn)向圓デ+曠2-6ス+8=0引切線,則切線長(zhǎng)的最小值為()A." B.272 C.3試題分析:圓的圓心坐標(biāo)鳳?1,半徑試題分析:圓的圓心坐標(biāo)鳳?1,半徑f=ユ圓心到直線的距離誠(chéng)=口卄卿ー:1|、が=ヌは*:1[因此直線和圓相離,當(dāng)這個(gè)點(diǎn)到圓心距離最小時(shí),切線長(zhǎng)最小,最小值為槍國(guó)?ーづ=@.從點(diǎn)P(粧3)向圓(x-2p+y2=i引切線,則切線長(zhǎng)的最小值()A.25/6 B.5 C.726 D.2a【詳解】設(shè)切線長(zhǎng)為イ,則［2=(6一2)2+32-1=(6ー2)2+828,所以122丿5.故選:D.TOC\o"1-5"\h\z.圓0:(x+l)2+(y-3)2=l,圓C2：(x-5)2+(y-5)2=4,M,N分別是圓G,6上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),貝リ|PM|+|尸N|的最小值( )A.6 B.25/10 C.7 D.10解:設(shè)C?(5,5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，則G(5，-5),：lPM\+\PN\f^PCt\-l+\PC2\-2IC,C31-3=7(5+l)2+(-5-3)2-3=10-3=7,故選:C..點(diǎn)P在圓O:x2+y2=l上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q在圓C:(x—3)2+y2=l上運(yùn)動(dòng),貝iJ|PQ|的最小值為 .解:?.?圓x2+y2=l的圓心坐標(biāo)0(0,0),半徑r=l,圓C:(x―3)2+y2=1的圓心坐標(biāo)C(3,0),半徑Z?=1,?.?d=OC|=3>l+l=R+r,ユ兩圓的位置關(guān)系是外離,又P在圓。上,。在圓C上,貝リ|PQ|的最小值為ム(/?+り=3-(1+1)=1.故答案為：1.7.已知線段A8是圓。:ゼ+ザ=4的一條動(dòng)弦,且|ム河=2月,若點(diǎn)P為直線x+y-4=0上的任意一點(diǎn),則|中+而|的最小值為()

A-2>/2-lC.40-2A-2>/2-lC.40-2D-45/2+2【詳解】取A3中點(diǎn)為M,連接PM，OM,因?yàn)锳3是圓。:ゼ+ギ2=4的一條動(dòng)弦,且|A卻=26,所以-（四=1,又|中+而|=2］冋可,\PM\+\OM\>\OP\,^l\PM\>\OP\-\因此,I麗+麗!取最小值,即是|卩0|取最小值,所以只需104取最小,又點(diǎn)Z3為直線x+y-4=0上的任意一點(diǎn),所以點(diǎn)〇到直線x+y―4=0的距離,即是10pL」即1°尸し=フ舁テ=26因此T0Pし-1=2a_1,即回+而L=2|麗I=4血ー2.選C.minVr+1-8.已知圓C:は-百）2+（y-3）2=3和直線ハJJx-y-4=0,點(diǎn)P是直線/上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線PAPB,切點(diǎn)是A,B,則/AP3的最大值是（）A.60° B.90° C.120° D.150°【詳解】如圖，由幾何知識(shí)可知，ZAPC=ZBPC.所以當(dāng)/APC最大時(shí),NAPB也最大.13-3-41當(dāng)。5丄/時(shí),。到直線/上的點(diǎn)的距離最小為イ=ム,=2,此時(shí)sinNAPC=X2V3+1 2所以/APC取得最大值為60,從而/AP3的最大值是120。.故選:C9.已知圓C：（x+lp+（y—1）2=1,p是直線x-y—1=0的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)為ん,B,則|pQ|ab|的最小值為（）A.aI【詳解】圓C：@+げ+(ぎ-1)2=1的圓心為半徑Z"=1,設(shè)四邊形尸4CE的面積為S,由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得,|尸。卜償卻=25=2-25“に=4ラ|/訓(xùn)イん。,???|AC=r=l,??.|PC|-|AB|=21PAi=2yl\PCf-r2=2yj\PCf,圓心 到直線x-y—1=。的距離為イ=手,，|PC|的最小值為孚,則用的最小值為2J述)一1=ノほ,故選:A10.已知。。:ゼ+ザー2ス一2ア一2=0,直線/:x+2y+2=0,"為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作〇。的切線MA,MB,切點(diǎn)為A3,當(dāng)四邊形M4c5的面積取最小值時(shí),直線A3的方