歷年考研數(shù)學(xué)一真題及標(biāo)準(zhǔn)答案(-)

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3歷年考研數(shù)學(xué)一真題1987-2014

（經(jīng)典珍藏版）

1987年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)

(1)當(dāng)x=_____________時(shí),函數(shù)2xyx=?取得極小值.(2)由曲線(xiàn)lnyx=與兩直線(xiàn)e1yx=+-及0y=所圍成的平面圖形的面積是_____________.

1x=

(3)與兩直線(xiàn)1yt=-+

2zt=+

及

121

111

xyz+++==都平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程為

_____________.

(4)設(shè)

L

為取正向的圓周229,xy+=則曲線(xiàn)積分

2

(22)(4)L

xyydxxxdy-+-?

?=_____________.(5)已知三維向量空間的基底為

123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα則向量(2,0,0)=β在此基底下

的坐標(biāo)是_____________.

二、(本題滿(mǎn)分8分)

求正的常數(shù)a與,b使等式220

01lim1sinxxtdtbxxat

→=-+?成立.

三、(本題滿(mǎn)分7分)

(1)設(shè)f、g為連續(xù)可微函數(shù),(,),(),ufxxyvgxxy=

=+求

,.uvxx

????(2)設(shè)矩陣

A

和

B

滿(mǎn)足關(guān)系式

2,

+AB=AB其中

4301110,014??

??=??????

A求矩陣.

B

四、(本題滿(mǎn)分8分)

求微分方程26(9)1yyay''''''+++=的通解,其中常數(shù)0.a>

五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿(mǎn)分12分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)2

()()

lim

1,()

xa

fxfaxa→-=--則在xa=處(A)()fx的導(dǎo)數(shù)存在,且()0fa'≠(B)()fx取得極大值

(C)()fx取得極小值(D)()fx的導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)

()

fx為已知連續(xù)函數(shù)

,(),

stItftxdx=?其中0,0,ts>>則I的值

(A)依賴(lài)于s和t(B)依賴(lài)于

s、t和x

(C)依賴(lài)于t、x,不依賴(lài)于s(D)依賴(lài)于s,不依賴(lài)于t

(3)設(shè)常數(shù)0,k>則級(jí)數(shù)21(1)nnknn

∞

=+-∑

(A)發(fā)散(B)絕對(duì)收斂

(C)條件收斂(D)散斂性與k的取值有關(guān)

(4)設(shè)A為n階方陣，且A的行列式||0,a=≠A而*

A是A的

伴隨矩陣，則*||A等于

(A)a(B)1a

(C)1

na-(D)n

a

5六、（本題滿(mǎn)分10分）求冪級(jí)數(shù)1112nn

nx

n∞

-=∑

g的收斂域，并求其和函數(shù).

七、（本題滿(mǎn)分10分）求曲面積分

2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy∑

=++--??

其中∑是由曲線(xiàn)113

()0zyyfxx?=-≤≤?=?=??

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與y軸正向的夾角恒大于.2π

八、（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)

()fx在閉區(qū)間[0,1]上可微,對(duì)于[0,1]上的每一個(gè),x函數(shù)()fx的值都在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi),且()fx'≠1,證明在(0,1)內(nèi)有且僅有一

個(gè),x使得().fxx=

九、（本題滿(mǎn)分8分）問(wèn),ab為何值時(shí),現(xiàn)線(xiàn)性方程組

123423423412340221(3)2321

xxxxxxxxaxxbxxxax+++=++=-+--=+++=-

有唯一解,無(wú)解,有無(wú)窮多解?并求出有無(wú)窮多解時(shí)的通解.

6

十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)

(1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為,p現(xiàn)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),則A至少發(fā)生一次的概率為_(kāi)___________;而事件A至多發(fā)生一次的概率為_(kāi)___________.

(2)有兩個(gè)箱子,第1個(gè)箱子有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,第2個(gè)箱子有4個(gè)白球,4個(gè)紅球.現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里,再?gòu)牡?個(gè)箱子中取出1個(gè)球,此球是白球的概率為_(kāi)___________.已知上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球,則從第一個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為_(kāi)___________.(3)已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為2

21

1

()e,x

xfxπ

-+-=則X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)___________,X的方差為_(kāi)___________.

十一、（本題滿(mǎn)分6分）

設(shè)隨機(jī)變量,XY相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為

()Xfx=10

01

x≤≤其它

,()Yfy=e0

y

-00

yy>≤,求2ZXY=+的概率密度函數(shù).

7

81988年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、(本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分)

(1)求冪級(jí)數(shù)1

(3)3n

n

nxn∞

=-∑的收斂域.(2)設(shè)2

()e,[()]1xfxfxx?==-且()0x?≥,求()x?及其定義域.

(3)設(shè)∑為曲面2221xyz++=的外側(cè),計(jì)算曲面積分

333

.Ixdydzydzdxzdxdy∑

=++??ò

二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿(mǎn)分12分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)

(1)若21()lim(1),txxfttx

→∞

=+則()ft'=_____________.

(2)設(shè)

()

fx連續(xù)且

31

(),

xftdtx-=?

則(7)f=_____________.

(3)設(shè)周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間(1,1]-上定義為

()fx=

2

2x

10

01

xx-=則函數(shù)()fx在點(diǎn)0x處

(A)取得極大值(B)取得極小值

(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(3)

設(shè)

空

間

區(qū)

域

2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyzΩ++≤≥Ω++≤≥≥≥則(A)1

2

4xdvdvΩΩ=??????

(B)1

2

4ydvydvΩΩ=??????

(C)1

2

4zdvzdvΩΩ=??????

(D)1

24xyzdvxyzdvΩΩ=??????

(4)設(shè)冪級(jí)數(shù)1

(1)nnnax∞

=-∑在1x=-處收斂,則此級(jí)數(shù)在

2x=處

(A)條件收斂(B)絕對(duì)收

斂

(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定

(5)n維向量組12,,,(3)ssn≤≤αααL線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是

(A)存在一組不全為零的數(shù)12,,,,skkkL使

11220sskkk+++≠αααL

(B)12,,,sαααL中任意兩個(gè)向量均線(xiàn)性無(wú)關(guān)

(C)12,,,sαααL中存在一個(gè)向量不能用其余向量線(xiàn)性表示

(D)12,,,sαααL中存在一個(gè)向量都不能用其余向量線(xiàn)性表示

10四、(本題滿(mǎn)分6分)

設(shè)()(),xyuyfxgy

x

=+其中函數(shù)f、g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),

求222.uu

xyxxy

??+???

五、(本題滿(mǎn)分8分)

設(shè)函數(shù)()yyx=滿(mǎn)足微分方程322e,xyyy'''-+=其圖形在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)21yxx=--在該點(diǎn)處的切線(xiàn)重合,求函數(shù)().yyx=

六、（本題滿(mǎn)分9分）

設(shè)位于點(diǎn)(0,1)的質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為

2

(0k

kr>為常數(shù),r為A質(zhì)點(diǎn)與M之間的距離),質(zhì)點(diǎn)M沿直線(xiàn)

2

2yxx=-自(2,0)B運(yùn)動(dòng)到(0,0),O求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)

A

對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力所作的功.

七、（本題滿(mǎn)分6分）

已知,=APBP其中100100000,210,001211????

????==-????

????-????

BP求5,.AA

八、（本題滿(mǎn)分8分）

已知矩陣20000101x????=??????A與20000001y??

??=??

??-??

B相似.(1)求x