隨機信號分析：第三章 隨機過程的功率譜密度

第二章:隨機信號的時域分析第三章:隨機信號的頻域分析用傅里葉變換分析信號在時域和頻域的狀況時域卷積頻域乘法

引言：第三章隨機過程的功率譜密度

主要內(nèi)容：隨機過程的功率譜密度函數(shù)及性質(zhì)維納辛欽定理功率譜密度函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)時間和等效功率譜帶寬兩個平穩(wěn)隨機過程的互功率譜密度互功率譜密度函數(shù)互相關(guān)函數(shù)白噪聲3.1.1確知信號的頻譜和能量譜密度確知信號的傅立葉變換存在的條件

（1）在滿足狄氏條件。

（2）絕對可積，即滿足?！?.1功率譜密度函數(shù)信號能量：信號功率：

信號的傅立葉變換對：

（正變換）頻域表示

（反變換）時域表示

根據(jù)帕塞瓦爾定理：時域和頻域的能量守恒

——能量譜密度，其物理意義：表示能量沿頻率軸的分布狀況，其總和是總能量。3.1.2隨機信號的功率譜密度

隨機信號的總能量無限，不滿足絕對可積條件，因此傅立葉變換不存在。隨機信號的平均功率是有限的，研究功率譜。圖3-1樣本函數(shù)1、隨機信號的平均功率和功率譜密度樣本函數(shù)任截取一段，截斷函數(shù)定義為：圖

及截斷函數(shù)

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0截短函數(shù)滿足傅立葉變換條件，有：由帕塞瓦爾定理得

兩邊除2T（時間平均）：樣本函數(shù)在時間區(qū)間（－T，T）內(nèi)消耗在單位電阻上的平均功率。時間取極限，得到樣本函數(shù)的平均功率：擴展到所有的樣本取統(tǒng)計平均，得到隨機過程的平均功率

其中，表示隨機過程的截取部分的頻譜。若設(shè)

則有

稱為隨機過程的功率譜密度，或功率譜，其物理意義：表示平均功率沿頻率軸分布的情況，其總和是總的平均功率。2、平穩(wěn)隨機過程的平均功率=該過程的均方值

平穩(wěn)過程的均方值為常數(shù)，即，

因此有§3.2平穩(wěn)隨機過程功率譜密度性質(zhì)

對于平穩(wěn)隨機過程：1.功率譜密度為非負函數(shù)，即證明:根據(jù)功率譜密度定義：

功率譜密度函數(shù)為的實函數(shù)，即

證明：由定義式3.功率譜密度函數(shù)為的偶函數(shù),即

證明：由定義式

雙邊譜密度與單邊譜注：單邊譜密度也稱物理功率譜密度，但在本書中的功率譜密度，若不加說明，皆指“雙邊譜”密度。4.功率譜密度是可積函數(shù),即證明:對于平穩(wěn)隨機過程有§3.3功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)

時域上描述隨機過程統(tǒng)計特性的最重要的數(shù)字特征。功率譜密度頻域上描述隨機過程統(tǒng)計特性的最重要的數(shù)字特征。維納-辛欽定理給出了平穩(wěn)過程的時域特性和頻域特性之間的聯(lián)系。1、維納—辛欽定理：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是傅里葉變換對，即又由于平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)，有證明：由功率譜密度的定義式，變更積分次序，進行積分變量代換：根據(jù)傅里葉變換的唯一性，必有：因此對于任意隨機過程，自相關(guān)函數(shù)的時間平均與其功率譜密度是一對傅里葉變換。對平穩(wěn)隨機過程，有因此有（注意要滿足絕對可積的條件）證畢。例3-1平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為求該隨機過程的功率譜密度函數(shù)。解：由維納－辛欽定理，有例3-2已知平穩(wěn)隨機過程的功率譜為求該過程的自相關(guān)函數(shù)。解：首先進行分解利用公式則自相關(guān)函數(shù)為2、維納-辛欽定理的推廣維納-辛欽定理是在隨機過程滿足絕對可積的條件下推出的，即隨機過程不含有直流成分或周期性成分。實際中很多信號都含有直流成分或周期成分，絕對可積的條件限制了定理的應(yīng)用。借助函數(shù)，則維納-辛欽定理可推廣到含直流或周期成分的平穩(wěn)過程，就可以不受絕對可積的限制。

函數(shù)的時域和頻域的傅里葉變換：周期函數(shù)的傅里葉變換：例利用－函數(shù)，含有周期分量的平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度可表示為：例利用－函數(shù)，含有直流分量的平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度可表示為：例若功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)為函數(shù)。圖3-9常數(shù)功率譜函數(shù)圖3-10自相關(guān)函數(shù)幾種常見的與

§3.4平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)時間和等效功率譜帶寬自相關(guān)函數(shù)反映隨機過程在不同時刻的關(guān)聯(lián)程度。

自相關(guān)時間：定量的描述隨機過程自相關(guān)性的強弱。功率譜密度函數(shù)描述隨機過程的平均功率沿頻率軸的分布。

等效功率譜帶寬：定量的描述隨機過程占頻帶的寬窄。

(a)(b)圖

和的樣本函數(shù)曲線兩個隨機過程具有相同的數(shù)學(xué)期望和均方值，

即平均功率相同，有。

二者的起伏頻繁程度不同，反映出來就是自相關(guān)性不同，如下圖的自相關(guān)曲線。

1、

自相關(guān)時間(b)(a)圖自相關(guān)曲線隨著的增加，相關(guān)性下降；相同的值，有

自相關(guān)時間定義：

信號頻帶寬度用于描述它所占據(jù)的有效頻率范圍，帶寬有多種度量方法，對應(yīng)著不同的含義。例如：絕對帶寬，3dB帶寬，等效功率譜帶寬（簡稱等效帶寬）等等。

等效功率譜帶寬根據(jù)矩形等效原理來定義。2、

等效功率譜帶寬(a)(b)圖

功率譜兩個具有相同平均功率的隨機過程，有(a)(b)圖

和的樣本函數(shù)曲線圖

等效功率帶寬等效功率帶寬定義：

通常，說明了中起伏的最高頻率。3、相關(guān)時間和等效帶寬的乘積隨機信號的相關(guān)時間和等效帶寬乘積：含直流和交流部分的隨機信號利用它的交流部分計算相關(guān)時間和等效帶寬。常數(shù)例

設(shè)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為求該隨機過程的自相關(guān)時間和等效功率譜帶寬。解：例

已知平穩(wěn)過程的譜密度為求的自相關(guān)函數(shù)，自相關(guān)時間和等效帶寬。解：由自相關(guān)函數(shù)與功率譜關(guān)系有§3.4聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互功率譜密度單個隨機過程：

自相關(guān)函數(shù)功率譜密度兩個隨機過程：

互相關(guān)函數(shù)互功率譜密度1、

互功率譜密度（互功率譜）隨機過程的樣本函數(shù)不滿足傅立葉變換存在的絕對可積條件。采取截斷函數(shù)規(guī)范化隨機信號，使之滿足傅立葉變換存在的條件。

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)其它區(qū)間為0圖樣本函數(shù)及截斷函數(shù)

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)其它區(qū)間為0（1）

截斷函數(shù)和滿足傅立葉變換的絕對可積和能量有限條件，即傅立葉變換分別為（2）根據(jù)帕賽瓦爾定理因此和互功率可表示為（3）將樣本函數(shù)的互功率推廣到隨機過程的互功率，并將時間范圍擴展至無窮。

（4）定義互功率譜密度

類似的，

因此有

互功率譜密度的物理意義：互功率譜反映了兩個信號的關(guān)聯(lián)性沿軸的分布狀況。若很大，表明兩個信號的相應(yīng)頻率分量關(guān)聯(lián)度很高；若，表明它們的相應(yīng)頻率分量是正交的。

2、互功率譜與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系兩個隨機過程和的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜之間滿足其中若隨機過程和是聯(lián)合平穩(wěn)，有因此，互相關(guān)函數(shù)和互功率譜為一傅立葉變換對：4、互功率譜的性質(zhì)（1）（2）

4、互功率譜的性質(zhì)（3）若隨機過程和正交，則（4）若隨機過程和不相關(guān)，且均值為常數(shù)，則§3.5白噪聲和色噪聲按功率譜密度函數(shù)的形狀，可分為白噪聲和色噪聲，其中白噪聲最為重要。白噪聲可分為理想白噪聲和帶限白噪聲。(a)(b)圖色噪聲(a)和白噪聲(b)(a)(b)圖理想白噪聲(a)和帶限白噪聲(b)1、理想白噪聲定義：若為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度在整個頻率軸上是非零常數(shù)，即其中為一正實數(shù)，則稱為白噪聲。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)時間：

表明白噪聲在任何兩個相鄰時刻的取值都是不相關(guān)的。等效帶寬：平均功率：白噪聲的特點白噪聲是理想化的數(shù)學(xué)模型，在物理上不存在的。

首先，實際過程的平均功率是有限的；其次，現(xiàn)實中的信號都具有一定的慣性，在短時間內(nèi)的狀態(tài)總存在一定的相關(guān)性，即自相關(guān)函數(shù)不可能是函數(shù)。數(shù)學(xué)上有很好的運算性質(zhì)功率譜密度是“常數(shù)”，自相關(guān)函數(shù)是“沖激函數(shù)”。工程中，只要隨機信號的功率譜密度在一個比系統(tǒng)有用頻帶寬得多的頻率范圍內(nèi)近似均勻分布，則可視為白噪聲。2、帶限白噪聲定義：若為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機過程，它在某個有限頻帶范圍內(nèi)具有非零常數(shù)功率譜，而在此范圍外為零，則稱隨機過程為帶限白噪聲。低通型帶限白噪聲（白噪聲通過理想低通濾波器）帶通型帶限白噪聲（白噪聲通過理想帶通濾波器）圖帶限白噪聲