高考數(shù)學導學練系列 圓錐曲線教案 蘇教版

--PAGE20-/20圓錐曲線與方程考綱導讀考綱導讀把握橢圓的定義、標準方程、簡潔的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程．把握雙曲線的定義、標準方程、簡潔的幾何性質(zhì)．把握拋物線的定義、標準方程、簡潔的幾何性質(zhì)．了解圓錐曲線的初步應用．學問網(wǎng)絡學問網(wǎng)絡橢圓橢圓定義標準方程幾何性質(zhì)高考導航a、b、c三者錐本上是兩個客觀題，一個主觀題，分值212，占15且主要體現(xiàn)出以下幾統(tǒng)雙曲線雙曲線定義個特點：線1．圓錐曲線的基本問題，主要考查以下內(nèi)容：肯定義其次定義①圓錐曲線的兩種定義、標準方程及、、p五個參數(shù)的求解．拋物線拋物線定義標準方程幾何性質(zhì)②圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應用．圓錐曲線的位置關系質(zhì)和直線的基本學問以及線段中點、弦長等，分析這類問題時，往往要利用數(shù)形結合思想和“設而不求”的方法、對稱的方法及韋達定理，多以解答題的形式消滅．第1課時 橢圓基礎過關基礎過關橢圓的兩種定義(1)平面內(nèi)與兩定點F12的距離的和等于常大的點的軌跡叫橢圓這兩個定點叫做圓的 ， 之間的距離叫做焦距．F時，P12F時，P12．(2)橢圓的其次定義：到的距離與到的距離之比是常數(shù)，且的點的軌跡叫橢圓．定點F是橢圓的，定直線l是，常數(shù)e是 ．橢圓的標準方程焦點在軸上，中心在原點的橢圓標準方程是，其( > >，且 )焦點在軸上，中心在原點的橢圓標準方程是，其中滿足： ．（3）焦點在哪個軸上如何推斷？3．橢圓的幾何性對,a>b>0進行爭)(1)范圍： ≤x≤ ， ≤y對稱性：對稱軸方程為 ；對稱中心為 ．頂點坐標： 焦點坐標： 長半軸長： 短半軸長： 準線方程： ．離心率： ( 與 的)， ，越接近1，橢圓越 ；越接近橢圓越接近于 ．焦半徑公式設分別為橢圓的左右焦點是橢圓上一點則 = 4．焦點三角形應留意以下關系（老師補充畫出圖形：＋r＝2a1 22rrco()212ry|(其中P(|＝r，|PF|＝r，∠FPF＝)12 0 1 1 2 2 1 2典型例題2：已知,y）是橢圓F是焦點，求證：以PF典型例題0 0 1 2 2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.證明設以PF2

為直徑的圓心為A，半徑為r.∵FF|PF|+|PF|=2r1 2 1 2 2∴|PF|PF連結1|OA|=故以PF2

1為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切.評注運用橢圓的定義結合三角形中位線定理，使題目得證。例3.如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點與拋物線的焦點重合，過的直線與橢圓交于兩點，與拋物線交于D兩點．當直線與x求橢圓的方程；求過點O求的最大值和最小值．）解方程組得（-，2（-2．由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，∴． 2分∴又，故橢圓的方程為． 4分（，圓過點O圓心M在直線上．設則圓半徑，由于圓與橢圓的左準線相切，∴由得解得所求圓的方程為… 8分（3）由①若垂直于軸，則，，…………9②若與軸不垂直，設直線的斜率為，則直線的方程由 得，方程有兩個不等的實數(shù)根．設，., 11=，所以當直線垂于軸時，取得最大值當直線與軸重合時，取得最小值3：在平面直角坐標系xOy中，已知點0)、0),動點C滿足條件：△ABC2＋22.記動點C的軌跡為曲線(1)求W的方程；(2)經(jīng)過點2）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個不同的交點P和求k的取值范圍；（）已知點（2，0，（0,，在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)假如存在，求出k解：(Ⅰ)設C（x,y）,∵,,∴,∴由定義知，動點C的軌跡是以B22的橢圓除去與x∴.∴.∴.…設直線l的方程為，代入橢圓方程，整理，得. ①由于直線l與橢圓有兩個不同的交點PQ等價于，解得或.∴滿足條件的k的取值范圍為（3）設,y,y),則＝（x+x，y+y),1 1 2 2 1 2 1 2由①得. ②又 ③所以.………所以與共線等價于.將②③代入上式，解得.所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線.4.已知橢圓W6.橢圓WW交于不同的兩點（1）求橢圓W的方程；（2）求證：()；（3）求面積的最大值.）設橢圓W，所以橢圓W的方程為．… 4分（2）解法1：由于左準線方程為，所以點坐標為.于是可設直線的方程為．得.由直線與橢圓W交于、兩點，可知，解得．．又由于，所以． 10分解法2由橢圓的其次定義可得,所以，三點共線，即．… 10分由題意知，當且僅當時“=”成立，3所以面積的最大值為2．變式訓練4：設、分別是橢圓的左、右焦點.若P是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點、D|FC|=|FD|？若存2 2在，求直線l）易知設，，則，，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；當，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4（2）假設存在滿足條件的直線l易知點在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為l的方程為由方程組依題意當時，設交點C，CD的中點為R，則又|FC|=|FD|2 2∴20k2=20k2－420k2=20k2－4|FC|=|FD|2 2綜上所述，不存在直線|FC|=|FD|小結歸納2 2小結歸納1．在解題中要充分利用橢圓的兩種定義，機敏處理焦半徑，生疏和把握、e關系及幾何意義，能夠削減運算量，提高解題速度，達到事半功倍之效．2．定焦點位置；定量——由條件求止遺漏．3．解與橢圓的焦半徑、焦點弦有關的問題時，一般要從橢圓的定義入手考慮；橢圓的焦半徑的取值范圍是．4．“設而不求”，“點差法”等方法，是簡化解題過程的常用技巧，要認真領悟．5．解析幾何與代數(shù)向量的結合，是近年來高考的熱點，應引起重視．第2課時 雙曲線基礎過關基礎過關典型例題例2雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m.選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程（精確到1m）.8—17，建立直角坐標系A圓的直徑x上、下口的直徑x軸，且=13×2(m)，=25×2(m).設雙曲線的方程為（>0>）令點C的坐標為1，，則點B的坐標為255.由于點C在雙曲線上，所以解方程組由方2得（負值舍去代入方（得化簡得12+2718150=0 3）解方程（3）得b≈25(m).所以所求雙曲線方程為：例3.中，固定底邊BC，讓頂點A移動，已知，且，求頂點A的軌跡方程．解：取BC的中點OBC所在直線為x軸，建立直角坐標系，由于，所以B(A的軌跡是、C421，0變式訓練3：已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準線的距離為l.求雙曲線的方程；直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點P為雙曲線上異于、N的一點，且的斜率均存在，求k·kPM PN（1）解：依題意有：可得雙曲線方程為（2）解：設所以4.設雙曲線C：的左、右頂點分別為、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C兩點P、Q。若直線mx軸正半軸的交點為T，且，求點T求直線A1PA2Q的交點ME過點作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點AB，設，若為中的點）的取值范圍。）則由 ①又在雙曲線上，則 ②聯(lián)立①、②，解得由題意，∴點T的坐標為3分設直線AP與直線AQ的交點M1 2APM1…………③ 1由A、Q、M三點共線，得2…………④ 1聯(lián)立③、④，解得 1分∵在雙曲線上，∴∴軌跡E的方程為 1分簡潔驗證直線l0故可設直線l的方程為中，得設則由根與系數(shù)的關系，得……⑤……⑥ 2∵∴有將⑤式平方除以⑥式，得…………1分由…………1分∵又故令∴，即∴而，∴∴：)已知中心在原點，左、右頂點AAx軸上，離心率為的雙曲線C經(jīng)過點P1 2（6,，動直線l經(jīng)過△APA1 2求雙曲線C

的重心G與雙曲線C交于不同兩點M、N，Q為線段MN的中點.當直線l本小題考查雙曲線標準議程中各量之間關系，以及直線與雙曲線的位置關系。解（1）設雙曲線C的方程為又P（6,6）在雙曲線C上， ②由①、②解得①所以雙曲線C的方程為。（2）由雙曲線C所以△APA的重點G（2,2）1 2設直線l的方程為代入C③整理得解得 ④由③，可得解得 ⑤由④、⑤，得5．數(shù)來確定，又可以把直線與雙曲線的漸近線進行比較，從“形”的角度來推斷．第3課時 拋物線基礎過關基礎過關拋物線定義：平面內(nèi)到 和 距離 的點的軌跡叫拋物線，叫拋物線的焦點， 叫做拋物線的準留意定點在定直線外，否則，軌跡將退化為條直)．拋物線的標準方程和焦點坐標及準線方程①，焦點為，準線為．②，焦點為，準線為．③，焦點為，準線為．④，焦點為，準線為．拋物線的幾何性質(zhì)：對進行爭辯．①點的范圍： 、 ．②對稱性：拋物線關于 軸對稱．③離心率 ．④焦半徑公式：設F是拋物線的焦點，是拋物線上一點，則 ．⑤焦點弦長公式：設AB是過拋物線焦點的一條焦點i)若，則＝ ， ．AB＝．特殊地，當時為拋物線的通徑，且＝ ．△OB

（表示成P與θ的關系式．典型例題為定值，且等于 ．典型例題1.已知拋物線頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離為5，方程和n的值．解：設拋物線方程為，則焦點是F|AF故解得P＝4，故所求拋物線方程為變式訓練1：求頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程．解：由于對稱軸是軸，可設拋物線方程為或∵，∴p＝12故拋物線方程為或2.已知拋物線C：的焦點為F，過點FlCAB．若，求直線l的方程．解：(1)解法一：代入整理得，設則是上述關于的方程的兩個不同實根，所以依據(jù)拋物線的定義知：|AB|＝＝若，則即直線有兩條，其方程分別為：|AB|＝(θABsinθ＝±，即直線AB的斜率k＝tanθ＝±，故所求直線方程為：或.(2)由(1)知，當且僅當時，|AB|有最小值4．解法二：由(1)知|AB|＝＝∴|AB|＝4(此時sinθ＝1，θ＝90°)min變式訓練：過拋物線4x的焦點作一條直線與拋物線相交于B兩點，它們的橫坐標和等于5，則這樣的直線 （）A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有很多條解：B

D．不存在例3.若A(3，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上任意一點，求的最小值及取得最小值時的P的坐標．解：拋物線的準線方程為過P作PQ垂直于準線于Q點，由拋物線定義得|PQ|＝|PF|，∴|PF|＋|PA|＝|PA|＋|PQ|要使|PAPQ最小，A、、Q三點必共線，即AQ與拋物線的交點為P點從而|PA|＋|PF|的最小值為此時P的坐標為(2，2)1.（2008·遼寧理，10）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 .答案變式訓練：一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是，在杯內(nèi)放入一個玻璃球要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是 。解：例4.設AxyB(x，y)，兩點在拋物線2上，l是AB的垂直平分線．1 1 2 2當且僅當x＋x取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結論？1 2當直線l2時，求在y軸上的截距的取值范圍．解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B∵拋物線的準線是x≥0，y≥0，依題意y，y0．∴上述條件等價1 2 1 2于y＝y(tǒng)(x＋x)(x－x)＝01 2 1 2 1 2∵x≠x∴x＋x＝01 2 1 2即當且僅當x＋x＝0過拋物線的焦點F．1 2(2)設l在y軸上的截距為，依題意得l的方程為，過點By＝－x＋m所以x、x＋－＝01 2x＋x＝－，由于A、B1 2ABN(x，yx＝0 0 0y＝－x0 0N∈lly變式訓練：正方形ABCD中，一條邊AB在直線＋4上，另外兩頂點CD在拋物線上，求正方形的面積．設Dy，yy，y)(y>y)，則直線CD的斜率為．1 1 2 2 1 2∴＝＝1，即y＋y＝1 ①1 2又|CD|＝＝＝(y－y)1 2|BC＝(y2－y＋41 1由|CDBC|y－y)＝②1 2y＝2y＝31 1y＝2|BC，此時S＝181 ABCDy＝3|BC，此時S＝5011850．

ABCD小結歸納小結歸納1．求拋物線方程要留意頂點位置和開口方向，以便精確 設出方程，然后用待定系數(shù)法．2．3．涉及拋物線的弦的中點和弦長等問題要留意利用韋達定理，能避開求交點坐標的簡單運算．4、解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，應留意焦點弦的幾何性質(zhì)．基礎過關第4課時 直線與圓錐曲線的位置關系基礎過關的解的個數(shù)來打算，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為△，△>0時，有兩個公共點，△＝0時，有一個公共點，△<0時，應留意數(shù)形結合（與對稱軸平行的直線）ABA(x，y),直線AB的斜率為則或： ．2 ———————— —————————

1 1 2利用這個公式求弦長時，要留意結合韋達定理．3．中點弦問題：A(x，y)，B(x，y)是橢圓上不同的兩點，且x≠x，x＋x≠0，M(x，yAB1 1 2 2 1 2 1 2 0 0則兩式相減可得即 對于雙曲線、拋物線，可得類似的結論．典型例題例1.直線＝a1與雙曲線221相交于、B兩點．典型例題aBa、B的兩支上？a為何值時，以AB解：(1)聯(lián)立()－2a－2＝0①明顯≠3，若交點ABa∈(－，－)∪(，)若A、B分別在雙曲線的兩支上，則有：a∈(－，)(2)若以ABO，則OA⊥OB，設A(x，y)，B(x，y)由于x＋x＝，xx＝．1 1 2 2∴yy＝(ax＋1)ax＋1x＋x＋2xx1

1 2 1212 1 2 1 2 12＝2··＋＝1∵OA⊥OBx＋yy＝012 12此時△＞0，符合要求．1)－＝ax得①若＝0，即②若≠0，即1＋，解得此時直線與曲線相切，恰有一個公共點，綜上所述知，當a＝0，－1，－時，直線與曲線只有一個公共點．例2.已知雙曲線方程2－2.求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在直線方程；過點B(1,1)能否作直線，使l與所給雙曲線交于Q1Q2兩點，且點B是弦Q1Q2這樣的直線l假如存在，求出它的方程；假如不存在，說明理由．解：(1由、在雙曲線上，則有關系．兩式相減是：∴∴所求中點弦所在直線為，即．(2)可假定直線存在，而求出的方程為，即方法同(1)，聯(lián)立方程，消去y,得然而方程的判別式，無實根，因此直線與雙曲線無交點，這一沖突說明白滿足條件的直線不存在．變式訓練2：若橢圓的弦被點（4，2）平分，則此弦所在直線的斜率為（）A．2 C． 解：D例3.在拋物線24x上恒有兩點關于直線＝k＋3對稱，求k解法一：設、關于直線對稱，直線方程為，代入得∵點在直線上，∴∴，代入，得，即解得解法二：設，關于對稱，中點，則相減得：∴，則∵在拋物線內(nèi)部，∴3：設拋物線的焦點為F，經(jīng)過點的直線l與拋物線相交于B知點P恰為AB的中點，則 .解：84.已知橢圓為常數(shù)，且＝(1,)(t>0)，過點,向量的直線與橢圓交于點B，直線BO交橢圓于點O為坐標原點．t表示△ABCS(t)；yBAOC(2)∈[,1]，求S(t解：(1)直線AByBAOC由得∴或x∴點B的縱坐標為∴S(t)＝S

＝2S

＝|OA|·y△ABC＝

△AOB B(2)當a＝2時，S(t)＝＝∵t∈[，1]，∴4t＋≥2＝4當且僅當4t＝，t＝時，上式等號成立.∴S(t)＝≤＝2即S(t)的最大值S(t)＝2max4：設橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A作垂直于AF的直線交橢圓C外一點P，交x軸正半軸于點Q，且求橢圓C若過、、F相切，求橢圓C的方. y解：⑴設（x，0，由（-c0） A0A（0，b）知 P…2分設，得……由于點P在橢圓上，所以……

F O Q x1整理得2b2=，即2（－c2=3，,故橢圓的離心率＝……2⑵由⑴知，1于是（－，，2a 1 a△AQF

，0，半徑r=2

………所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為小結歸納項的系數(shù)有參數(shù)，則需考慮二次項系數(shù)為零的狀況．滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率的關系，它能簡化計算；二是利用韋達定理及中點坐標公式．對于存在性問題，還需用判別式進一步檢驗．對稱問題，要留意兩點：垂直和中點．圓錐曲線單元測試題一、選擇題中心在原點，準線方程為離心率為的橢圓方程是 （）A． B．C． D．AB是拋物線＝2x的一條焦點弦|AB4，則AB中點C的橫坐標是 （ ）A．2 B．C． D．若雙曲線的一條準線與拋物線＝x的準線重合，則雙曲線的離心率為（）A． B．C．4 D．已知拋物線＝2上兩點Axy),Bxy)關于直線＋m對稱，且xx＝,那么m1 1 2 2 12的值等于（）A． C．2 已知雙曲線2－1的焦點為FF，點M在雙曲線上且0，則點M到x軸的距離為1 2（）A． C． 點P(－3，1)的左準線上，過點P)的光線，經(jīng)直線－2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為 （）A． C． 橢圓上有n，PP，橢圓的右焦點為F，{|P1 2 n n等差數(shù)列，則n的最大值是 （）A．198 C．200 (4,0)的直線與雙曲線的右支交于ABAB的斜率k（）A．|k|≥1C．|k|≤

B．|k|>D．|k|<1已知θ為三角形的一個內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝，則方程sinθ2cosθ1表示（）焦點在x軸上的橢圓焦點在y軸上的橢圓焦點在x軸上的雙曲線焦點在y軸上的雙曲線、NFF1 2焦點，設圖①、②、③中的雙曲線離心率分別為e、ee，則（）M N M

1 2 3Ae

>N>e

B．e<e<e1 2 3F F1 F2 3 FCe＝eFe1

>e 21 1 2 23

1 2 3二、空題 ② ③拋物線2上到直線－4的距離最近的點是 .雙曲線3－4－12＋0按向量平移后的雙曲線方程為，則平移向量＝ ．13．P在以FF為焦點的雙曲線上運動，則△FFP的重心G的軌跡方程是 ．1 2 12 —————————橢圓中，以M(－1，2)為中點的弦所在直線的方程為 .以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設A、B為非零常數(shù)，若，則動點P②過定圓C上肯定點A作圓的動弦AB、O為坐標原點，若()，則動點P的軌跡為橢圓；③方程2－5＋＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線與有相同的焦點．其中真命題的序號為 （寫出全部真命題的序號三、解答題FF∠FPF＝60°，1 2 1 2△PFF12已知動圓C與定圓＋1內(nèi)切,與直線3求動圓圓心CQQ到點寫出直線的截距式方程；當時，求的大?。畒 lM設，,為直角坐標平面內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若x＋(y－2)，且||＋||＝8xO a求動點NC設曲線C上兩點A程.．

(1)直線AB過點3(2)且OAPB為矩形，求直線AB方20．動圓M過定點A0)，且與定圓A′－)＋212(1)求動圓圓心MC(2)過點P(0，2)的直線l與軌跡CE、F，求的取值范圍．21．已知橢圓的左、右焦點分別是F(－c,0)、F(c,0)，Q是橢圓外的動點，滿足，點P是1 2FQTFQ＝0，≠0．1 2x為點P求點TC試問：在點T的軌跡C上，是否存在點，使△FMF的面積＝2？若存在，求∠FMFyQyQPOF1F2的正切值，若不存在，請說明理由．x圓錐曲線單元測試題答案1.B2.C3.A4.B5.C6.A7.C8.B9.B