2022年遼寧省朝陽(yáng)市凌源市凌源三中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．2．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．3．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于4．若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知集合，，則（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．07．的圖象如圖所示，，若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合，則可取的值的是（）A． B． C． D．8．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）①②③④⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．11．用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形12．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列，若，，則______.14．已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2，則該圓柱的底面半徑為_(kāi)_________.15．如圖，直三棱柱中，，，，P是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為_(kāi)_______.16．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知矩形紙片中，，將矩形紙片的右下角沿線段折疊，使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊上，記該點(diǎn)為E，且折痕的兩端點(diǎn)M，N分別在邊上.設(shè)，的面積為S.（1）將l表示成θ的函數(shù)，并確定θ的取值范圍；（2）求l的最小值及此時(shí)的值；（3）問(wèn)當(dāng)θ為何值時(shí)，的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（l）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且．求直線的方程．19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線的斜率20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求最大時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程.21．（12分）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且為與的等差中項(xiàng)．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求的前100項(xiàng)和．22．（10分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路，中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹(shù)或者木棉樹(shù)，且種植每種樹(shù)木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見(jiàn)，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹(shù)300200喜歡木棉樹(shù)250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口，恰有個(gè)路口種植楊樹(shù)，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹(shù)的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯(lián)立，再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則，且將代入雙曲線方程中，得到設(shè)則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問(wèn)題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.2、A【解析】

陽(yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù)，最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：個(gè)，滿足差的絕對(duì)值為5的有：共個(gè)，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算，難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式：.3、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應(yīng)選答案C．4、B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.5、C【解析】

求出集合，計(jì)算出和，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，即可得出函數(shù)的解析式，然后求出變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，，則，，取，，則，，，可得，當(dāng)時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8、B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問(wèn)題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.9、D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤，，當(dāng)時(shí)，不妨取，，故時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.10、A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【詳解】解：由題意可得，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝?1，

過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據(jù)角平分線定理可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，綜上：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．11、C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．12、A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】，，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，建立方程組，且，求出，進(jìn)而求出的公比，即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列，，，解得，所以的公比為，.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】解：由于圓柱的高和球半徑均為2，,則球心到圓柱底面的距離為1，設(shè)圓柱底面半徑為，由已知有，∴，即圓柱的底面半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

證明平面，于是，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】平面，平面，，又.平面，是的中點(diǎn)，.

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】設(shè)，則，由題意可得故當(dāng)時(shí)，由不等式，可得，或求得，或故答案為（三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），的最小值為.（3）時(shí)，面積取最小值為【解析】

（1）,利用三角函數(shù)定義分別表示,且,即可得到關(guān)于的解析式；,,則,即可得到的范圍；（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,設(shè)為,令,則,即可設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的最大值,進(jìn)而求解；（3）由題,,則,設(shè),,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,即可求得的最小值.【詳解】解:（1）,故.因?yàn)?所以，,所以,又,,則,所以,所以（2）記,則,設(shè),,則,記,則,令,則,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí)取最小值,此時(shí),的最小值為.（3）的面積,所以,設(shè),則,設(shè),則,令,,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng),即時(shí),面積取最小值為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查運(yùn)算能力.18、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

（1）將消去參數(shù)t可得直線的普通方程，利用x=ρcosθ，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程．（2）利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案．【詳解】（1）由消去參數(shù)t得（），由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（2）由得，圓心為（1，0），半徑為2，圓心到直線的距離為，∴，即，整理得，∵，∴，，，所以直線l的方程為：．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查分析能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出；（2）根據(jù)線段的垂直平分線求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率．【詳解】（1）由題意，得，直線（）設(shè)，，聯(lián)立消去，得，顯然，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的右側(cè)．（2）由（1）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．即．所以線段的垂直平分線方程為：．令，得；令，得．所以的面積，的面積．因?yàn)榕c的面積相等，所以，解得．所以當(dāng)與的面積相等時(shí)，直線的斜率．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，以及三角形的面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點(diǎn)，最大值為圓的直徑，直線過(guò)圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因?yàn)?，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€（t為參數(shù)）表示的是過(guò)點(diǎn)的直線，曲線C的普通方程為，所以當(dāng)最大時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）利用已知條件化簡(jiǎn)出，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，再利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出，即可證明出為等差數(shù)列；（2）根據(jù)（1）中，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再化簡(jiǎn)出，可直接求出的前100