曲線運動課時6向心加速度-課件

課時6向心加速度

課前導(dǎo)航

過山車是一項富有刺激性的娛樂項目．那種風(fēng)馳電掣、有驚無險的快感令不少人著迷．你在乘坐過山車的過程中，不僅能夠體驗到冒險的快感，還有助于思考相關(guān)的物理學(xué)知識．

請你思考：你所做的運動是什么運動？這樣的運動具有怎樣的特征和規(guī)律？

教學(xué)目標基本要求

1．知道勻速圓周運動是變速運動，具有指向圓心的加速度——向心加速度．2．知道向心加速度的幾個表述式，并會根據(jù)不同情境用來進行簡單的計算．3．會用矢量圖來表示速度變化量與速度之間的關(guān)系，理解加速度與速度變化量之間的區(qū)別．4．體會勻速圓周運動向心加速度方向的分析方法．發(fā)展要求

知道非勻速圓周運動加速度與向心加速度的關(guān)系．

知識精析

一、向心加速度公式的推導(dǎo)

1．向心加速度與前面《直線運動》中所學(xué)的加速度是同一個物理量，故定義式為a＝，表示物體各時刻速度的變化率，其中Δv為矢量，Δt→0．

2．我們可以先把有關(guān)速度矢量vA和vB畫成圖6－1甲，圖中vA、vB分別表示做勻速圓周運動的物體在A、B兩點時的速度．把vA和vB的始端畫在一起，把它們的終端以虛線相連，作出如圖6－1乙所示的平行四邊形，這個平行四邊形可理解為將速度vA和速度的變化量Δv合成得到vB．它也能用圖6－1丙所示的三角形法則來表示，同樣可以看成vA與Δv合成得到vB．這就是說從vA變到vB，發(fā)生了Δv的變化，從而求出速度矢量的改變量Δv＝vB－vA．

甲乙丙圖6－1

3．在求出Δv的基礎(chǔ)上，就得出當Δt0時，Δv的方向是沿半徑指向圓心的．所以加速度的方向也是時刻沿半徑指向圓心的，這里特別要注意，向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大?。?/p>

圖6－1丁

4．當Δt0時，θ→0，如圖6－1丁所示，弦AB的長度s等于弧AB的長度．由于vA＝vB＝v，根據(jù)三角形的相似可得，即得a＝．

5．a(chǎn)＝適用于所有的圓周運動，式中a、v是與瞬時狀態(tài)對應(yīng)的，對應(yīng)的位置在r處．

二、對向心加速度意義的理解

1．向心加速度

2．勻速圓周運動為變加速運動．

3．在勻速圓周運動中，向心加速度就是物體做圓周運動的實際加速度，而在一般的非勻速圓周運動中，它只是物體實際運動的加速度的一個分加速度，另一個分加速度為切向加速度，如圖6－2所示．可見物體做圓周運動的加速度不一定指向圓心，只有勻速圓周運動的加速度才一定指向圓心，但向心加速度的方向始終沿著半徑指向圓心．

圖6－2

4．圓周運動的切向加速度是描述圓周運動的線速度的大小改變快慢的物理量，向心加速度是描述線速度的方向改變快慢的物理量．

方法探究

一、速度的變化量

1．速度是矢量，速度的變化量也是矢量，它是指末速度與初速度的矢量差，既有大小，也有方向，其變化規(guī)律符合平行四邊形定則．

2．運算法則：遵循矢量運算法則．①當兩速度的方向在同一直線上，可以先選初速度方向為正方向，然后利用Δv＝v2－v1進行運算，矢量關(guān)系圖如圖6－3甲所示．②當兩速度的方向不在一條直線上，可用三角形法則進行運算，如圖6－3乙所示．例如：平拋運動中以初速度v0水平拋出、經(jīng)時間t(物體未落地)，則矢量關(guān)系如圖6－3丙所示；勻速圓周運動中，物體由A運動到B，其速度變化量Δv如圖6－3丁所示．

甲乙

丙丁圖6－3

例1

在平直公路上行駛的汽車，其初速度為v1，方向向東；經(jīng)一段時間后其速度變?yōu)関2，方向向西．汽車速度的變化量為Δv，v1、v2、Δv這三個量的關(guān)系可以用一個矢量圖表示，則圖6－4中能正確表示的是(

)

圖6－4

解析

v1、v2、Δv都是矢量，v1、v2方向不同，故A、B選項錯誤；再由Δv＝v2－v1，即Δv應(yīng)為從v1箭頭指向v2箭頭的矢量．故C選項正確、D選項錯誤．

答案

C

變式訓(xùn)練1

飛機做曲線運動表演時的初速度為v1，經(jīng)時間t后速度變?yōu)関2，速度變化量Δv與v1和v2的方向關(guān)系如圖6－5所示，其中正確的是(

)

圖6－5

A．① B．② C．③ D．都不正確

解析

不共線的v1、v2、Δv應(yīng)構(gòu)成封閉的矢量三角形，且Δv由v1的末端指向v2的末端，故B選項正確．

答案

B

二、向心加速度的意義

例2

下列關(guān)于向心加速度的說法中，正確的是(

)

A．向心加速度的方向始終與速度的方向垂直

B．向心加速度的方向保持不變

C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的

D．在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不斷變化

解析

向心加速度的方向始終沿半徑指向圓心，而圓周運動的速度方向始終沿圓周上該點的切線方向，故向心加速度的方向始終與速度的方向垂直，故A選項正確；在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不變，但方向時刻改變，故B、C、D選項均錯誤．

答案

A

點評本題是對向心加速度基本概念的考查，只有牢記概念、明確意義，才能準確地分析和判斷問題．

三、關(guān)于加速度a與描述圓周運動的其他參量的關(guān)系

例3

如圖6－6所示，甲是一個被固定在轉(zhuǎn)軸上的半徑為r的輪子；乙是一個被支撐起來的中空的輪環(huán)，內(nèi)半徑為2r，外半徑為3r，甲帶動乙轉(zhuǎn)動，接觸處不打滑．當甲的角速度為ω時，輪環(huán)外壁N點的線速度是________，向心加速度是________．

圖6－6

解析

甲、乙兩輪接觸處不打滑，則接觸處的線速度相等，甲輪邊緣的線速度v＝ωr，則乙輪環(huán)內(nèi)徑2r的圓周上各點的線速度也為v＝ω′·2r，其角速度ω′＝0.5ω,乙輪環(huán)上各點的角速度相等，則N點的線速度vN＝ω′·3r＝1.5ωr．

a＝＝0.75ω2r．

答案

1.5ωr

0.75ω2r

點評

在分析傳動裝置的各物理量之間的關(guān)系時，首先要明確什么量是相等的，什么量是不等的．通常情況下，同軸的各點角速度ω、轉(zhuǎn)速n、周期T相等，而線速度v(即ωr)與半徑成正比；傳動接觸處的線速度大小相等，而角速度ω(即)與半徑r成反比．

變式訓(xùn)練2

圖6－7為質(zhì)點P、Q做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變化的圖象．其中表示質(zhì)點P的圖象是雙曲線的一支，表示質(zhì)點Q的圖象是過原點的一條直線．由圖象可知(

)

圖6－7

A．質(zhì)點P的線速度大小不變

B．質(zhì)點P的角速度大小不變

C．質(zhì)點Q的角速度隨半徑變化

D．質(zhì)點Q的線速度大小不變

分析圖象能夠形象直觀地反映物理參量之間的關(guān)系，但一定要找準參量間的物理規(guī)律，再找到對應(yīng)物理參量間的函數(shù)方程式，最后分析圖象．

解析

根據(jù)圖象提供的曲線的性質(zhì)建立起質(zhì)點做勻速圓周運動的向心加速度a隨半徑r變化的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合向心加速度的計算公式作出判斷．

答案

A

點評

在利用圖象解決物理問題時，要注意充分挖掘圖象中所隱含的信息，如：一個量隨另一個量如何變化；變化的確切數(shù)量關(guān)系；斜率多大，其物理意義是什么；截距、面積各有什么意義等．同時還要注意把物理圖象和具體的物理情境結(jié)合起來，考慮應(yīng)該選用哪一個規(guī)律或公式解決問題．

互動平臺

育才老師與細心同學(xué)關(guān)于“向心加速度公式的推證”的對話細心：老師，現(xiàn)在我能用“化曲為直”的方法來推導(dǎo)向心加速度公式了．育才：好??！說說你的想法．細心：如圖6－8所示，質(zhì)點沿半徑為R的圓周做勻速圓周運動，線速度大小為v．設(shè)經(jīng)時間t，質(zhì)點由A點沿圓周運動到B點的位移AB，可視為沿A點切線方向做勻速直線運動的位移AC，與沿半徑OB方向做勻加速直線運動的位移CB的矢量和．由于位移矢量△ABC與△DAC相似，故對應(yīng)邊的比例關(guān)系為：

圖6－8

AC2＝CB·CD＝CB(CB＋2R)當Δt→0時，CB?2R，CB＋2R≈2R則有：AC2＝CB·2R又由運動學(xué)規(guī)律有：AC＝vΔt，CB＝aΔt2則(vΔt)2＝aΔt2·2R推出質(zhì)點加速度的大小a＝．育才：很好！還有其他思路嗎？細心：我想不出來了．育才：我再介紹一種方法給你．如圖6－9所示，由速度矢量三角形與△AOB相似，從對應(yīng)邊的比例關(guān)系可求得Δv＝．

圖6－9根據(jù)加速度和線速度的定義，質(zhì)點加速度的大小為：

a＝＝．

粗心同學(xué)與細心同學(xué)關(guān)于“a與r的關(guān)系”的對話粗心：從公式a＝看，a與r成反比；從公式a＝rω2看，a與r成正比，這是否矛盾？a與r究竟是何關(guān)系？細心：向心加速度與半徑成正比還是成反比，要看條件才能確定，公式中的三個量，只有當其中一個量確定時，才能討論另外兩個量的比例關(guān)系．對于公式a＝，當線速度v一定時，a與r成反比；對于公式a＝rω2，當角速度ω一定時，a與r成正比，所以并不矛盾．粗心：噢！原來如此．

互動訓(xùn)練

1．A、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運動，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉(zhuǎn)速為30r/min，B的轉(zhuǎn)速為15r/min．則兩球的向心加速度之比為(

)

A．1∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．8∶1

解析

a＝ω2r故aA∶aB＝×2＝4∶1．

答案

C

2．地球在自轉(zhuǎn)的過程中，站在赤道上的人A和站在北緯45°位置的人B，隨地球一起轉(zhuǎn)動，A和B隨地球轉(zhuǎn)動的角速度之比為________，A和B隨地球轉(zhuǎn)動的線速度之比為________，A、B的向心加速度之比為________．

解析

地球上各處靜止的人(物)繞地軸的轉(zhuǎn)動角速度相等，又A的繞行半徑rA＝R,B的繞行半徑rB＝R·sin45°＝R故有：ωA∶ωB＝1∶1

vA∶vB＝ωArA∶ωBrB＝∶1

aA∶aB＝ωrA∶ωrB＝∶1．

答案

1∶1∶1∶1

3．物體以30m/s的速率沿半徑為60m的圓形軌道運動，當物體從A