常微分方程-第四章

2本章主要解決常系數(shù)方程的基本解組（基解矩陣）問題，并介紹找某些特解的方法目標是：找n個線性無關解！0x

Ax

f

(t常系數(shù)線性微分方程組高階常系數(shù)線性微分方程dn1xa1

dtn1dnx

a

dx

a

x

f

t

n1

dt

ndtn研究對象

0k

0f

(s)dstt0這里，e

tAA

t

tA

t

sx

t

e

etAk

k

!通解結(jié)構

ni

ii1c

x

t

t

x

t

通解結(jié)構研究對象一階常系數(shù)線性微分方程：dx

axdt有形如：x

eatc

的解，其中c為任意常數(shù)Motivation類似地，n

階常系數(shù)線性微分方程組：dx

Ax3dt應該有形如：

(t)

et

的解，其中

0為常數(shù)向量和待定內(nèi)容提要高階常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程組的解法拉

斯變換法降階法冪級數(shù)法4需要解決的問題：dnx

a1

n1dt（1）解決：L[x]dtndxdn1x

an1

dt

anx

0的求解問題，特別是給出基本解組0x

Ax，其中A

0

0

an1

an-2

a2andnx

a1

n1dt（2）找：L[x]dtn的特解【依據(jù)f

t

的形式找特解】dxdn1x

an1

dt

anx

f

t

2

x,,

xn

xn15dnx

a1

n1dt對方程：L[x]dtndxdn1x

an1

dt

anx

0

an1

antt

ane

F

()edtdtndnedettdtn1L[e

]

a1

an1尋求形如：x

et

的解。將x

et代人得：其中，F(xiàn)

()

n

a1

n1

這樣，方程有形如x

et的解的充要條件是：是

n

a1

n1

an1

an

=0

的根分析：6特征根法特征多項式0

0

an

an1

an-2

1an-2

a10

det

E

A

特征方程

an1

an

0detE

A

n

a1

n1

特征根e1t

,e2t

,,ent是高階線性齊次方程的基本解組，定理：設1,2

, ,

n是n個不同的實特征根，則：（1）單實根情形121

21212W

(t)

nnnne1t1e1te2t2e2tentnent

e

e

e1

11

21nn1

tn1

tn1

t

)t

n1

n1

n1

e(1

2

n

)t

e(

(i

j

)

01

jin8且通解為：x

c1e1t

c2e2t

cnent證明朗斯基行列式：（2）單復根情形若1

i是特征根，則2

1

i也是特征根此時，方程有兩個復解：e1t

e(

i

)t

et

(cos

t

i

sin

t)e2t

e1t

e(

i

)t

et

(cos

t

i

sin

t)由此知方程有兩個實解：et

cos

t,

et

sin

t且它們線性無關9（3）重實根情形若

1是k重實根，則：F

(1)

F(1)

F

(k

1)

(1)

0,

F

(k

)(1)

0(1)若1=0是k重實根，則特征方程有因子：k

ank

1

0因此，an

an1

ank

k

0特征方程變成：n

a1n1

,tk

1

0kdnxd

k

xdt

dt

dtdn1xn

n1

a1

ank明顯地，它有k個線性無關的解：1,t,t

2

,10微分方程變成：(2)若1

0是k重實根，則作變量變換：x

ye1t111

t

t

L1[

y]endydtdn1yn1

dn

y

bn

y

e

t

b1

bn1L

ye

dt

dt此時，方程變成：dn1

y

b1

n1dtdn

yL1[

y]

ndtdy

bn1

dt

bn

y

0則由原方程可得：其中，b1,b2

, ,bn仍為實常數(shù)相應的特征方程為：G()

n

b1

n1

bn1

bn

0此時，能夠顯示出：=0是相應特征方程的k重根111111或F

(

1)

G[]1)t(

)t

(

1

t(

)te

G[]etF

(

)e

L

e

L

e

特征根之間的關系關于求導得：F

(

j)

(

1)

G(

j)[],j

1,

2, ,

k因此，特征方程：F

()

0的根

1對應于特征方程：G()

0的根

1

0,且重數(shù)相同12線性無關解組之間的關系有k1個線性無關解應 ，方程：L有k1個線性無關解1t

,

te1t

,

t

2e1d

n

y方程：L1[

y]

ndt若特征方程：G(有k1重根：1

0則特征方程：F

有k1重根：=1

an1

an

0假設特征方程F

n

a1

n1

的所有特征根為：1,

2

, ,

m重數(shù)分別為：k1,

k2

, ,

km

(每個ki

1)且，k1

k2

km

n,

兩兩不同：i

j

(i

j)更一般地m

m

mmme

,

te

,

t

e

, ,

tke1t

,

te1t

,t

2e1t

,dnx

a1

n1dt則方程：L[x]dtn

t

t2

ttk11e1t1e

tdxdn1x

an1

dt

anx

0有n個線性無關解（即基本解組）：14證明線性無關01其中，A(r

)為不全為零的常數(shù)

0rr1

t(r

)

k

kr

1rm(r

) (r

)r1(

A

A t

mr1rP

(t)e

tj兩邊除以因子e1t得：

A

t)e

10

1r

1

0mrP

(t)e(1)

(1)

(1)

k

1(

)tk1

1A

A t

A

t

r

2m15兩邊微分k1次得：Qr

(t)e(r

1

)t

0r

2其中，Qr

(t)(r

1)k1

Pr

(t)

Sr

(t),Sr

(t)的次數(shù)比Pr

(t)的次數(shù)低Qm

(t)不恒為零。求和中的項數(shù)比原來的少了兩邊再除以e(2

1

)t，并微分k1次，則得更少項的求和也就是說，每求導一次，求和項數(shù)就少了我們有：經(jīng)過m

1次類似的過程Rm

(t)e(m

m1

)t

0這是不可能的，因為：Rm

(t)與Pm

(t)有相同的次數(shù)，且Rm

(t)不恒為零事實上，Rm

(t)

(m

1)k1

(m

2

)k2

(m

m1)km1

Pm

(t)

Wm

(t)其中，Wm

(t)或是比Pm

(t)次數(shù)更低的多項式或為零1617（4）重復根情形e

t

,

e

t

,

te

t

,

te

t

,,

tk

1e

t

,

tk

1e

tdnx

a1

n1dt則方程：L[x]dtn有復解：dxdn1x

an1

dt

anx

0若

i

,

i是k重實根，e

t

cost,e

t

sin

t,te

t

cos

t,te

t

sin

t,,

t

k

1e

t

cos

t,

tk

1e

t

sin

t相應地，有2k對線性無關的實解：問題：有部分重實根，部分重復根，如何證明解組的線性無關性？其中，c1,c2,c3為任意常數(shù)18d

3xdt3

8x

0求解微分方程：例1解：設方程有形式解：x

t

et則有特征方程：3

8

0其特征根為：1

（2

實根）,

2,3

1

2（i

共軛復根）

1

2

3tx

t2t

c

e

e

c

cos

2t

c

sin

2t通解為：基本解組為：e2t，et

cos

2t，et

sin

2t例d

2

x求通

6

1dt3

dt

2解：設方程有形式解：x

t

et則有特征方程：3

62

12

8

(

三重根為：

（2

實根）

2

21

2

3x

t

(c

c

t

c

t

)e通解為：其中，c1,c2,c3為任意基本解組為：e2t，te2t，t2e2t例3d

4

x d

2

xdt4

4

dt

2

4x

0求解微分方程：解：設方程有形式解：x

t

et則有特征方程：

4

4

2

4

(

2

2)2

0有兩個二重復根：

i

2通解為：x

t

(c1

c2t)

cos

2t

(c3

c4t)sin

2t其中，c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)cos 2t,

t

cos

2t,sin 2t,

t

sin

2t基本解組為：20歐拉方程的求解n

dn

ydxnn1

d

n1

ydxn1x

a1xdy

an1x

dx

an

y

0其中，a1,a2

,,an為實常數(shù)歐拉方程的標準形式：dn1

yx

et或t

ln

x常系數(shù)線性微分方程：b1

dtn1dn

y

dtndy

bn1

dt

bn

y

0其中，b1,b2

,21,bn為實常數(shù)一階導數(shù)：dy

dy

dt

et

dy

x1

dydx

dt

dx

dt

dt二階導數(shù)：dy

2

d

2

y dy

dx222dt

dt2t

d

2

yd

2

y

t

dy

t

dy

e

e

edt

dtdt

xdt

k

1d

k

ykkk階導數(shù)：dtd

k

1

yk

1kt

d

k

y

e

1dx

dtdy

dt

其中，1,2

,,k

1為常數(shù)事實上d

k

y d

k

ydxk

dtkd

k

1

ydtk

1xk

1dydt

k

122

b1

ndtdtn有形如：y

eKt的解方程：方程：xn

adxn

1

dx有形如：y

xK的解dn1

yb1

dtn1dn

y

dtnK

(K

1)(K

n

1)

a1K

(K

1)

(K

n

2)

23

an

0dy

bn1

dt

bn

y

0的特征方程為：歐拉方程的求解方法：

an

0若特征方程：K

(K

1)

(K

n

1)

a1K

(K

1)

(K

n

2)

有m重實根：K

K0，則有m個線性無關解：

lnm1

x

cos(

ln

x

)

lnm1

xsin(

ln

x

)

an

0若特征方程：K

(K

1)

(K

n

1)

a1K

(K

1) (K

n

2)

有m重復根：K

i，則有2m個線性無關解：

ln

lnet

cos

t,tet

cos

t,et

sin

t,tet

sin

t,

ln

ln,tm1et

cos

t,tm1et

sin

teK0t

,teK0t

,

,t, ,

xK0

lnm1

x

eK0t

tln

x其中，t

ln

x24例42

d

2

y

dydx2

3x

4

y

0dx求解微分方程：x解：設方程有形式解：y

x

xK特征方程：K

(K

1)

3K

4

(K

2)2

0特征根：K

（2

二重實根）基本解組：通解：y

(c1

c2

ln

x

)x2其中,c1,c2為任意常數(shù)25其中,c1,c2為任意常數(shù)26例52

d

2

ydx2dy

2x

2

y

0dx求解微分方程：x解：設方程有形式解：y

x

xK特征方程：K

(K

1)

2K

2

K

2

K

2

01,22

2特征根：K

1

7

i

（一重復根）17

1

7cos ln

x

，

sin ln

x

x

2

x

2

基本解組：1277c

cosln

xln

x22通解：yx1

c

sin

d

2

x

dx27dt22

d

2

x

dxdt21.

3

9x

0dt2.

t

3t

5x

0dt課堂練習求下列方程的通解：非齊次方程特解的待定系數(shù)法dnxL[x]

dtn

a1

n1dtdxd

n1x

an1

dt

anx

f

(t)其中，a1,a2

,,an是實常數(shù)，f

(t)為連續(xù)函數(shù)

bm1t

bm

)et類型（I）：f

(t)(b0t

m

b1t

m1

28其中，和bi

(i

0,1,,m)是實常數(shù)類型（II）：f

(t)[A(t)cos

t

B(t)sin

t]et其中，、是實常數(shù)，A(t)和B(t)是t的最高次數(shù)為m的實多項式

bm1t

bm

)et類型（I）：f

(t)(b0t

m

b1t

m1

其中，和bi

(i

0,1,,m)是實常數(shù)若不是特征方程：n

a1n1

則可設特解為：x

(B0tm

B1tm1

an1

an

0的根

Bm1t

Bm

)et若是特征方程：n

a1n1

an1

an

0的k重根則可設特解為：x

tk

(B0tm

B1tm1

Bm1t

Bm

)et29正確地寫出解的形式是關鍵！例6d

2

x

dxdt2

3

2x

1

2tdt求解微分方程：解：d

2

x

dxdt

2

3

2x

0dt齊次方程：2B

2代人得：3B

2

A

2Bt

1

2t

2

A

3B

1

B

1,A

2的特征方程為：

2

3

2

(

1)(

2)

0特征根為：1

1,2

2f

(t)

1

2t,

0。=0不是特征根，因此可設非齊次方程的解為：x

A

Bt特解：x

2

t通解為：x

c1et

c2e2t

2

t其中，c1,c2為任意常數(shù)30例7d

2

x

dxdt

2t

3

2x

edt求解微分方程：解：d

2

x

dxdt

2

3

2x

0dt齊次方程：的特征方程為：

2

3

2

(

1)(

2)

0特征根為：1

1,2

2f

(t)

et

,

1。=1是特征根，因此可設非齊次方程的解為：x

Atet代人得：Aet

et

A

1特解：x

tet通解為：x

c1et

c2e2t

tet其中，c1,c2為任意常數(shù)3132例8dt32td

3x

d

2

x

dx6

12

8x

t

1edt2

dt求解微分方程：解：dt3d

3x

d

2

x

dx6

12

8x

0dt2

dt的特征方程為：3

6

2

12

8

(

2)3

0三重特征根：

2f

(t)

因此可設非齊次方程的代人得：(6

A

24Bt)6

A

12

A

2B

t

齊次方程：24特解：x

1

t3

4

t

e2t

32t1

2

32

2t其中，c1，c2，c3為任意常數(shù)1通解為：x

(c

c

t

c

t

)e

t

4

t

e2433類型（II）：f

(t)[A(t)cos

t

B(t)sin

t]et其中，、是實常數(shù)，A(t)和B(t)是t的最高次數(shù)為m的實多項式若

i不是特征方程：

n

a1

n1

an1

an

0的根則可設特解為：x

[P(t)

cos

t

Q(t)

sin

t]et其中，P(t)、Q(t)為次數(shù)不高于m

的t

的實系數(shù)多項式若

i是特征方程：

n

a1

n1

an1

an

0的根則可設特解為：x

tk

[P(t)

cos

t

Q(t)

sin

t]et其中，P(t)、Q(t)為次數(shù)不高于m

的t

的實系數(shù)多項式正確地寫出解的形式是關鍵！n34事實上注意到：f

(t)

A(t)

iB(t)

e(

i

)t

A(t)

iB(t)

e(

i

)t2

2疊加原理告訴

：方程：L[x]

f1(t)的解與方程：L[x]

f2

(t)2的解之和為方程：L[x]

f1(t)

f2

(t)的解其中，L[x]dnxdn1x

a1ndx

a

xdtn1

adtdtn135例9d

2

x

dxdt2

2

x

2sin

2tdt求解微分方程：解：d

2

x

dxdt2

2

x

0dt齊次方程：25的特征方程為：

2

2

1

(

1)2

0二重特征根：1,2

1f

(t)

2sin

2t,

2i。

2i

不是特征根，因此可設非齊次方程的解為：x

Acos

2t

B

sin

2t代人得：3A

4Bcos

2t

4

A

3Bsin

2t

2sin

2t

A

8

,B

625

25特解：x

2

4

cos

2t

3sin

2t

1

2其中，c1，c2為任意常數(shù)24

cos

2t

3sin

2t25t通解為：x

(c

c

t)e

36定理d

n1x

a

dx

a

x

f

t

n1

dt

ndtn和dtn的解dxd

nxd

n1xa1(t)

dtn1d

nx

an1(t)

dt

an

(t)

u(t)

a1

n1dtdxd

n1xa1(t)

dtn1d

nx

對實系數(shù)方程：L[x]dtn其中，f

(t)

u(t)

iv(t)為復值函數(shù)，若x

U

(t)

iV

(t)為復值解，則實函數(shù)U

(t)、V

(t)分別是：

an1(t)

dt

an

(t)

v(t)實解與復解之間的關系37例10d

2

x

dxdt2

2

x

2sin

2tdt求解微分方程：解：d

2

xdt2t

(c1

c2t)edt由例9的結(jié)果知齊次方程：求得特解：x

2

3

4ie2it

2

3cos

2t

4sin

2t

2i

4cos

2t

3sin

2t

25

25

252itd

2

x

dxdt2

2

x

2cos

2t

2i

sin

2t

2edt的特解。注意到：這一復方程屬于類型（I

），且

2i

不是特征根，25

25因此可設特解為：x

Ae2it，代人得：3

4i

A

2

A

6

8

i為求非齊次方程的特解，先求方程：

1

2其中，c1，c2為任意常數(shù)24

cos

2t

3sin

2t25t取虛部，得通解：x

(c

c

t)e

內(nèi)容提要高階常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程組的解法拉

斯變換法降階法冪級數(shù)法380x

Ax

f

(t

0k

0f

(s)dstt0這里，e

tAA

t

tA

t

sx

t

e

etAk

k

!需要解決的問題：k

039k

!

的具體表示e

tA主要解決常系數(shù)方程組x

Ax

的基解矩陣問題，特別是，給出基解矩陣或指數(shù)矩陣tAk一階常系數(shù)線性微分方程：dx

axdt有形如：x

eatc

的解，其中c為常數(shù)Motivation類似地，n

階常系數(shù)線性微分方程組：dx

Ax40dt應該有形如：

(t)

et

的解，其中

0為常數(shù)向量和待定特征根、特征向量把形式解：

(t)

et

代入到微分方程組：x

Ax得代數(shù)方程組：

E

A

0

0：非平凡解P

detE

A

E

A

041特征多項式

(t)

et是方程非零解的充要條件是：是A的特征根（值），是相應的特征向量定理1對于方程組：dx

Ax

，有下列結(jié)論：42dt(t)

exp

At是方程的一個基解矩陣；(0)

E

，因此exp

At是標準基解矩陣；任一個解x

t

都可表示為exp

At

c

的形式方程的系數(shù)矩陣的特征值、特征向量與基解矩陣有何種關系？問題：定理21

2n1

2

n

t

t

t

,

e

v(t)

e

v

,

e

v

,（2）標準基解矩陣為：eAt

exp

At

(t)1

(0)假設：矩陣A有n個不同的特征值：1, ,

n43相應的特征向量記為：v1,則：（1）基解矩陣為：,v（n

均為列向量）下列定理很好地回答了前面的問題！情形一：系數(shù)矩陣可對角化對于常系數(shù)線性微分方程組：x

Ax證明每個e

jt

vj(j

1,2,

,n)都是方程組：x

Ax

的解1

21

2nn

t

t

t,e

v是方程組：x

(t)

e

v

,e

v

,Ax

的基解矩陣v1,

,vn線性無關det(0)

det[v1,v2,

,vn

]

0(t)和exp

At都是基解矩陣exp

At

(t)C

exp

At

(t)1(0)4445新的問題：假如系數(shù)矩陣沒有n個不同的特征值，那么如何給出基解矩陣？114有一個二重特征值：

3微分方程組：x

Ax，其中系數(shù)矩陣：A=

2例如特征子空間與根子空間定義特征子空間：E

(

A)=

A

E

=0j

jU

j

(

A)=

A

j

E

=0nj根子空間：設1, ,

k是矩陣A的不同特征值，它們的重數(shù)分別為：n1, ,

nk，則n1

nk

n，其中，每個n1

1j46j顯然，E

(

A)

U

(

A)注意到：k一般地，U

E

(

A)

E

(

A)

1

2

E

(

A)但總是有：U

U1(

A)

U2

(

A)

Uk

(

A)讓U代表整間47n1,

,

nk，且n1

nk

n，則：（1）對設1,

,

k

是矩陣A不同特征值，其重數(shù)分別為：其中，u

j

U

j

(

j

1,

,

k

)，即uj為(A

E)nj

u

0的解；j（2）(

A

j

E)

u

j

0,

l

nj

,

j

1,

,

klU中任一向量，存在唯一向量組：u1,

,uk，使得：

u1

uk

（向量分解）注意到下列事實：4849114有一個二重特征值：

3微分方程組：x

Ax

，其中系數(shù)矩陣：A=

2例如11

0

1

0

2

1

它們構成R2

的一組基0

0

0

2

然而，3I

A2

0

0

11

2

1

01

0

特征向量

1

，滿足：3I

A

1

2

求得一個基本特征向量：

1

，它并不構成R2

的一組基

求得兩個基本特征向量：

1

，

0

50例子35

對于x

=Ax,其中A

35，求exp

At1,2i

1

A的特征值：

3

5i

；特征向量：u

1

,

v

i1

2

e(35i)t

ie(35i)t

t

t

ie(35i)t

e(35i)t

基解矩陣：(t)

e

u,

e

v

e(35i)tie(35i)t

11

e(35i)tie(35i)t

1ie(35i)texp

At

(t)1(0)

i(e(35i)t

e(35i)t

)2)1

e(35i)t

e(35i)ti(e(35i)t

e(35i)t

e(35i)t

e(35i)t

e(35i)t

i2

ie(35i)t

e(35i)t

ii11i1

3t

cos

5tsin

5t

cos

5t

.sin

5t

e1

e(35i)t

3t

cos5t

3t

sin

5t

sin

5t

.sin

5tcos5t

t(t)的第一列：e

u

(35i)t

e

ie

sin

5t

cos5t

ie

實基解矩陣：Ψ(t)

e3t

cos5t它的實部和虛部都是兩個線性無關的實值解，由此得到一個解：51定理3情形二：系數(shù)矩陣不可對角化

0i!jjik

tn

1iijt

x

Ax

(t

)

j

1

i0

(t)

e(

A

E

)

u,

(exp

At)en

其中，u

j

U

j

(

j

1,,

k

)，

u1

uk標準基解矩陣為：exp

At

(exp

At)

(exp

At)e1,

(exp

At)e2

,其中，

為單位矩陣當A只有一個特征值時，則有：（1）常系數(shù)線性微分方程組的初值問題：的解可表示為：i!n1

it

ti0exp

At

ei(

A

E)52證明000

0jjje

t0ej

tej

t

t

0

t

e

exp(

j

Et)

e

E2

t

t(exp

At)u

j

(exp

At)e

j

[exp(

j

Et)]u

j

e

j

[exp(

A

j

Et)]u

j2!jjt2tnj

1

t

n

1

(nj

1)!

e

E

t(

A

j

E)

(

A

j

E)

(

A

j

E)

u

jk

k

kj1j1nj

1

ijt

tij1

i0

(t)

(exp

At)

(exp

At)u

j

(exp

At)u

j

e

i!

(

A

i

E)

u

j(

A

j

E)l

u

j

0,l

nj

,

j

1, ,

k(0)

=u1+

+ukknj

1

ijt

tij1

i0

(t)

e

i!

(

A

i

E)

u

j53例子對于方程組x

=AxA的特征值：

3解：(t)

e3t

t(

Aexp

At

e3t

[E

t(10t

t

1exp

At

e3t

1

t分別取：

e

1定理4在解決了基解矩陣后，有：的解可表示為：

(t)

exp[(t

t0

)

A]其中指數(shù)矩陣exp

At

是已知的常系數(shù)線性微分方程組初值問題：

x

Ax

(0)

證明齊次方程組的基解矩陣1(s)

exp(As),

(t)1(s)

exp[(t

s)

A]滿足初始條件(t0

)

的解：

(t)

exp[(t

t0

)A]常數(shù)變易公式：00tt11x

t

(t) (t

)

(t)

(s)

f(s)ds00t

54t

(t)

exp[(t

t

)

A]

exp[(t

s)

A]

f

(s)ds55例子1et

3

5

x

=

Ax

+

f

(t)，其中A

5

3,

f

(t)

0

求滿足初始條件：

(0)

0的解

(t)sin

5t

sin

5tcos5t

exp

At

e3t

cos5t解：3t

cos

5t0

e3t

sin

5t

e3t

t

e4s

cos

5(t

s)

ds0sin

5t

0t

3(t

s)

cos

5(t

s)sin

5(t

s)

es

(t)

ecos

5(t

s)

0

dscos

5t

sin

5(t

s)

e

sin

5t

cos

5t

1

sin

5(t

s)

1

4t3t

4cos5t

46sin

5t

4e4t

46cos5t

4sin

5t

5e

(t)

e41分部積分課堂練習21111.

對于方程組x

=Ax+f

(t)，其中A

1

2,

f

(t)

1

求滿足初始條件：

(0)

0的解

(t)2.求方程：提示：作變換：x

t

y，則選取適當?shù)?/p>

t

可使得y

25y

05657補充內(nèi)容：用例子來說明：常系數(shù)線性微分方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為高階常系數(shù)線性微分方程的求解問題；非齊次歐拉方程的求解問題用兩個例子來說明前面求解方法的優(yōu)勢例11et

3

5求解方程：x

Ax

f(t)，A

53,

f

(t)

0

15解：讓x=

x,y

T

，則由方程可得：因此，只需求出x，就可給出y易求得齊次方程:的通解為：x

t

e3t

c1

cos

5t

c2

sin

5t

可設非齊次方程的特解為：

44141因此，特解為：x

t

4

ettx

t

Ae

，代人得：A

。3t其中，c1，c2為任意常數(shù)45413ttc1

cos

5t

c2

sin

5t

e41etx

t

e

y

t

e

c2

cos

5t

c1

sin

5t

通解為：這種求解方法避免了矩陣運算，包括求特征向量、矩陣的逆等，更容易計算例12求解非齊次歐拉方程：t2x

2tx

2x

t1解：對齊次方程，可設解具有形式：x

t

K，其中K待定代人得特征方程：

1

2

2

0特征根：1

2，2

1齊次方程的通解為：x

t

c1t2

c2t下一步，求非齊次方程的特解設特解形式為：

t

At12代人得：A

1

2。因此特解為：

t

1t1通解為：x

t

c1t

2

c2t

t

2其中，c1，c2為任意常數(shù)059非線性方程d

2

x

dx060dt22

d

2

x

dxdt

23.

d

x1

1

2

x1

t

1.

2

5x

t

sin

2tdt2.

t

3t

5x

t

cos2

ln

t

dtdt

x

3

3

x

1

2

2

課堂練習求下列方程的通解：內(nèi)容提要高階常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程組的解法拉

斯變換法降階法冪級數(shù)法061

的變換稱為函數(shù)f

(t)的拉其中f

(t)稱為原函數(shù)，L

s

稱為像函數(shù)0對于 續(xù)的數(shù)量函數(shù)f

(t【)

可以是連續(xù)的復值函數(shù)】假設：f

(t)

Me則形如：L(s)

f

t

ste f

(t)dt，其

拉斯變換？斯變換為類似地，對于向量函數(shù)f

(t)，其拉

st[

f

(t)]

e

f

(t)dt1-1對應關系逆變換：f

2

i

i

）062020stst（2）[

f

(t)]

e

f

(t)dt

s

[

f

(t)]

sf

(0)

f

(0)（1）[

f

(t)]

e

f

(t)dt

s[

f

(t)]

f

(0)若f

(t)和f

(t)的拉斯變換都存在，則拉斯變換的性質(zhì)拉 斯變換是線性變換；把一種“時域”變成另一種“時域”；把求解常系數(shù)線性微分方程問題變?yōu)榇鷶?shù)問題063

dn1x0拉 斯變換主要用于求解初值問題的常系數(shù)線性微分方程的特解：

x

Ax

f

(t)i0

i

n

10

x

，idx

an1

dt

anx

f

(t)xn

a1

dtn1

dnx

（1）

x(0)

（2）

dt拉斯變換的用途

000ii（方程組）；xx(t

)

t

x

，0

i

n

1

（高階方程）初值問題？064某些簡單函數(shù)的拉斯變換序號原函數(shù)f

t

像函數(shù)

stF

s

0

e f

t

dtF

的定義域(1)tnn!

sn1Re

s

0(2)t

neztn!

s

zn1Re

s

Re

z(3)sint

s2

2

Re

s

0(4)costs

s2

2

Re

s

0(5)t

sint2s

sRe

s

0(6)t

costs2

2

s2

2

2Re

s

0065高階常系數(shù)線性微分方程

0110n1

n1n2n11

n1

0n1

0F

s

s

a

s

a

x

s

a

s

ax

xn1記：X

(s)

[x(t)]，F(xiàn)

(s)

f

(t)則sn

a1sn1

an

X

s

X

s

mi1F

s

B

s

As

Pi

s

As

X

s

F

s

B

s

因此，其中，P1

s,,Pm

s

是某些具有原像的簡單像函數(shù)6667例13,

f

(t)

3

3

5100et

求解方程：x

Ax

f

(t)，A

5

，

(0)

解：記：X1(s)

[x1(t)],X

2

(s)

[x2

(t)]1

1

21sX

(s)

3X

(s)

5X

(s)

s

1

sX

2

(s)

1

5X1(s)

3X

2

(s)12

s

3

s

1

5

1

s

3

5

1

X

(s)

4