在課堂教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法(南京市教育科學(xué)研究所 何炳均)課件

在課堂教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法南京市教育科學(xué)研究所何炳均《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，要讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，其中最重要的就是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成與發(fā)展。

“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點等。這些都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益?！保ㄈ毡緮?shù)學(xué)家米山國藏語）。所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象和概括，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，屬于對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識的范疇。所謂數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。一、對概念的理解二、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透的思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想：1.分類討論思想，2.數(shù)形結(jié)合思想，3.函數(shù)與方程思想，4.化歸與轉(zhuǎn)化思想。1、分類討論思想分類討論是根據(jù)教學(xué)對象的本質(zhì)屬性將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學(xué)對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中，如果對學(xué)過的知識恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。

由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；

(2)由數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式的限制條件引起的分類討論；

(3)由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；

(4)由數(shù)學(xué)式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論；

(5)對于含有參數(shù)的問題要對參數(shù)的允許值進(jìn)行全面的分類討論。等等對分類討論思想的考查,是有沒有分類的意識,遇到應(yīng)該分類的情況,是否想到要分類.,有哪些情況需要分類呢？例1若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點，則常數(shù)m的值是

．0或1例3已知一次函數(shù)與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C在x軸上，且∠ACB=120°；⑴求BC的關(guān)系式；xyABCO⑵以點P為一個頂點的三角形與△ABC相似，且與△ABC有一個公共角和一條公共邊，求點P的坐標(biāo).例1：已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有2個，則的a取值范圍是___________．-1≤a<0····０２１-１(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．

3x212-x最小值是13例3：已知3x+4y=12，且x≥０，y≥０，求使M(x,y)=x2+y2-12x-2y+37取得最大值與最小值的點.約束條件:3x+4y=12，且x≥０，y≥０，所表示的圖形是線段AB，x的取值范圍是［０，４］，M(x,y)＝（x-6)2+(y-1)2.xyA(0,3)B(4,0)OQ(6,1)P(x,y)設(shè)P(x,y)是線段AB上的動點,Q(6,1)為定點，M(x,y)為動點P與定點Q之間距離的平方，從圖上可以看出A（０，３），B（４，０）分別是使M(x,y)取得最大值和最小值的點．3、函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點、方法研究問題，將非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)的研究，使問題得以解決。通常是這樣進(jìn)行的：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)關(guān)系，研究這個函數(shù)，得出相應(yīng)的結(jié)論。中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程、數(shù)列、不等式等問題都可利用函數(shù)思想得以簡解；幾何量的變化問題也可以通過對函數(shù)值域的考察加以解決。DCABEF例1：如圖,等腰梯形ABCD中，對角線DB平分∠ADC，下底AB比周長小a，梯形的中位線EF=b，求上底CD．解：易證AB=AD=BC，AB+CD=2EF．因此，設(shè)CD=x，AB=y.則方程思想的實質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模,解應(yīng)用題是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。方程思想的實質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模,解應(yīng)用題是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。例2：如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設(shè)花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；例3：全國高考題：如果實數(shù)x、y滿足（x-2）2+y2=3，那么的最大值是

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4、化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的,其最終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解。實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。如在加法的基礎(chǔ)上，利用相反數(shù)的概念，化歸出減法法則，使加、減法統(tǒng)一起來，得到了代數(shù)和的概念；在乘法的基礎(chǔ)上，利用倒數(shù)的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運算得到統(tǒng)一。例2如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為

m（容器厚度忽略不計）．1.3例3已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合）Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合）．

（1）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；除以上四大主要數(shù)學(xué)思想外還有：

整體思想變換思想

類比思想統(tǒng)計思想特殊與一般思想歸納與猜想思想．．．．．．例設(shè)函數(shù)與y=x-1的圖象的交點坐標(biāo)為（a，b），則的值為__________．例：

在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．活動一：如圖1，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，求陰影部分的面積．CABDEG圖１F三、數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的原則

1.自覺性原則2.可行性原則3.反復(fù)性原則

4.系統(tǒng)性原則四、滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法的形成不可能一蹴而就，往往需要多次反復(fù)、逐漸形成，一般要經(jīng)歷多次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展三個階段。因此，教學(xué)中教師要精心設(shè)計，多設(shè)置一些孕育點，在初步形成階段選擇的例題和習(xí)題也要容易些，在應(yīng)用發(fā)展階段可選擇一些思維要求相對高一些的例題和習(xí)題。

以數(shù)形結(jié)合思想為例說明如下:(一)思想孕育1.有理數(shù)的意義

在學(xué)習(xí)數(shù)軸時，學(xué)生接觸到數(shù)與形的對應(yīng)，應(yīng)讓學(xué)生掌握：(1)任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，在數(shù)軸上會找到任何一個有理數(shù)對應(yīng)的點；(2)由數(shù)軸上的有理點，讀出它所對應(yīng)的有理數(shù)。2.絕對值通過對有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點的距離的觀察，引導(dǎo)出有理數(shù)絕對值的概念，不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，而且符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。3.有理數(shù)的大小比較有理數(shù)大小比較，可以由其在數(shù)軸上的位置來確定，即將“數(shù)”的問題通過“形”來解決。4.單項式乘法在推導(dǎo)單項式乘法、單項式與多項式乘法、多項式乘法以及乘法公式時，借助圖形表示學(xué)生更容易接受。例如：２a·３a時，可以借助如圖的長方形面積來進(jìn)行。5.平面內(nèi)點的位置與坐標(biāo)一個有序數(shù)對（坐標(biāo)）可在直角坐標(biāo)平面內(nèi)找到與之對應(yīng)的點，反之，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點也可以讀出其坐標(biāo)。這時數(shù)與形的對應(yīng)由一維上升到了二維，但仍是思想孕育階段。

(二)初步形成1.一元一次不等式組的解集一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示仍是孕育階段，而解不等式組時，是將幾個不等式的解集表示在同一數(shù)軸上，這樣比較形象、直觀地求出這些解的公共部分，即不等式組的解集。2.用圖象法解二元一次方程組例如：用圖象法解方程組。只要在坐標(biāo)系中分別畫出兩個方程對應(yīng)一次函數(shù)的圖象（直線），交點坐標(biāo)就是方程組的解。Oxyy=2x-63.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)通過多次孕育，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)時，可以先讓學(xué)生動手畫出圖象，然后觀察圖象，總結(jié)函數(shù)圖象的性質(zhì)。至此，學(xué)生已經(jīng)初步領(lǐng)略到數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，教師應(yīng)因勢利導(dǎo)地選擇訓(xùn)練題對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，推動數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中初步形成。(三)應(yīng)用發(fā)展1.分段函數(shù)在分段函數(shù)中，由于函數(shù)的自變量在不同的取值范圍內(nèi)相應(yīng)的關(guān)系式也不同，單用關(guān)系式對函數(shù)的變化情況的描述不夠直觀，也容易產(chǎn)生錯誤，因此，教學(xué)中宜畫出函數(shù)的圖象，更有助于學(xué)生對分段函數(shù)特點的理解。2.勾股定理的證明為了證明勾股定理，只要將四個全等的直角三角形圍成如圖形狀即可證得。3.反比例函數(shù)的圖