在課堂教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法(南京市教育科學(xué)研究所 何炳均)課件

在課堂教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法南京市教育科學(xué)研究所何炳均《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，要讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，其中最重要的就是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成與發(fā)展。

“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門(mén)不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點(diǎn)等。這些都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。”（日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏語(yǔ)）。所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象和概括，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，屬于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)的范疇。所謂數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的途徑、程序、手段，它具有過(guò)程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。一、對(duì)概念的理解二、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透的思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想：1.分類(lèi)討論思想，2.數(shù)形結(jié)合思想，3.函數(shù)與方程思想，4.化歸與轉(zhuǎn)化思想。1、分類(lèi)討論思想分類(lèi)討論是根據(jù)教學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性將其劃分為不同種類(lèi)，即根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類(lèi)，把具有不同屬性的歸入另一類(lèi)。分類(lèi)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中，如果對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類(lèi)，就可以使大量紛繁的知識(shí)具有條理性。

由數(shù)學(xué)概念引起的分類(lèi)討論；

(2)由數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式的限制條件引起的分類(lèi)討論；

(3)由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類(lèi)討論；

(4)由數(shù)學(xué)式子的變形所需要的限制條件引起的分類(lèi)討論；

(5)對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題要對(duì)參數(shù)的允許值進(jìn)行全面的分類(lèi)討論。等等對(duì)分類(lèi)討論思想的考查,是有沒(méi)有分類(lèi)的意識(shí),遇到應(yīng)該分類(lèi)的情況,是否想到要分類(lèi).,有哪些情況需要分類(lèi)呢？例1若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù)m的值是

．0或1例3已知一次函數(shù)與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，且∠ACB=120°；⑴求BC的關(guān)系式；xyABCO⑵以點(diǎn)P為一個(gè)頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，且與△ABC有一個(gè)公共角和一條公共邊，求點(diǎn)P的坐標(biāo).例1：已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有2個(gè)，則的a取值范圍是___________．-1≤a<0····０２１-１(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．

3x212-x最小值是13例3：已知3x+4y=12，且x≥０，y≥０，求使M(x,y)=x2+y2-12x-2y+37取得最大值與最小值的點(diǎn).約束條件:3x+4y=12，且x≥０，y≥０，所表示的圖形是線段AB，x的取值范圍是［０，４］，M(x,y)＝（x-6)2+(y-1)2.xyA(0,3)B(4,0)OQ(6,1)P(x,y)設(shè)P(x,y)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),Q(6,1)為定點(diǎn)，M(x,y)為動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)Q之間距離的平方，從圖上可以看出A（０，３），B（４，０）分別是使M(x,y)取得最大值和最小值的點(diǎn)．3、函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法研究問(wèn)題，將非函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)函數(shù)的研究，使問(wèn)題得以解決。通常是這樣進(jìn)行的：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系，研究這個(gè)函數(shù)，得出相應(yīng)的結(jié)論。中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程、數(shù)列、不等式等問(wèn)題都可利用函數(shù)思想得以簡(jiǎn)解；幾何量的變化問(wèn)題也可以通過(guò)對(duì)函數(shù)值域的考察加以解決。DCABEF例1：如圖,等腰梯形ABCD中，對(duì)角線DB平分∠ADC，下底AB比周長(zhǎng)小a，梯形的中位線EF=b，求上底CD．解：易證AB=AD=BC，AB+CD=2EF．因此，設(shè)CD=x，AB=y.則方程思想的實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模,解應(yīng)用題是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。方程思想的實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模,解應(yīng)用題是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。例2：如圖，有長(zhǎng)為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃．設(shè)花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；例3：全國(guó)高考題：如果實(shí)數(shù)x、y滿足（x-2）2+y2=3，那么的最大值是

．

4、化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的,其最終目的是將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題來(lái)解。實(shí)現(xiàn)新問(wèn)題向舊問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化、未知問(wèn)題向已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象問(wèn)題向具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化等。如在加法的基礎(chǔ)上，利用相反數(shù)的概念，化歸出減法法則，使加、減法統(tǒng)一起來(lái)，得到了代數(shù)和的概念；在乘法的基礎(chǔ)上，利用倒數(shù)的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運(yùn)算得到統(tǒng)一。例2如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為

m（容器厚度忽略不計(jì)）．1.3例3已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）．

（1）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CP的長(zhǎng)；除以上四大主要數(shù)學(xué)思想外還有：

整體思想變換思想

類(lèi)比思想統(tǒng)計(jì)思想特殊與一般思想歸納與猜想思想．．．．．．例設(shè)函數(shù)與y=x-1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則的值為_(kāi)_________．例：

在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．活動(dòng)一：如圖1，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點(diǎn)，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，求陰影部分的面積．CABDEG圖１F三、數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的原則

1.自覺(jué)性原則2.可行性原則3.反復(fù)性原則

4.系統(tǒng)性原則四、滲透數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法的形成不可能一蹴而就，往往需要多次反復(fù)、逐漸形成，一般要經(jīng)歷多次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展三個(gè)階段。因此，教學(xué)中教師要精心設(shè)計(jì)，多設(shè)置一些孕育點(diǎn)，在初步形成階段選擇的例題和習(xí)題也要容易些，在應(yīng)用發(fā)展階段可選擇一些思維要求相對(duì)高一些的例題和習(xí)題。

以數(shù)形結(jié)合思想為例說(shuō)明如下:(一)思想孕育1.有理數(shù)的意義

在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，學(xué)生接觸到數(shù)與形的對(duì)應(yīng)，應(yīng)讓學(xué)生掌握：(1)任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，在數(shù)軸上會(huì)找到任何一個(gè)有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；(2)由數(shù)軸上的有理點(diǎn)，讀出它所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)。2.絕對(duì)值通過(guò)對(duì)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的觀察，引導(dǎo)出有理數(shù)絕對(duì)值的概念，不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，而且符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。3.有理數(shù)的大小比較有理數(shù)大小比較，可以由其在數(shù)軸上的位置來(lái)確定，即將“數(shù)”的問(wèn)題通過(guò)“形”來(lái)解決。4.單項(xiàng)式乘法在推導(dǎo)單項(xiàng)式乘法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法以及乘法公式時(shí)，借助圖形表示學(xué)生更容易接受。例如：２a·３a時(shí)，可以借助如圖的長(zhǎng)方形面積來(lái)進(jìn)行。5.平面內(nèi)點(diǎn)的位置與坐標(biāo)一個(gè)有序數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）可在直角坐標(biāo)平面內(nèi)找到與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，反之，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點(diǎn)也可以讀出其坐標(biāo)。這時(shí)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)由一維上升到了二維，但仍是思想孕育階段。

(二)初步形成1.一元一次不等式組的解集一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示仍是孕育階段，而解不等式組時(shí)，是將幾個(gè)不等式的解集表示在同一數(shù)軸上，這樣比較形象、直觀地求出這些解的公共部分，即不等式組的解集。2.用圖象法解二元一次方程組例如：用圖象法解方程組。只要在坐標(biāo)系中分別畫(huà)出兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)一次函數(shù)的圖象（直線），交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。Oxyy=2x-63.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)通過(guò)多次孕育，學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可以先讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出圖象，然后觀察圖象，總結(jié)函數(shù)圖象的性質(zhì)。至此，學(xué)生已經(jīng)初步領(lǐng)略到數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，教師應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)地選擇訓(xùn)練題對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，推動(dòng)數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中初步形成。(三)應(yīng)用發(fā)展1.分段函數(shù)在分段函數(shù)中，由于函數(shù)的自變量在不同的取值范圍內(nèi)相應(yīng)的關(guān)系式也不同，單用關(guān)系式對(duì)函數(shù)的變化情況的描述不夠直觀，也容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，因此，教學(xué)中宜畫(huà)出函數(shù)的圖象，更有助于學(xué)生對(duì)分段函數(shù)特點(diǎn)的理解。2.勾股定理的證明為了證明勾股定理，只要將四個(gè)全等的直角三角形圍成如圖形狀即可證得。3.反比例函數(shù)的圖