高中數(shù)學(xué)立體幾何常考證明習(xí)題匯總

高中數(shù)學(xué)立體幾何?？紦?jù)明習(xí)題匯總高中數(shù)學(xué)立體幾何?？紦?jù)明習(xí)題匯總高中數(shù)學(xué)立體幾何?？紦?jù)明習(xí)題匯總新課標(biāo)立體幾何常考據(jù)明題匯總1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)（1）求證：EFGH是平行四邊形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。AEHBDFGC證明：在ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)∴1EH//BD,EHBD2同理，1FG//BD,FGBD∴EH//FG,EHFG∴四邊形EFGH是平行四邊形。2(2)90°30°考點(diǎn)：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中點(diǎn)。求證：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。A證明：（1）BCACAEBECEABE同理，ADBDAEBEDEABBC又∵CEDEE∴AB平面CDED（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC考點(diǎn)：線面垂直，面面垂直的判斷3、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，求證：A1C//平面BDE。AD1證明：連接AC交BD于O，連接EO，B1C∵E為AA的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)1E∴EO為三角形AAC的中位線∴EO//A1C1AD又EO在平面BDE內(nèi)，AC在平面BDE外1B

C∴A1C//平面BDE。考點(diǎn)：線面平行的判斷4、已知ABC中ACB90o,SA面ABC,ADSC,求證：AD面SBC．證明：∵ACB90°BCACS又SA面ABCSABCBC面SACDBCADB

A又SCAD,SCBCCAD面SBCC考點(diǎn)：線面垂直的判斷5、已知正方體ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點(diǎn).D1C1求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)A1C面AB1D1．ACBDO證明：（1）連接A1C1，設(shè)11111，連接AO1A1B1∵ABCDA1B1C1D1是正方體A1ACC1是平行四邊形∴A1C1∥AC且A1C1AC又O1,O分別是A1C1,AC的中點(diǎn)，∴O1C1∥AO且O1C1AODOABCAOCO是平行四邊形11C1O∥AO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1∴C1O∥面AB1D1（2）QCC1面A1B1C1D1CC1B1D!

又∵A1C1B1D1，BD面ACC即A1CB1D11111同理可證A1CAD1，又DBADD1111AC面AB1D11考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用平行四邊形），線面垂直的判斷6、正方體ABCDA'B'C'D'中，求證：（1）AC平面B'D'DB；（2）BD'平面ACB'.考點(diǎn)：線面垂直的判斷7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；D1C1(2)EFAACCEBDFBD若、分別是，的中點(diǎn)，求證：平面∥平面．1111證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，A1B1F又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，EGC

D∴BD∥平面B1D1C．A

B同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點(diǎn)G，∴AE∥B1G．從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用平行四邊形）8、周圍體ABCD中，ACBD,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，且2EFAC，2BDCo，求證：BD平面ACD90證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG,FG，∵E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，∴EG1//AC21122122//FGBD，又ACBD,∴FGAC，∴在EFG中，EGFGACEF222o，即BDCD，ACCDC∴EGFG，∴BDAC，又BDC90∴BD平面ACD考點(diǎn)：線面垂直的判斷,三角形中位線，構(gòu)造直角三角形9、如圖P是ABC所在平面外一點(diǎn)，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中點(diǎn)，N是AB上的點(diǎn)，AN3NBo（1）求證：MNAB；（2）當(dāng)APB90，AB2BC4時(shí)，求MN的長。P證明：（1）取PA的中點(diǎn)Q，連接MQ,NQ，∵M(jìn)是PB的中點(diǎn)，

∴MQ//BC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PABM∴QN是MN在平面PAB內(nèi)的射影，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，∵PAPB,∴CAPDAB，又AN3NB，∴BNND∴QN//PD，∴QNAB，由三垂線定理得MNABNBo（2）∵APB90，PAPB,∴1PDAB2，∴QN1，∵M(jìn)Q平面PAB.∴MQNQ，且21MQBC1，∴MN22考點(diǎn)：三垂線定理10、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點(diǎn).求證：平面D1EF∥平面BDG.證明：∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，EF∥BD又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG∵DGEB四邊形D1GBE為平行四邊形，D1E∥GB1又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDGEFDEE，平面1DEF∥平面BDG1考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用三角形中位線）11、如圖，在正方體ABCDABCD中，E是AA1的中點(diǎn).1111（1）求證：A1C//平面BDE；（2）求證：平面AAC平面BDE.1證明：（1）設(shè)ACBDO，∵E、O分別是AA1、AC的中點(diǎn)，A1C∥EO又AC平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE1（2）∵AA平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD1又BDAC，ACAA1A，BD平面AAC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC1考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用三角形中位線），面面垂直的判斷12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E為BC的中點(diǎn)．（1）求證：DE平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角．證明：在ADE中，222ADAEDE，AEDE∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE為DP與平面PAE所成的角在RtPAD，PD42，在RtDCE中，DE22在RtDEP中，PD2DE，DPE030考點(diǎn)：線面垂直的判斷,構(gòu)造直角三角形13、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是0DAB60且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG平面PAD；（2）求證：ADPB；（3）求二面角ABCP的大?。C明：（1）ABD為等邊三角形且G為AD的中點(diǎn)，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點(diǎn)，ADPG且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB又BGAD，AD∥BC，BGBCPBG為二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PGBG，PBG045考點(diǎn)：線面垂直的判斷,構(gòu)造直角三角形,面面垂直的性質(zhì)定理，二面角的求法（定義法）14、如圖1,在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O平面MBD．證明：連接MO，AAACAAM，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，11，∴DB⊥平面AACC，而A1O平面A1ACC1∴DB⊥A1O．113設(shè)正方體棱長為a，則22AOa，12232MOa．4922在Rt△A1C1M中，AMa．∵14222AOMOAM，∴A1OOM．11∵OM∩DB=O，∴AO⊥平面MBD．1考點(diǎn)：線面垂直的判斷，運(yùn)用勾股定理追求線線垂直15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連接CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．∵ADBD，∴DFAB．又CFIDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴AH平面BCD．考點(diǎn)：線面垂直的判斷16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1DCAB證明：連接AC∵⊥∴AC為A1C在平面AC上的射影BDACBDAC1同理可證ACBC11AC平面BCD11考點(diǎn)：線面垂直的判斷，三垂線定理17、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：

平面ABC⊥平面BSC．證明∵SB=SA=SC