離散型隨機(jī)變量均值市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

2.3.1離散型隨機(jī)變量均值第1頁(yè)

引入：某商場(chǎng)為滿足市場(chǎng)需求要將單價(jià)分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg

3種糖果按3：2：1百分比混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果質(zhì)量都相等，怎樣對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？定價(jià)為能夠嗎？第2頁(yè)x182436p1/21/31/618×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)假如你買了1kg這種混合糖果，你要付多少錢？

而你買糖果實(shí)際價(jià)值剛好是23元嗎？

權(quán)數(shù)加權(quán)平均第3頁(yè)

則稱為隨機(jī)變量X均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱為期望。

X……P……普通地,若離散型隨機(jī)變量X概率分布為它反應(yīng)了離散型隨機(jī)變量取值平均水平。1、離散型隨機(jī)變量均值定義第4頁(yè)求離散型隨機(jī)變量均值(期望)步驟：①、確定離散型隨機(jī)變量可能取值。②、寫出分布列，并檢驗(yàn)分布列正確是否。③、求出均值(期望)。第5頁(yè)例1、隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)X均值X123456P1/61/61/61/61/61/6解：隨機(jī)變量X取值為1，2，3，4，5，6其分布列為所以隨機(jī)變量X均值為E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能了解3.5含義嗎？變式：將所得點(diǎn)數(shù)2倍加1作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1，試求Y均值？第6頁(yè)X

1

23

4

5

6P1/61/61/61/61/61/6解：隨機(jī)變量Y取值為3，5，7，9，11，13其分布列為所以隨機(jī)變量Y均值為E（Y）=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8Y35791113變式：將所得點(diǎn)數(shù)2倍加1作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1，試求Y均值？第7頁(yè)X……P……Y……P……證：設(shè)離散型隨機(jī)變量X概率分布為所以Y分布列為尤其地：E(c)=c(其中c為常數(shù))第8頁(yè)設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，若Y=aX+b,，其中a,b為常數(shù)，則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b2、隨機(jī)變量期望值（均值）線性性質(zhì)第9頁(yè)1、隨機(jī)變量ξ分布列是ξ135P0.50.30.2(1)則E(ξ)=.

2、隨機(jī)變量ξ分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，則E(η)=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,則a=

b=

.0.40.1練習(xí)：第10頁(yè)解:ξ分布列為所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例2、籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明當(dāng)前罰球命中概率為0.85，求他罰球1次得分ξ均值？ξ01P0.150.853、幾個(gè)特殊分布期望1-PPP1-PP結(jié)論1：兩點(diǎn)分布期望：若X～B（1，p），則E(X)=p第11頁(yè)

求證：若ξ~B(n，p)，則E(ξ)=np∴E(ξ)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k證實(shí)：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)ξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np第12頁(yè)由題ξ～B(10，0.85),則E(ξ)=10×0.85=8.5例3：籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明當(dāng)前罰球命中概率為0.85，求他罰球10次時(shí)進(jìn)球個(gè)數(shù)ξ均值？結(jié)論2：二項(xiàng)分布期望：若ξ~B(n，p)，則E(ξ)=np變式1：罰球10次得分ξ均值？變式2：若罰球命中得2分，罰不中得0分，罰球10次得分X均值？由題ξ～B(10，0.85),則E(ξ)=10×0.85=8.5變式3：若罰球命中得3分，罰不中得-1分，罰球10次得分Y均值？第13頁(yè)練習(xí)：一個(gè)袋子里裝有大小相同3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)數(shù)學(xué)期望是

.3第14頁(yè)例3、一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題組成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每小題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任一題概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每小題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中成績(jī)均值。

第15頁(yè)解：

設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案選擇題個(gè)數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，E(ξ)＝20×0.9＝18，E(η)＝20×0.25＝5．因?yàn)榇饘?duì)每小題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)分別是5ξ和5η。所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中成績(jī)均值分別是E(5ξ)＝5E(ξ)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25．第16頁(yè)例4：依據(jù)氣象預(yù)報(bào),某地域近期有小洪水概率為0.25,有大洪水概率為0.01.該地域某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備,碰到大洪水時(shí)損失60000元,碰到小洪水損失10000元.為保護(hù)設(shè)備,有以下3種方案:

方案1:運(yùn)走設(shè)備,搬運(yùn)費(fèi)為3800元;

方案2:建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為元,

但圍墻只能防小洪水;

方案3:不采取任何辦法,希望不發(fā)生洪水.

試比較哪一個(gè)方案好?第17頁(yè)第18頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)例5、袋中有4個(gè)紅球,3個(gè)黑球,從袋中隨機(jī)取球,每取到1個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)黑球得1分.(1)今從袋中隨機(jī)取4個(gè)球,求得分ξ概率分布與期望.(2)今從袋中每次摸1個(gè)球,看清顏色后放回再摸1個(gè)球,求連續(xù)4次得分η期望.第21頁(yè)練習(xí)：某商場(chǎng)促銷決議：

統(tǒng)計(jì)資料表明，每年國(guó)慶節(jié)商場(chǎng)內(nèi)促銷活動(dòng)可贏利2萬(wàn)元；商場(chǎng)外促銷活動(dòng)如不遇下雨可贏利10萬(wàn)元；如遇下雨則損失4萬(wàn)元。9月30日氣象預(yù)報(bào)國(guó)慶節(jié)下雨概率為40%，商場(chǎng)應(yīng)選擇哪種促銷方式？第22頁(yè)商場(chǎng)促銷問題解：設(shè)商場(chǎng)在商場(chǎng)外促銷活動(dòng)中取得經(jīng)濟(jì)效益為萬(wàn)元,則分布列為：0.40.6P－410E=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4萬(wàn)元變式1：若下雨概率為0.6呢?變式2:下雨概率為多少時(shí),在商場(chǎng)內(nèi)、外搞促銷沒有區(qū)分.

＞2萬(wàn)元,故應(yīng)選擇在商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng).第23頁(yè)（湖北卷17題）袋中有20個(gè)大小相同球，其中記上0號(hào)有10個(gè)，記上n號(hào)有n個(gè)（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.X表示所取球標(biāo)號(hào).（Ⅰ）求x分布列，期望;（Ⅱ）若第24頁(yè)解：（Ⅰ）X分布列：

X期望：

X01234P（Ⅱ）

第25頁(yè)六.摸彩中獎(jiǎng)問題一個(gè)布袋內(nèi)裝有6個(gè)紅球與6個(gè)黃球，除顏色不一樣外，六個(gè)球完全一樣，每次從袋中摸6個(gè)球，輸贏規(guī)則為：

6個(gè)全紅贏得100元

5紅1黃贏得50元

4紅2黃贏得20元

3紅3黃輸100元

2紅4黃贏得20元