微積分基本定理課件

微積分基本定理微積分基本定理微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式)(1)條件：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且___________.(2)結(jié)論：=__________.(3)符號表示：

=_________.(4)作用：建立了____與____間的密切聯(lián)系，并提供了計算定積分的有效方法.F(b)-F(a)F′(x)=f(x)F(b)-F(a)積分導(dǎo)數(shù)微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式)F(b)-F(a)F′(1.被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)唯一嗎？提示：不唯一.因為當F′(x)=f(x)時，［F(x)+C］′=f(x)(C為常數(shù))，所以F(x)+C也是f(x)的一個原函數(shù).實際上，=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).2.=_______.【解析】∵(x+sinx)′=1+cosx,∴==π+2.答案：π+21.被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)唯一嗎？3.=______.【解析】∵=x2-x,∴=.答案：4.若=3，則k＝_____.【解析】∵(x2+kx)′=2x+k,∴=1+k=3,∴k=2.答案：23.=______.導(dǎo)數(shù)與定積分的聯(lián)系(1)由于[F(x)+C]′=f(x)，所以F(x)+C也是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，其中C為常數(shù).(2)利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)，通常我們運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，從反方向上求出F(x)，因此可見求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算.(關(guān)鍵詞：互逆運算)

導(dǎo)數(shù)與定積分的聯(lián)系求簡單函數(shù)的定積分【技法點撥】利用微積分基本定理求簡單函數(shù)的定積分的注意點和步驟(1)注意點：當被積函數(shù)的原函數(shù)不易求解時，可將被積函數(shù)適當變形后再求解.具體的方法是能化簡的化簡，不能化簡的變?yōu)橹笖?shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、正余弦函數(shù)的和或差的形式.(關(guān)鍵點：適當變形)求簡單函數(shù)的定積分(2)步驟：第一步：求出f(x)的一個原函數(shù)F(x)；第二步：計算F(b)-F(a).(2)步驟：【典例訓(xùn)練】（建議教師以第2題為例重點講解）1.的值為()(A)1+ln2 (B)2+ln2(C)3+ln2 (D)4+ln22.計算下列定積分：(1)；(2)；(3)；(4).【典例訓(xùn)練】（建議教師以第2題為例重點講解）【解析】1.選D.∵f(x)=，取F(x)=x2+x+lnx，則F′(x)=2x+1+，∴=4+ln2.2.(1)∵[+2x]′=x+2，∴=(×22+2×2)-(×12+2×1)=.【解析】1.選D.∵f(x)=(2)∵(x2)′=2x,()′=-，∴=.(3)∵[]′=(x-1)5，∴=.(2)∵(x2)′=2x,()′=-，(4)∵=(1-cosx),[(x-sinx)]′=(1-cosx)，∴=.(4)∵=(1-cosx),【互動探究】若將題2(1)變?yōu)椋蠖ǚe分.【解析】∵[(t+2)x]′=t+2，∴=t+2.

【互動探究】若將題2(1)變?yōu)?，求定積分.【思考】(1)解答題1的注意點是什么？(2)解答題2的關(guān)鍵是什么？提示：(1)當原函數(shù)不易求出時，可將被積函數(shù)適當變形后再求解.(2)關(guān)鍵是正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，分清積分的上限與下限.【思考】(1)解答題1的注意點是什么？

幾類特殊被積函數(shù)的定積分【技法點撥】1.三類特殊被積函數(shù)的定積分的求法(1)直接用微積分基本定理不易求解時，可以轉(zhuǎn)化為用定積分的幾何意義求定積分.(2)被積函數(shù)為分段函數(shù)時，通常是依據(jù)定積分的性質(zhì)(3)，先分段積分，再求和，要注意各段定積分的上限和下限.(3)被積函數(shù)含絕對值時，需要去掉絕對值符號，即討論f(x)的正負，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求定積分的問題.幾類特殊被積函數(shù)的定積分2.正確認識，與不同的幾何意義表示x軸，直線x=a,x=b及曲線y=f(x)所圍成圖形面積的代數(shù)和，可正、可負、可零.表示區(qū)間[a,b]上以|f(x)|為曲邊的曲邊梯形的面積.表示的絕對值.2.正確認識，與【典例訓(xùn)練】（建議教師以第3題為例重點講解）1.設(shè)f(x)=則的值為()(A) (B) (C) (D)22.計算定積分=______.3.求下列定積分：(1)；(2).【典例訓(xùn)練】（建議教師以第3題為例重點講解）【解析】1.A.∵=.2.解題流程：去絕對值∵f(x)=|x+3|=性質(zhì)應(yīng)用【解析】1.A.∵去絕性質(zhì)答案：5分段積分分別取,,則F1＇(x)=-x-3,F2＇(x)=x+3，

===5.求和答案：5分段分別取,3.(1)①當-a≤-4即a≥4時，

=;②當-4＜-a＜3即-3＜a＜4時，

==;3.(1)①當-a≤-4即a≥4時，③當-a≥3即a≤-3時，==-7a+,綜上，

③當-a≥3即a≤-3時，(2)=====-2.(2)【歸納】解答題1的關(guān)鍵點及題2的注意點.提示：(1)求分段函數(shù)的定積分的關(guān)鍵是利用定積分的性質(zhì)將其表示為幾段積分和的形式.(2)對于含絕對值的解析式，注意先根據(jù)絕對值的意義找到分界點，去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)；含有字母參數(shù)的絕對值問題，要注意分類討論.【歸納】解答題1的關(guān)鍵點及題2的注意點.

定積分的綜合應(yīng)用【技法點撥】定積分綜合應(yīng)用的認識利用定積分求平面區(qū)域面積的方法廣泛應(yīng)用于求不規(guī)則圖形的面積，這種題型往往與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最值、不等式等相關(guān)知識相結(jié)合.應(yīng)用時要把定積分和用定積分計算平面圖形的面積這兩類問題區(qū)分開.定積分是一種和的極限，可以為正，也可以為負或零，而平面圖形的面積總為正.(關(guān)鍵詞：定積分計算與平面圖形的面積)定積分的綜合應(yīng)用【典例訓(xùn)練】(建議教師以第2題為例重點講解)1.設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且=5，，則f(x)的解析式為______________.2.已知f(x)=，F(xiàn)(a)=，求函數(shù)F(a)的最小值.【典例訓(xùn)練】(建議教師以第2題為例重點講解)【解析】1.∵f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)=kx+b(k≠0)，則==k+b=5，=k+b=，解方程組得k=4,b=3，∴f(x)=4x+3.答案：f(x)=4x+3【解析】1.∵f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)=kx+b(k2.∵f(x)===6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2，∴F(a)====2×13+2a×12+a2×1=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1，∴當a=-1時，F(xiàn)(a)取得最小值1.

2.∵f(x)=【想一想】(1)解答題1用到的思想方法是什么？(2)解答題2的關(guān)鍵點是什么？提示：(1)解答題1是利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，其實質(zhì)是方程思想的應(yīng)用.(2)關(guān)鍵是通過求定積分構(gòu)造出關(guān)于a的函數(shù)F(a).【想一想】(1)解答題1用到的思想方法是什么？

分類討論思想在分段函數(shù)積分中的應(yīng)用【典例】(12分)已知f(x)=求使恒成立的k值.分類討論思想在分段函數(shù)積分【解題指導(dǎo)】【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】(1)當k∈(2,3]①時，

===，…………

4分整理得k3+3k+4=0，即k3+k2-k2+3k+4=0，∴(k+1)(k2-k+4)=0，∴k=-1.而k∈(2,3]，∴k=-1舍去.………………

5分【規(guī)范解答】(1)當k∈(2,3]①時，(2)當k∈[-2,2]①時，==(22+2)-(k2+k)+(3+×33)-(2+×23)=，………

8分∴k2+k=0，解得k=0或k=-1，…………

10分綜上所述，k=0或k=-1③.…………………

12分(2)當k∈[-2,2]①時，【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②③見規(guī)范解答過程)【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示微積分基本定理課件【規(guī)范訓(xùn)練】(12分)已知=2a+6且f(t)=為偶函數(shù)，求a,b.【解題設(shè)問】(1)由已知條件可以得到什么？兩個定積分的值可用a,b表示，進而得到關(guān)于a,b的兩個方程.(2)利用微積分基本定理求兩個定積分時，應(yīng)注意什么？注意到g(x)=x3+ax為奇函數(shù)，進而求時，結(jié)合定積分的性質(zhì)可以很容易求出.【規(guī)范訓(xùn)練】(12分)已知【規(guī)范答題】∵g(x)=x3+ax為奇函數(shù)，∴=0，…………2分∴===0+(3a-b)[1-(-1)]=6a-2b，……………………4分∴6a-2b=2a+6，即2a-b=3.①……………

6分又f(t)==為偶函數(shù)，…………

8分∴3a-b=0.②………………10分聯(lián)立①②，解得a=-3,b=-9.

【規(guī)范答題】∵g(x)=x3+ax為奇函數(shù)，

微積分基本定理微積分基本定理微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式)(1)條件：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且___________.(2)結(jié)論：=__________.(3)符號表示：

=_________.(4)作用：建立了____與____間的密切聯(lián)系，并提供了計算定積分的有效方法.F(b)-F(a)F′(x)=f(x)F(b)-F(a)積分導(dǎo)數(shù)微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式)F(b)-F(a)F′(1.被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)唯一嗎？提示：不唯一.因為當F′(x)=f(x)時，［F(x)+C］′=f(x)(C為常數(shù))，所以F(x)+C也是f(x)的一個原函數(shù).實際上，=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).2.=_______.【解析】∵(x+sinx)′=1+cosx,∴==π+2.答案：π+21.被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)唯一嗎？3.=______.【解析】∵=x2-x,∴=.答案：4.若=3，則k＝_____.【解析】∵(x2+kx)′=2x+k,∴=1+k=3,∴k=2.答案：23.=______.導(dǎo)數(shù)與定積分的聯(lián)系(1)由于[F(x)+C]′=f(x)，所以F(x)+C也是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，其中C為常數(shù).(2)利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)，通常我們運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，從反方向上求出F(x)，因此可見求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算.(關(guān)鍵詞：互逆運算)

導(dǎo)數(shù)與定積分的聯(lián)系求簡單函數(shù)的定積分【技法點撥】利用微積分基本定理求簡單函數(shù)的定積分的注意點和步驟(1)注意點：當被積函數(shù)的原函數(shù)不易求解時，可將被積函數(shù)適當變形后再求解.具體的方法是能化簡的化簡，不能化簡的變?yōu)橹笖?shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、正余弦函數(shù)的和或差的形式.(關(guān)鍵點：適當變形)求簡單函數(shù)的定積分(2)步驟：第一步：求出f(x)的一個原函數(shù)F(x)；第二步：計算F(b)-F(a).(2)步驟：【典例訓(xùn)練】（建議教師以第2題為例重點講解）1.的值為()(A)1+ln2 (B)2+ln2(C)3+ln2 (D)4+ln22.計算下列定積分：(1)；(2)；(3)；(4).【典例訓(xùn)練】（建議教師以第2題為例重點講解）【解析】1.選D.∵f(x)=，取F(x)=x2+x+lnx，則F′(x)=2x+1+，∴=4+ln2.2.(1)∵[+2x]′=x+2，∴=(×22+2×2)-(×12+2×1)=.【解析】1.選D.∵f(x)=(2)∵(x2)′=2x,()′=-，∴=.(3)∵[]′=(x-1)5，∴=.(2)∵(x2)′=2x,()′=-，(4)∵=(1-cosx),[(x-sinx)]′=(1-cosx)，∴=.(4)∵=(1-cosx),【互動探究】若將題2(1)變?yōu)?，求定積分.【解析】∵[(t+2)x]′=t+2，∴=t+2.

【互動探究】若將題2(1)變?yōu)?，求定積分.【思考】(1)解答題1的注意點是什么？(2)解答題2的關(guān)鍵是什么？提示：(1)當原函數(shù)不易求出時，可將被積函數(shù)適當變形后再求解.(2)關(guān)鍵是正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，分清積分的上限與下限.【思考】(1)解答題1的注意點是什么？

幾類特殊被積函數(shù)的定積分【技法點撥】1.三類特殊被積函數(shù)的定積分的求法(1)直接用微積分基本定理不易求解時，可以轉(zhuǎn)化為用定積分的幾何意義求定積分.(2)被積函數(shù)為分段函數(shù)時，通常是依據(jù)定積分的性質(zhì)(3)，先分段積分，再求和，要注意各段定積分的上限和下限.(3)被積函數(shù)含絕對值時，需要去掉絕對值符號，即討論f(x)的正負，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求定積分的問題.幾類特殊被積函數(shù)的定積分2.正確認識，與不同的幾何意義表示x軸，直線x=a,x=b及曲線y=f(x)所圍成圖形面積的代數(shù)和，可正、可負、可零.表示區(qū)間[a,b]上以|f(x)|為曲邊的曲邊梯形的面積.表示的絕對值.2.正確認識，與【典例訓(xùn)練】（建議教師以第3題為例重點講解）1.設(shè)f(x)=則的值為()(A) (B) (C) (D)22.計算定積分=______.3.求下列定積分：(1)；(2).【典例訓(xùn)練】（建議教師以第3題為例重點講解）【解析】1.A.∵=.2.解題流程：去絕對值∵f(x)=|x+3|=性質(zhì)應(yīng)用【解析】1.A.∵去絕性質(zhì)答案：5分段積分分別取,,則F1＇(x)=-x-3,F2＇(x)=x+3，

===5.求和答案：5分段分別取,3.(1)①當-a≤-4即a≥4時，

=;②當-4＜-a＜3即-3＜a＜4時，

==;3.(1)①當-a≤-4即a≥4時，③當-a≥3即a≤-3時，==-7a+,綜上，

③當-a≥3即a≤-3時，(2)=====-2.(2)【歸納】解答題1的關(guān)鍵點及題2的注意點.提示：(1)求分段函數(shù)的定積分的關(guān)鍵是利用定積分的性質(zhì)將其表示為幾段積分和的形式.(2)對于含絕對值的解析式，注意先根據(jù)絕對值的意義找到分界點，去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)；含有字母參數(shù)的絕對值問題，要注意分類討論.【歸納】解答題1的關(guān)鍵點及題2的注意點.

定積分的綜合應(yīng)用【技法點撥】定積分綜合應(yīng)用的認識利用定積分求平面區(qū)域面積的方法廣泛應(yīng)用于求不規(guī)則圖形的面積，這種題型往往與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最值、不等式等相關(guān)知識相結(jié)合.應(yīng)用時要把定積分和用定積分計算平面圖形的面積這兩類問題區(qū)分開.定積分是一種和的極限，可以為正，也可以為負或零，而平面圖形的面積總為正.(關(guān)鍵詞：定積分計算與平面圖形的面積)定積分的綜合應(yīng)用【典例訓(xùn)練】(建議教師以第2題為例重點講解)1.設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且=5，，則f(x)的解析式為______________.2.已知f(x)=，F(xiàn)(a)=，求函數(shù)F(a)的最小值.【典例訓(xùn)練】(建議教師以第2題為例重點講解)【解析】1.∵f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)=kx+b(k≠0)，則==k+b=5，=k+b=，解方程組得k=4,b=3，∴f(x)=4x+3.答案：f(x)=4x+3【解析】1.∵f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)=kx+b(k2.∵f(x)===6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2，∴F(a)====2×13+2a×12+a2×1=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1，∴當a=-1時，F(xiàn)(a)取得最小值1.

2.∵f(x)=【想一想】(1)解答題1用到的思想方法是什么？(2)解答題2的關(guān)鍵點是什么？提示：(1)解答題1是利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，其實質(zhì)是方程思想的應(yīng)用.(2)關(guān)鍵是通過求定積分構(gòu)造出關(guān)于a的函數(shù)F(a).【想一想】(1)解答題1用到的思想方法是什么？

分類討論思想在分段函數(shù)積分中的應(yīng)用【典例】(12分)已知f(x)=求使恒成立的k值.分類討論思想在分段函數(shù)積分【解題指導(dǎo)】【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】(1)當k∈(2,3]①時，