廣東省東莞市高級(jí)中學(xué)2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．3．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為4．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為，并記相應(yīng)的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．6．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．248．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}9．已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．11．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．12．在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A． B． C．5 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并在所得射線上取一點(diǎn)，使得，連接，則的面積為_(kāi)_________．14．已知向量，，若，則______.15．某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)），排課要求為：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語(yǔ)不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有__________種.16．某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識(shí)競(jìng)賽，則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為_(kāi)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：直線．18．（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無(wú)底薪，單以內(nèi)（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天，求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率；（2）假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說(shuō)明你的理由.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為.（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到距離的取值范圍.20．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．21．（12分）設(shè)函數(shù)（）的最小值為.（1）求的值；（2）若，，為正實(shí)數(shù)，且，證明：.22．（10分）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【答案解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【題目詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2x．故選B．【答案點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．3、C【答案解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【題目詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.4、C【答案解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見(jiàn)的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、C【答案解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時(shí)有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式，且相應(yīng)極大值，分組求和即得【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)有，，∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí)，∴，，，…，均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴，，∴對(duì)應(yīng)極值，，∴故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題6、C【答案解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，即，又，即，運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以，又，解?故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.7、C【答案解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計(jì)算得到答案.【題目詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.8、D【答案解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)榧?，故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【答案解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【題目詳解】，，，，即，故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.10、D【答案解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程，對(duì)賦值即可求解.【題目詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后的解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，有最小正值為.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.11、B【答案解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求.【題目詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.12、B【答案解析】

據(jù)題意以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問(wèn)題，難度一般.長(zhǎng)方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問(wèn)題，如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進(jìn)而得，得，則面積可求【題目詳解】由，得，解得.因?yàn)椋?，，所?又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故答案為【答案點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題14、1【答案解析】

根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式即可求得的值.【題目詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡(jiǎn)可得解得故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、1344【答案解析】

分四種情況討論即可【題目詳解】解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有：所以共有1344種故答案為：1344【答案點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.16、【答案解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有，符合條件數(shù)有，后者除以前者即得結(jié)果【題目詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有，則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件，∴故答案為：【答案點(diǎn)睛】組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用，熟悉組合數(shù)公式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見(jiàn)解析【答案解析】

（1）設(shè)，求出后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值，從而得，即得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，設(shè)，由韋達(dá)定理得，設(shè)，利用三點(diǎn)共線，求得，然后驗(yàn)證即可．【題目詳解】解：（1）設(shè)，則，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，值最小，所以，解得，（舍負(fù)）所以，所以橢圓的方程為，（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，又所以，解得．而所以直線軸，即．【答案點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交問(wèn)題．直線與橢圓相交問(wèn)題，采取設(shè)而不求思想，設(shè)，設(shè)直線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，得出，再代入題中需要計(jì)算可證明的式子參與化簡(jiǎn)變形．18、（1）；（2）①分布列見(jiàn)解析，；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【答案解析】

（1）記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，可得當(dāng)時(shí)，，以此類推可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值．當(dāng)時(shí)，的值，同理可得：當(dāng)時(shí)，．的所有可能取值．可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出．【題目詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，則．（2）①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為，日工資為元，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的分布列為228234240247254．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元，因?yàn)?，所以小張?yīng)選擇甲公司應(yīng)聘．【答案點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1），.（2）【答案解析】

（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，即可求得的的普通方程，曲線的極坐標(biāo)方程為，利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:，即可求得答案；（2）的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即可求得答案.【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)的普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為，利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:的直角坐標(biāo)方程為.（2）的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為圓心到的距離為，點(diǎn)到的距離的取值范圍是.【答案點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式和點(diǎn)到直線距離公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析（2）【答案解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結(jié)合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【題目詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，設(shè)平面的法向量為，由可得:，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【答案解析】

（1）分類討論，去絕對(duì)值求出函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出的單調(diào)性，得出取最小值，即可求的值；（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出的最小值，即可證出.【題目詳解】（1）