2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件

第22講矩形、菱形、正方形第22講矩形、菱形、正方形1知識梳理整合提升2真題自測明確考向1知識梳理整合提升2真題自測明確考向知識梳理整合提升知識梳理整合提升=ab=ab2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件真題自測明確考向真題自測明確考向命題點1矩形的性質(zhì)(6年A卷5考，B卷4考，多與反比例函數(shù)、陰影部分面積的計算相結(jié)合一起考查)

1．(2018·重慶A)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點E，圖中陰影部分的面積是________(結(jié)果保留π)．

體驗重慶中考真題6－π命題點1矩形的性質(zhì)(6年A卷5考，B卷4考，多與反比例函數(shù)2．(2017·重慶B)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分別以A，C為圓心，AD，CB為半徑畫弧，交AB于點E，交CD于點F，則圖中陰影部分的面積是（

） A．4－2π B．8－

C．8－2π D．8－4πC2．(2017·重慶B)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD延伸訓(xùn)練3．(2020·畢節(jié))如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF的長是（） A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cmD延伸訓(xùn)練4．(2020·湘西)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，則點C到x軸的距離等于( ) A．a(chǎn)cosx＋bsinx B．a(chǎn)cosx＋bcosx C．a(chǎn)sinx＋bcosx D．a(chǎn)sinx＋bsinxA4．(2020·湘西)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形A命題點2菱形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷5考，多與反比例函數(shù)、陰影部分面積的計算相結(jié)合一起考查)5．(2019·重慶A)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠ABC＝60°，AB＝2，分別以點A、點C為圓心，以AO的長為半徑畫弧分別與菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為_________.(結(jié)果保留π)命題點2菱形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷5考，多與反比例函數(shù)6．(2015·重慶A)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點的縱坐標分別為3，1.反比例函數(shù)y＝

的圖象經(jīng)過A，B兩點，則菱形ABCD的面積為（

） A．2 B．4 C．2 D．4D6．(2015·重慶A)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABC7．(2020·樂山)如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是對角線BD的中點，過點O作OE⊥CD于點E，連接OA，則四邊形AOED的周長為( ) A．9＋2 B．9＋ C．7＋2 D．88．(2020·無錫)如圖，在菱形ABCD中，∠B＝50°，點E在CD上，若AE＝AC，則∠BAE＝_______.B115°7．(2020·樂山)如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B命題點3正方形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷4考，多與翻折變換、陰影部分面積的計算相結(jié)合一起考查)9．(2016·重慶B)如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，DE＝DC，連接AE，將△ADE沿AE翻折，點D落在點F處，點O是對角線BD的中點，連接OF并延長OF交CD于點G，連接BF，BG，則△BFG的周長是______________命題點3正方形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷4考，多與翻折變換10．(2015·重慶B)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，先以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，再以AB邊的中點為圓心，AB長的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是______(結(jié)果保留π)．2π10．(2015·重慶B)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中延伸訓(xùn)練11．(2020·臺州)下列是關(guān)于某個四邊形的三個結(jié)論：①它的對角線相等；②它是一個正方形；③它是一個矩形．下列推理過程正確的是() A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②A延伸訓(xùn)練A12．(2020·張家界)如圖，正方形ABCD的邊長為1，將其繞頂點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到CEFG位置，使得點B落在對角線CF上，則陰影部分的面積是________12．(2020·張家界)如圖，正方形ABCD的邊長為1，將13．(2020·株洲)如圖，△BEF的頂點E在正方形ABCD對角線AC的延長線上，AE與BF交于點G，連接AF、CF，滿足△ABF≌△CBE.(1)求證：∠EBF＝90°；(2)若正方形ABCD的邊長為1，CE＝2，求tan∠AFC的值．(1)證明：∵△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE.∵∠ABF＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°.13．(2020·株洲)如圖，△BEF的頂點E在正方形ABC(2)解：∵△ABF≌△CBE，∴∠AFB＝∠CEB.又∠FGA＝∠EGB，∴∠FAC＝∠EBF＝90°.∵正方形邊長為1，CE＝2.∴AC＝

，AF＝CE＝2.∴tan∠AFC＝

＝.(2)解：∵△ABF≌△CBE，突破重難點焦點1矩形的相關(guān)證明與計算樣題1在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是對角線BD上的動點，過點M作ME⊥BC于點E，連接AM，當△ADM是等腰三角形時，ME的長為( ) A. B. C. 或 D. 或

C突破重難點焦點1矩形的相關(guān)證明與計算C[解析]

①當AD＝DM時，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∴BD＝

＝5.∴BM＝BD－DM＝5－4＝1.∵ME⊥BC，DC⊥BC，∴ME∥CD，∴ ＝

，∴ ＝

，∴ME＝ . ②當M′A＝M′D時，易證M′E′是△BDC的中位線，∴M′E′＝CD＝ .故選C.[解析]①當AD＝DM時，變式訓(xùn)練1．(2020·青島)如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EF，EF與AC交于點O.若AE＝5，BF＝3，則AO的長為（

） A. B. C．2 D．42．(2020·包頭)如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE.若∠ADB＝30°，則tan∠DEC的值為______.C變式訓(xùn)練C3．(2020·北京)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.(1)求證：四邊形OEFG是矩形；(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．3．(2020·北京)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，OB＝OD.∵E是AD的中點，∴AE＝OE＝AD，∴∠EAO＝∠AOE.∵AE＝DE，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG.又OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四邊形OEFG是矩形．(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°.∵E是AD的中點，∴OE＝AE＝AD＝5.由(1)知，四邊形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝

＝3，∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.(2)解：方法指導(dǎo)1．矩形的判定：首先判定該四邊形為平行四邊形，然后找角或?qū)蔷€的關(guān)系．若角度容易求，則證其一內(nèi)角為90°，便可判定是矩形；若對角線容易求，則證其對角線相等即可判定為矩形．方法指導(dǎo)2．與矩形有關(guān)的計算：(1)若題目中涉及矩形的折疊，要注意折疊前后對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，即被折疊的角折疊之后在任何位置依舊是直角；(2)矩形四個角都是直角，則想到將所求或涉及的線段放在直角三角形中，常用勾股定理、特殊角三角函數(shù)進行計算；(3)常結(jié)合矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)，根據(jù)矩形對角線的關(guān)系應(yīng)用全等三角形的判定或等腰三角形的性質(zhì)進行求解．2．與矩形有關(guān)的計算：B焦點2菱形的相關(guān)證明與計算樣題2如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，且點O是BD的中點，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，則四邊形ABCD的面積為

（

） A．40 B．24 C．20 D．15B焦點2菱形的相關(guān)證明與計算[解析]

∵AB＝AD，點O是BD的中點，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO.∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四邊形ABCD的面積為×6×8＝24.故選B.[解析]∵AB＝AD，點O是BD的中點，變式訓(xùn)練4．(2020·黑龍江)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝6，OH＝4，則菱形ABCD的面積為( ) A．72 B．24 C．48 D．965．(2020·玉林)如圖，將兩張對邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD_____菱形(填“是”或“不是”)．C是變式訓(xùn)練C是6．(2020·云南)如圖，四邊形ABCD是菱形，點H為對角線AC的中點，點E在AB的延長線上，CE⊥AB，垂足為E，點F在AD的延長線上，CF⊥AD，垂足為F,(1)若∠BAD＝60°，求證：四邊形CEHF是菱形；(2)若CE＝4，△ACE的面積為16，求菱形ABCD的面積．6．(2020·云南)如圖，四邊形ABCD是菱形，點H為對角(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠EAC＝∠FAC＝30°.

又CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF＝AC.∵點H為對角線AC的中點，∴EH＝FH＝AC,∴CE＝CF＝EH＝FH,∴四邊形CEHF是菱形.(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，(2)解：∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面積為16,∴AE＝8，∴AC＝

＝.連接BD，則BD⊥AC，.∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠CAE，∴△ABH∽△ACE，∴，∴，∴BH＝

，∴BD＝2BH＝2，∴菱形ABCD的面積為(2)解：∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面積為16,方法指導(dǎo)1．在判定菱形時，首先觀察背景圖形：(1)若是平行四邊形，則直接找相等的鄰邊或證對角線垂直；(2)若是四邊形，則判斷四條邊相等，或者判斷該四邊形是平行四邊形，然后再證明是菱形．2．與菱形有關(guān)的計算的思路一般為：(1)求角度時，應(yīng)注意菱形的四條邊相等、對角相等、鄰角互補等，可利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化要求的角，直到方法指導(dǎo)找到與已知角的關(guān)系；(2)求長度(線段或周長)時，應(yīng)注意到利用等腰三角形的性質(zhì)；若菱形中存在一個角為60°，則連接另外兩頂點的對角線所分割的兩個三角形為等邊三角形，故在計算時，可借助等邊三角形的性質(zhì)進行求解；若菱形中存在直角三角形，則應(yīng)注意利用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進行計算；(3)求面積時，有：①底×高；②利用菱形的對角線互相垂直，得到S菱形＝×兩條對角線之積．根據(jù)所給的條件選擇合適的方法．找到與已知角的關(guān)系；焦點3正方形的相關(guān)證明與計算樣題3如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：①AN＝EN； ②當AE＝AF時，

；③BE＋DF＝EF； ④存在點E、F，使得NF＞DF.其中正確的個數(shù)是（

） A．1 B．2 C．3 D．4B焦點3正方形的相關(guān)證明與計算B[解析]

①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°.∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴ .又∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠ABD＝∠AEN＝45°，∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正確．[解析]①∵四邊形ABCD是正方形，②在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE＝DF.∵BC＝CD，∴CE＝CF.假設(shè)正方形邊長為1，設(shè)CE＝x，則BE＝1－x.如圖1，連接AC，交EF于O.∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分線，②在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴AC⊥EF，OE＝OF，∠EAO＝∠FAO.又Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠EAO＝∠FAO＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE.又AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO＝AB＝1，∴AC＝

＝AO＋OC.∴AC⊥EF，OE＝OF，∠EAO＝∠FAO.2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件③如圖2，△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∴∠EAF＝45°＝∠DAF＋∠BAE＝∠HAE.∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三點共線．在△AEF和△AEH中，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF＝EH＝BE＋BH＝BE＋DF，故③正確．③如圖2，△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則AF④∵∠FND＝∠ADN＋∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故不存在點E、F，使得NF＞DF，故④不正確．故選B.④∵∠FND＝∠ADN＋∠NAD＞45°，

變式訓(xùn)練7.(2020·棗莊)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是________8．(2020·青島)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點E在CD的延長線上，連接AE，點F是AE的中點，連接OF交AD于點G.若DE＝2，OF＝3，則點A到DF的距離為_______變式訓(xùn)練方法指導(dǎo)對于正方形性質(zhì)的相關(guān)計算問題，應(yīng)合理應(yīng)用其性質(zhì)及由性質(zhì)得到的一些結(jié)論：(1)四個內(nèi)角相等均為90°以及四邊相等；(2)對角線互相垂直平分且相等；(3)對角線平分一組對角得到45°角；(4)對角線的長度是邊長的

倍．方法指導(dǎo)提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)1．(2020·湖州)七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，流行于世界各地．由邊長為2的正方形可以制作一副中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示．分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行四邊形或矩形，則這兩個圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個數(shù)分別是( ) A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2D提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)1．(2020·湖州)七巧板是我國祖先的一項2．(2020·常山)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長補短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°.如圖，建立平面直角坐標系xOy，使得邊AB在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，則點C的坐標是________．2．(2020·常山)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標3．數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等(如圖所示)”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證．(以上材料來源于《古證復(fù)原的原理》、《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》)3．數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程．請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程．第22講矩形、菱形、正方形第22講矩形、菱形、正方形1知識梳理整合提升2真題自測明確考向1知識梳理整合提升2真題自測明確考向知識梳理整合提升知識梳理整合提升=ab=ab2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件2021年重慶中考數(shù)學(xué)考點解讀：第22講《矩形、菱形、正方形》課件真題自測明確考向真題自測明確考向命題點1矩形的性質(zhì)(6年A卷5考，B卷4考，多與反比例函數(shù)、陰影部分面積的計算相結(jié)合一起考查)

1．(2018·重慶A)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點E，圖中陰影部分的面積是________(結(jié)果保留π)．

體驗重慶中考真題6－π命題點1矩形的性質(zhì)(6年A卷5考，B卷4考，多與反比例函數(shù)2．(2017·重慶B)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分別以A，C為圓心，AD，CB為半徑畫弧，交AB于點E，交CD于點F，則圖中陰影部分的面積是（

） A．4－2π B．8－

C．8－2π D．8－4πC2．(2017·重慶B)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD延伸訓(xùn)練3．(2020·畢節(jié))如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF的長是（） A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cmD延伸訓(xùn)練4．(2020·湘西)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，則點C到x軸的距離等于( ) A．a(chǎn)cosx＋bsinx B．a(chǎn)cosx＋bcosx C．a(chǎn)sinx＋bcosx D．a(chǎn)sinx＋bsinxA4．(2020·湘西)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形A命題點2菱形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷5考，多與反比例函數(shù)、陰影部分面積的計算相結(jié)合一起考查)5．(2019·重慶A)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠ABC＝60°，AB＝2，分別以點A、點C為圓心，以AO的長為半徑畫弧分別與菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為_________.(結(jié)果保留π)命題點2菱形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷5考，多與反比例函數(shù)6．(2015·重慶A)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點的縱坐標分別為3，1.反比例函數(shù)y＝

的圖象經(jīng)過A，B兩點，則菱形ABCD的面積為（

） A．2 B．4 C．2 D．4D6．(2015·重慶A)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABC7．(2020·樂山)如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是對角線BD的中點，過點O作OE⊥CD于點E，連接OA，則四邊形AOED的周長為( ) A．9＋2 B．9＋ C．7＋2 D．88．(2020·無錫)如圖，在菱形ABCD中，∠B＝50°，點E在CD上，若AE＝AC，則∠BAE＝_______.B115°7．(2020·樂山)如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B命題點3正方形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷4考，多與翻折變換、陰影部分面積的計算相結(jié)合一起考查)9．(2016·重慶B)如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，DE＝DC，連接AE，將△ADE沿AE翻折，點D落在點F處，點O是對角線BD的中點，連接OF并延長OF交CD于點G，連接BF，BG，則△BFG的周長是______________命題點3正方形的性質(zhì)(6年A卷3考，B卷4考，多與翻折變換10．(2015·重慶B)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，先以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，再以AB邊的中點為圓心，AB長的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是______(結(jié)果保留π)．2π10．(2015·重慶B)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中延伸訓(xùn)練11．(2020·臺州)下列是關(guān)于某個四邊形的三個結(jié)論：①它的對角線相等；②它是一個正方形；③它是一個矩形．下列推理過程正確的是() A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②A延伸訓(xùn)練A12．(2020·張家界)如圖，正方形ABCD的邊長為1，將其繞頂點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到CEFG位置，使得點B落在對角線CF上，則陰影部分的面積是________12．(2020·張家界)如圖，正方形ABCD的邊長為1，將13．(2020·株洲)如圖，△BEF的頂點E在正方形ABCD對角線AC的延長線上，AE與BF交于點G，連接AF、CF，滿足△ABF≌△CBE.(1)求證：∠EBF＝90°；(2)若正方形ABCD的邊長為1，CE＝2，求tan∠AFC的值．(1)證明：∵△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE.∵∠ABF＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°.13．(2020·株洲)如圖，△BEF的頂點E在正方形ABC(2)解：∵△ABF≌△CBE，∴∠AFB＝∠CEB.又∠FGA＝∠EGB，∴∠FAC＝∠EBF＝90°.∵正方形邊長為1，CE＝2.∴AC＝

，AF＝CE＝2.∴tan∠AFC＝

＝.(2)解：∵△ABF≌△CBE，突破重難點焦點1矩形的相關(guān)證明與計算樣題1在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是對角線BD上的動點，過點M作ME⊥BC于點E，連接AM，當△ADM是等腰三角形時，ME的長為( ) A. B. C. 或 D. 或

C突破重難點焦點1矩形的相關(guān)證明與計算C[解析]

①當AD＝DM時，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∴BD＝

＝5.∴BM＝BD－DM＝5－4＝1.∵ME⊥BC，DC⊥BC，∴ME∥CD，∴ ＝

，∴ ＝

，∴ME＝ . ②當M′A＝M′D時，易證M′E′是△BDC的中位線，∴M′E′＝CD＝ .故選C.[解析]①當AD＝DM時，變式訓(xùn)練1．(2020·青島)如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EF，EF與AC交于點O.若AE＝5，BF＝3，則AO的長為（

） A. B. C．2 D．42．(2020·包頭)如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE.若∠ADB＝30°，則tan∠DEC的值為______.C變式訓(xùn)練C3．(2020·北京)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.(1)求證：四邊形OEFG是矩形；(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．3．(2020·北京)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，OB＝OD.∵E是AD的中點，∴AE＝OE＝AD，∴∠EAO＝∠AOE.∵AE＝DE，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG.又OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四邊形OEFG是矩形．(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°.∵E是AD的中點，∴OE＝AE＝AD＝5.由(1)知，四邊形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝

＝3，∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.(2)解：方法指導(dǎo)1．矩形的判定：首先判定該四邊形為平行四邊形，然后找角或?qū)蔷€的關(guān)系．若角度容易求，則證其一內(nèi)角為90°，便可判定是矩形；若對角線容易求，則證其對角線相等即可判定為矩形．方法指導(dǎo)2．與矩形有關(guān)的計算：(1)若題目中涉及矩形的折疊，要注意折疊前后對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，即被折疊的角折疊之后在任何位置依舊是直角；(2)矩形四個角都是直角，則想到將所求或涉及的線段放在直角三角形中，常用勾股定理、特殊角三角函數(shù)進行計算；(3)常結(jié)合矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)，根據(jù)矩形對角線的關(guān)系應(yīng)用全等三角形的判定或等腰三角形的性質(zhì)進行求解．2．與矩形有關(guān)的計算：B焦點2菱形的相關(guān)證明與計算樣題2如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，且點O是BD的中點，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，則四邊形ABCD的面積為

（

） A．40 B．24 C．20 D．15B焦點2菱形的相關(guān)證明與計算[解析]

∵AB＝AD，點O是BD的中點，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO.∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四邊形ABCD的面積為×6×8＝24.故選B.[解析]∵AB＝AD，點O是BD的中點，變式訓(xùn)練4．(2020·黑龍江)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝6，OH＝4，則菱形ABCD的面積為( ) A．72 B．24 C．48 D．965．(2020·玉林)如圖，將兩張對邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD_____菱形(填“是”或“不是”)．C是變式訓(xùn)練C是6．(2020·云南)如圖，四邊形ABCD是菱形，點H為對角線AC的中點，點E在AB的延長線上，CE⊥AB，垂足為E，點F在AD的延長線上，CF⊥AD，垂足為F,(1)若∠BAD＝60°，求證：四邊形CEHF是菱形；(2)若CE＝4，△ACE的面積為16，求菱形ABCD的面積．6．(2020·云南)如圖，四邊形ABCD是菱形，點H為對角(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠EAC＝∠FAC＝30°.

又CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF＝AC.∵點H為對角線AC的中點，∴EH＝FH＝AC,∴CE＝CF＝EH＝FH,∴四邊形CEHF是菱形.(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，(2)解：∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面積為16,∴AE＝8，∴AC＝

＝.連接BD，則BD⊥AC，.∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠CAE，∴△ABH∽△ACE，∴，∴，∴BH＝

，∴BD＝2BH＝2，∴菱形ABCD的面積為(2)解：∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面積為16,方法指導(dǎo)1．在判定菱形時，首先觀察背景圖形：(1)若是平行四邊形，則直接找相等的鄰邊或證對角線垂直；(2)若是四邊形，則判斷四條邊相等，或者判斷該四邊形是平行四邊形，然后再證明是菱形．2．與菱形有關(guān)的計算的思路一般為：(1)求角度時，應(yīng)注意菱形的四條邊相等、對角相等、鄰角互補等，可利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化要求的角，直到方法指導(dǎo)找到與已知角的關(guān)系；(2)求長度(線段或周長)時，應(yīng)注意到利用等腰三角形的性質(zhì)；若菱形中存在一個角為60°，則連接另外兩頂點的對角線所分割的兩個三角形為等邊三角形，故在計算時，可借助等邊三角形的性質(zhì)進行求解；若菱形中存在直角三角形，則應(yīng)注意利用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進行計算；(3)求面積時，有：①底×高；②利用菱形的對角線互相垂直，得到S菱形＝×兩條對角線之積．根據(jù)所給的條件選擇合適的方法．找到與已知角的關(guān)系；焦點3正方形的相關(guān)證明與計算樣題3如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：①AN＝EN； ②當AE＝AF時，

；③BE＋DF＝EF； ④存在點E、F，使得NF＞DF.其中正確的個數(shù)是（

） A．1 B．2 C．3 D．4B焦點3正方形的相關(guān)證明與計算B[解析]

①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°.∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴ .又∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠ABD＝∠AEN＝45°，∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正確．[解析]①∵四邊形ABCD是正方形，②在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，