高中直線與方程知識點解析及經(jīng)典例題

-.z.高中數(shù)學(xué)必修2知識點——直線與方程一、直線與方程〔1〕直線的傾斜角定義：*軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與*軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°〔2〕直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與*軸的傾斜程度。當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，不存在。②過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點：(1)當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。*yo12l1l2例.如右圖，直線l1的傾斜角=30°，直線l1⊥*yo12l1l2解：k1=tan30°=∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—例：直線的傾斜角是()A.120°B.150°C.60°D.30°〔3〕直線方程①點斜式：直線斜率k，且過點注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于*1，所以它的方程是*=*1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：〔〕即不包含于平行于*軸或y直線兩點軸的直線，直線兩點，，當(dāng)寫成的形式時，方程可以表示任何一條直線。④截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。對于平行于坐標(biāo)軸或者過原點的方程不能用截距式。⑤一般式：〔A，B不全為0〕注意：eq\o\ac(○,1)各式的適用范圍eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于*軸的直線：〔b為常數(shù)〕；平行于y軸的直線：〔a為常數(shù)〕；例題：根據(jù)以下各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點A(8，—2)；.(2)經(jīng)過點B(4,2)，平行于*軸；.(3)在軸和軸上的截距分別是；.4)經(jīng)過兩點P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直線的方程為A*+By+C=0，假設(shè)直線經(jīng)過原點且位于第二、四象限，則〔〕A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0C．C=0，AB<0D．C=0，AB>0例2：直線的方程為A*—By—C=0，假設(shè)A、B、C滿足AB.>0且BC<0，則l直線不經(jīng)的象限是〔〕A．第一B．第二C．第三D．第四〔4〕直線系方程：即具有*一共同性質(zhì)的直線〔一〕平行直線系平行于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：〔C為常數(shù)〕〔二〕過定點的直線系〔ⅰ〕斜率為k的直線系：，直線過定點；〔ⅱ〕過兩條直線，的交點的直線系方程為〔為參數(shù)〕，其中直線不在直線系中。〔三〕垂直直線系垂直于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：例1：直線l：(2m+1)*+(m+1)y—7m—4=0所經(jīng)過的定點為。(m∈R)〔5〕兩直線平行與垂直當(dāng)，時，〔1〕；〔2〕注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否?！?〕與重合；〔4〕與相交。另外一種形式：一般的，當(dāng)，與時，〔1〕，或者?！?〕。〔3〕與重合===0?！?〕與相交。例.設(shè)直線l1經(jīng)過點A(m，1)、B(—3，4)，直線l2經(jīng)過點C(1，m)、D(—1，m+1)，當(dāng)(1)l1//l2(2)l1⊥l1時分別求出m的值例1.兩直線l1：*+(1+m)y=2—m和l2：2m*+4y+16=0，m為何值時l1與l2①相交②平行例2.兩直線l1：(3a+2)*+(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)*+(a+4)y—7=0垂直，求a值〔6〕兩條直線的交點相交交點坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數(shù)解與重合例3.求兩條垂直直線l1：2*+y+2=0和l2：m*+4y—2=0的交點坐標(biāo)例4.直線l的方程為，(1)求過點〔2，3〕且垂直于l的直線方程；(2)求過點〔2，3〕且平行于l的直線方程。例2：求滿足以下條件的直線方程(1)經(jīng)過點P(2，3)及兩條直線l1：*+3y—4=0和l2：5*+2y+1=0的交點Q；(2)經(jīng)過兩條直線l1：2*+y—8=0和l2：*—2y+1=0的交點且與直線4*—3y—7=0平行；(3)經(jīng)過兩條直線l1：2*—3y+10=0和l2：3*+4y—2=0的交點且與直線3*—2y+4=0垂直；〔7〕兩點間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，則〔8〕點到直線距離公式：一點到直線的距離〔9〕兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進展求解。對于來說：。例1：求平行線l1：3*+4y—12=0與l2：a*+8y+11=0之間的距離。例2：平行線l1：3*+2y—6=0與l2：6*+4y—3=0，求與它們距離相等的平行線方程。(10)對稱問題中心對稱A、假設(shè)點及關(guān)于對稱，則由中點坐標(biāo)公式得B、直線關(guān)于點的對稱，主要方法是：在直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們對于點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用，由點斜式得出所求直線的方程。軸對稱A、點關(guān)于直線的對稱：假設(shè)與關(guān)于直線對稱，則線段的中點在對稱軸上，而且連結(jié)的直線垂直于對稱軸，由方程組可得到點關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)〔其中。B、直線關(guān)于直線的對稱：此類問題一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線對稱的點來解決，假設(shè)直線與對稱軸相交，則交點必在與對稱的直線上，然后再求出上任一個點關(guān)于對稱軸對稱的點，則經(jīng)過交點及點的直線就是；假設(shè)直線與對稱軸平行，則與對稱的直線和到直線的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出的對稱直線。例1：直線l：2*—3y+1=0和點P(—1，—2).(1)分別求：點P(—1，—2)關(guān)于*軸、y軸、直線y=*、原點O的對稱點Q坐標(biāo)(2)分別求：直線l：2*—3y+1=0關(guān)于*軸、y軸、直線y=*、原點O的對稱的直線方程.(3)求直線l關(guān)于點P(—1，—2)對稱的直線方程。(4)求P(—1，—2)關(guān)于直線l軸對稱的直線方程。例2：點P(—1，—2)關(guān)于直線l：*+y—2=0的對稱點的坐標(biāo)為。11.中點坐標(biāo)公式：兩點P1(*1，y1)、P1(*1，y1)，則線段的中點M坐標(biāo)為(，)例.點A(7，—4)、B(—5,6),求線段AB的垂直平分線的方程直線方程練習(xí)題1．過點且平行于直線的直線方程為_____________2．