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文檔簡介
§3.4
運動定律的應(yīng)用應(yīng)用
定律應(yīng)注意:圖.是瞬時關(guān)系.①研究對象——質(zhì)點.②將其它物體對該質(zhì)點的作用歸結(jié)為力.畫③加速度是相對于慣性系的.④
F
ma是矢量式.解題中選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼?,?/p>
F
ma寫成分量式.⑥正確寫出約束方程.§3.4.1質(zhì)點的直線運動在直角坐標系中,
第二定律分量式為
Fix
max
Fiy
may
Fiz
maz第三定律分量式Fx
FxFy
Fy典型例子之一是“直線Fz
Fz”,下圖是示意圖.+_+_[例題1]
英國
大學(xué)物理教師阿特伍德(Ge
eAtwood,1746—1807), 設(shè)計機巧的演示實驗,他為驗證 第二定律而設(shè)計的滑輪裝置,稱作“阿特伍德機”,該機是最早出現(xiàn)驗證
定律的最好設(shè)備,于1784年頁于“關(guān)于物體的直線運動和轉(zhuǎn)動”一文中(下).物理學(xué)進行研究需要建立理想模型.在理論模型中,重物和m1和m2可視作質(zhì)點;滑輪是“理想的”,即繩和滑輪的質(zhì)量不計,軸承摩擦不計,繩不伸長.求重物后物體加速度及物體對繩的拉力.m12mx1mWFT2mWFT[解]選地球為慣性參考系.取質(zhì)點m1和m2為體,受力如圖由W2
FT2
m2a2不計繩和滑輪質(zhì)量,有1
T1第二定律,有
m1a1W
FFT1
FT2
FT建立坐標系Ox,約束關(guān)系x1
x2
πR
l
常量對時間求兩次導(dǎo)數(shù),得d2
x1
d2
x2a1
x
2
2
a2
xdt
dt第二定律分量式m1
g
FT
m1a1xm2
g
FT
m2a2
x
m2a1x1
2
(m1
m2
)g2
xm
ma
a求解,得
1
xg
2m1m2F1
2m
mT[ ]若
m1>
m2
,a1x
為正,
a2x為負,表明
m1的加速度與x
軸正向相同;若m1<m2
,則a1x為負,表明m1的加速度與
x軸的正向相反;若
m1=
m2
,加速度為零,即加速度的方向大小均取決于
m1和m2
.更深一層的
(
)1
2
(m1
m2
)g1
x2
xm
ma
ag
2m1m2F1
2m
mT[例題2
抽象得] 斜面質(zhì)量為m1
,滑塊質(zhì)量為
m2
,m1與
m2
之間、
m1與平面之間均無摩擦,用水平力
F推斜面.問斜面傾角
應(yīng)多大,
m1和
m2相對
.m1m2FOxym1FFNFN1W1m2FN
2W2,因而有[解]受力分析如右上圖,m1和m2相對共同的加速度a.根據(jù)第二、三定律,得N
1
N1F
F
W
F
m1a2
N2W
F
m2aFN1
FN
2直角坐標中分量式F
FN1
sin
m1aFN2
sin
m2am2
g
FN2
cos
0解方程得
arctan[F
(m1
m2
)
g]§3.4.2
變力作用下的直線運動若已知力求運動學(xué)方程,需作積分計算.動力學(xué)方程為d2
x
dxm
F
(t,
x,
)dt
2
x
dt)dtdxd2
xmdt
2x
F
(t,
x,或若已知力、坐標和速度的初始條件,可通過積分求解方程.(設(shè)方程為線性的.)[例題3]
已知一質(zhì)點從
自高空下落,設(shè)重力加速度始終保持一常量,質(zhì)點所受空氣阻力與其速率成正比.求質(zhì)點速度并與 下落相比.[解]
建立以開始下落處為坐標原點且鉛直向下的坐標系Oy.又選開始下落時為計時起點.W
mgF
vfv
—質(zhì)點速度為常量動力學(xué)方程為重力阻力dtm
dv
W
(v
)它在Oy
軸的投影為ydvy
g
vdt
m該式可寫作
g)
dtmmyy(
v
m
d(
v
g)m
t作不定積分,得mg
vy
Ce因
t
=0,v
y
0
故
C
mg
,于是mmg
tv
y
(1
e
)Otvyvy
max紅色直線表示
下落藍色曲線表示有阻力時,最后可達一極限——終極速度vy
max
mg
/
終極速度與高度無關(guān)落體2ghvy
max
與高度有關(guān)mmg
tv
y
(1
e
)
Fit
matv2
Fin
m
§3.4.3質(zhì)點的曲線運動在自然坐標系中,質(zhì)點動學(xué)方程分量式
Fin
——法向力(各力在法線方向投影的代數(shù)和)
Fit
——切向力(各力在切線方向投影的代數(shù)和)
——曲率半徑應(yīng)用:[例題4]
紫竹院公園有一旋風(fēng) 機,大意如圖所
示.設(shè)大圓盤轉(zhuǎn)軸OO′
與鉛直方向成
=18°,勻速轉(zhuǎn)動,角速度為0=
0.84
rad/s.
離該軸
R
=2.0
m
處又有與
OO′平行的PP′,繞
PP′
轉(zhuǎn)動的座椅與
PP′
軸距離為
r=1.6m.為簡單起見,設(shè)轉(zhuǎn)椅于大圓盤.設(shè)椅座光滑,側(cè)向力全來自扶手.又設(shè)兩游客質(zhì)量均為m=60
kg.求游客處于最高點B和較低點A處時受座椅的力.FPAFNAWFPBFNBWBenAetP
ANAF
F
W
maAF
F
W
maBP
BNB[解]游客作圓周運動.A、B二人受力分析如上右圖根據(jù)
第二、三定律,得分量式FNBt
W
cos
0PAn
0F
W
sin
m
2
(R
r
)0FNAt
W
cos
0FPBn
W
sin
m
2
(R
r
)解之得FNBt
m0FPAn
m[
2
(R
r
)
g
sin
a]FNAt
m0FPBn
m[
2
(R
r
)
g
sin
a]FA3°etAAenBFB16.3°BFNAt
559NFNBt
559NFPAn
164NFPBn
29.3NPAn
NAt
F
2
58.310NF
2FA
NBtPBn
F
2
56.010
NF
2FB
與et
約成16.3°與en
約成3°§3.4.4
質(zhì)點的平衡質(zhì)點平衡條件——質(zhì)點處于平衡時,作用于質(zhì)點的合力等于零.
Fi
0質(zhì)點平衡方程直角坐標系中的分量式
Fix
0
Fiy
0
Fiz
0[例題5]
將繩索在木樁上繞幾圈,能使繩的一端受到極大拉力,例如拴著一頭牛,只要用很小的力拽住繩的另一端,即可將繩索固定,原因在哪里?如圖表示繩與圓柱體在AB弧段上接觸且無相對滑動,弧AB對應(yīng)的和FT
分別表示A點和B點圓心角
稱為“包角”FT0繩的張力.設(shè)繩與圓柱間的靜摩擦系數(shù)為0,不計繩的質(zhì)量.求在FT0
一定的條件下,F(xiàn)T
的最大值FT
max
.ABT0FFTABFT0FT[解]在繩AB段上受力如右上圖所示.截取小弧段對應(yīng)于圓心角d
,F(xiàn)T
FT
dFTNFFTdTF
0Fenet靜摩擦力F0圓柱體給繩的支撐力
FN根據(jù)質(zhì)點平衡方程,得FT
FT
FN
F0
0設(shè)張力建自然坐標系,將上式投影,并考慮到F0
F0max
0FN得22TT
(F
dF
)
cos
d
0T
0
N
F
cos
d
Fd很小sin
d
d
,
cos
d
1,2
2
2略去二級無窮小量,得dFT
0FNd
d
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