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河南省扶溝縣2025屆數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.中,點(diǎn)在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.3.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.4.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.已知隨機(jī)變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,6.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.7.如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.8.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.11.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.12.已知為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若為假,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.14.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個(gè)不等式應(yīng)該為__________.15.如圖,的外接圓半徑為,為邊上一點(diǎn),且,,則的面積為______.16.在的二項(xiàng)展開式中,x的系數(shù)為________.(用數(shù)值作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點(diǎn)為,證明:.20.(12分)如圖,已知在三棱臺(tái)中,,,.(1)求證:;(2)過(guò)的平面分別交,于點(diǎn),,且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為,幾何體為棱柱,求的長(zhǎng).提示:臺(tái)體的體積公式(,分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,為棱臺(tái)的高).21.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.22.(10分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,,,恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng).(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為;若對(duì)均滿足,求整數(shù)的最大值;(3)是否存在數(shù)列滿足等式成立,若存在,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的等價(jià)條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.4、C【解析】
由題可知,設(shè)函數(shù),,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn),得出單調(diào)性,根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),結(jié)合圖象,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),,因?yàn)?,所以,或,因?yàn)闀r(shí),,或時(shí),,,其圖象如下:當(dāng)時(shí),至多一個(gè)整數(shù)根;當(dāng)時(shí),在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù),只需,,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問(wèn)題,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.5、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足,,.所以服從二項(xiàng)分布,由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,因?yàn)?,所以,由二次函?shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.6、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.此時(shí),,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.7、C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題(1)只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無(wú)窮多組,在解決具體問(wèn)題時(shí),合理選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.8、D【解析】
設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長(zhǎng)公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故,即的最小值為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題.解決圓錐曲線中的面積類最值問(wèn)題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來(lái)求解最值.9、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得,故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1.考點(diǎn):程序框圖.10、A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,由,可得,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標(biāo)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.11、A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng),,時(shí),則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng),,時(shí),則,故不能作為的充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由為假,可知為真,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求出的最小值,令即可.【詳解】因?yàn)闉榧?,則其否定為真,即為真,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用,利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,對(duì)于第一個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第二個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第三個(gè)不等式,,則有,依此類推:第個(gè)不等式為:,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用,分析不等式的變化規(guī)律.15、【解析】
先由正弦定理得到,再在三角形ABD、ADC中分別由正弦定理進(jìn)一步得到B=C,最后利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】依題意可得,由正弦定理得,即,由圖可知是鈍角,所以,,在三角形ABD中,,,在三角形ADC中,由正弦定理得即,所以,,故,,,故的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,要靈活運(yùn)用正弦定理公式及三角形面積公式,本題屬于中檔題.16、-40【解析】
由題意,可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),再令10-3r=1,得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個(gè)復(fù)合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計(jì)算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.由已知,有的最小正周期.(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),,,∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.考點(diǎn):1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式;2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.18、(1)(2)【解析】
(1)按絕對(duì)值的定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后解不等式;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,求出在上的最小值即可,利用絕對(duì)值定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后可求得函數(shù)最小值.【詳解】解:(1)或或解得或或無(wú)解綜上不等式的解集為.(2)時(shí),,即所以只需在時(shí)恒成立即可令,由解析式得在上是增函數(shù),∴當(dāng)時(shí),即【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式,考查不等式恒成立問(wèn)題,解決絕對(duì)值不等式的問(wèn)題,分類討論是常用方法.掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵.19、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)依題意在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于在有兩個(gè)不等實(shí)根,由參變分類可得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值,從而得到參數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:,即:,只需證:,設(shè),即證:,再分別證明,即可;【詳解】解:(Ⅰ)由題意可知,,在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于在有兩個(gè)不等實(shí)根,由可得,,令,則,令,可得,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;所以是的極大值也是最大值,又當(dāng),當(dāng)大于0趨向與0,要使在有兩個(gè)根,則,所以的取值范圍為;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:即:,只需證:設(shè),即證:要證,只需證:令,則在上為增函數(shù),即成立;要證,只需證明:令,則在上為減函數(shù),,即成立成立,所以成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題;20、(1)證明見解析;(2)2【解析】
(1)在中,利用勾股定理,證得,又由題設(shè)條件,得到,利用線面垂直的判定定理,證得平面,進(jìn)而得到;(2)設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,根據(jù)棱臺(tái)的體積公式,列出方程求得,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,在中,,,所以,可得,因?yàn)?,可?又由,,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所?(2)因?yàn)?,可得,令,,設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,則,整理得,即,解得,即,又由,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用,以及幾何體的體積公式的應(yīng)用,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理,以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)見解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要證,只需證,當(dāng)時(shí),;假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,兩邊同乘以3得:而∴,即時(shí)結(jié)論也成立,∴當(dāng)時(shí),成立.綜上原不等式獲證.22、(2),(2),的最大整數(shù)是2.(3)存在,【解析】
(2)由可得(),然后把這兩個(gè)等式相減,化簡(jiǎn)得,公差為2,因?yàn)椋?,為等比?shù)列,所以,化簡(jiǎn)計(jì)算得,,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,再計(jì)算出,,,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,化簡(jiǎn)計(jì)算得,從而可得數(shù)列是遞增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值為,所以可得答案;(3)由題意可知,,即,這個(gè)可看成一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和,再寫出其前()項(xiàng)和,兩式相減得,,利用同樣的方法可得.【詳解】解:(2)由題,當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),①②①
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