2023屆吉林省長春市九臺市師范中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)與在上最多有n個交點，交點分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．102．若函數(shù)函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.4．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．65．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）6．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:7．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B．4C． D．58．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．9．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B10．已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，其中點在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或11．在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．12．若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A．的值域為 B．為周期函數(shù)，且6為其一個周期C．的圖像關(guān)于對稱 D．函數(shù)的零點有無窮多個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在上僅有2個零點，設(shè)，則在區(qū)間上的取值范圍為_______．14．的三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，則________.15．設(shè)是等比數(shù)列的前項的和，成等差數(shù)列，則的值為_____．16．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.19．（12分）第十四屆全國冬季運動會召開期間，某校舉行了“冰上運動知識競賽”，為了解本次競賽成績情況，從中隨機抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率；（2）若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動，并指定2名負責人，求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負責人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0020．（12分）已知（1）當時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．21．（12分）已知曲線，直線：（為參數(shù)）.（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與最小值．22．（10分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)直線過定點，采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：直線過定點且在是關(guān)于對稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關(guān)于對稱所以故選：C【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì)，屬難題.2、C【解析】

轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點．記，則過原點作的切線，設(shè)切點為，則切線方程為，又切線過原點，即，將，代入解得．所以切線斜率為，所以或．故選：C【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.3、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項：【點睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，，設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當且僅當時，取等號.故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.5、D【解析】

原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調(diào)遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．由，可得，即a＜2．∴實數(shù)a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題，關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.6、C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運算，由向量的關(guān)系，可得選項.【詳解】，，∴等價于，故選：C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖，三棱錐的直觀圖為，體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.8、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】兩組至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因為名女干部不能單獨成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計算能力，屬于中等題.9、C【解析】試題分析：集合考點：集合間的關(guān)系10、C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當直線的方程為.，綜上，或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時，一般考慮拋物線的定義.11、B【解析】

由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質(zhì)：或取得最小值③坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數(shù)．12、D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題，難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令，然后根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域，同時要注意新元的范圍.14、【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，所以，因為，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解即可.【詳解】解：等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為：．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運用,屬于中檔題.16、164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點睛】本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解，可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）取中點，根據(jù)，利用線面垂直的判定定理，可得平面，最后可得結(jié)果.（2）利用建系，假設(shè)長度，可得，以及平面的一個法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點，連接，如圖由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假設(shè)，由，，.所以則，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空間直角坐標系，如圖設(shè)平面的一個法向量為則令，所以則直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學(xué)會使用建系的方法來解決立體幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡，屬中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標方程為，即.（2）因為直線（t為參數(shù)）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當最大時，直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標方程為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標方程與極坐標方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19、（1），，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出，根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出，進而求出不低于70分的概率；（2）由（1）得，根據(jù)分層抽樣原則，分別從抽出2人，2人，1人，并按照所在組對抽出的5人編號，列出所有2名負責人的抽取方法，得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負責人的抽法數(shù)，由古典概型概率公式，即可求解.【詳解】（1），，，由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為：（2）因為第3、4、5組共有50名學(xué)生，所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，每組分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人，所以第3、4、5組分別抽取2人，2人，1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、，第4組的2位同學(xué)為、，第5組的1位同學(xué)為，則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下：，，，，，，，，，，其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負責人有7種抽法，故所求的概率為.【點睛】本題考查補全頻率分布表、古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）沒有極值點；（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【詳解】（1）當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.（2）由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設(shè),那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.21、（I）；（II）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：（I）由橢圓的標準方程設(shè)，得橢圓的參數(shù)方程為，消去參數(shù)即得直線的普