《充分條件與必要條件》集合與常用邏輯用語(yǔ)課件

1.4

充分條件與必要條件1.4充分條件與必要條件1《充分條件與必要條件》集合與常用邏輯用語(yǔ)課件2一二一、充分條件與必要條件1.(1)已知“若p,則q”為真命題,說(shuō)明p與q之間有什么關(guān)系?提示:說(shuō)明當(dāng)p成立時(shí),一定能得出q成立.即由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)我們就說(shuō),由p可以推出q,記作p?q.(2)類似地,如果“若p,則q”為假命題,說(shuō)明p與q之間有什么關(guān)系?提示:說(shuō)明由條件p不能推出結(jié)論q,記作pq.一二一、充分條件與必要條件3一二(3)觀察如下電路圖,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”,結(jié)論q:“燈泡B亮”.當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合時(shí),燈泡B一定會(huì)亮嗎?說(shuō)明了什么?如果“燈泡B不亮”,“開(kāi)關(guān)A可以閉合”嗎?提示:一定會(huì)亮.說(shuō)明要使“燈泡B亮”,有“開(kāi)關(guān)A閉合”這個(gè)條件就足夠了.如果“燈泡B不亮”,則開(kāi)關(guān)A肯定不閉合.一二(3)觀察如下電路圖,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”,結(jié)論q:“4一二(4)下面電路中,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”成立,結(jié)論q:“燈泡B亮”成立嗎?提示:不成立.也就是說(shuō)“若p,則q”為假命題.2.填空一般地,“若p則q”為真命題,就說(shuō)p是q的充分條件,q是p的必要條件.3.做一做用“充分條件”和“必要條件”填空:(1)若p:x=-3,q:x2=9,則p是q的

,q是p的

.

(2)若p:兩個(gè)三角形面積相等,q:兩個(gè)三角形全等,則p是q的

,q是p的

.

答案:(1)充分條件

必要條件

(2)必要條件

充分條件一二(4)下面電路中,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”成立,結(jié)論q:“5一二二、充要條件1.(1)我們知道,當(dāng)“x>1”成立時(shí),能推出“x>0”.那么“x>0”的充分條件是否只能是“x>1”?提示:不是.使結(jié)論“x>0”成立的條件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有無(wú)數(shù)個(gè).(2)由前面的知識(shí),我們知道“x>0”是“x>1”的必要條件.那么“x>1”的必要條件是否只能是“x>0”?提示:不是.例如“x>1”還能推出“x>-1”“x≥”等,這些都是“x>1”成立的必要條件.(3)已知條件p:“三角形是等邊三角形”,結(jié)論q:“三角形的三條邊相等”,那么p是q的什么條件?q是p的什么條件?提示:p?q,q?p.p是q的充分條件,q是p的充分條件,p是q的必要條件,q也是p的必要條件.一二二、充要條件6一二(4)從命題“若p,則q”及其逆命題的真假角度,說(shuō)一說(shuō)p是q成立條件的所有情況.提示:一二(4)從命題“若p,則q”及其逆命題的真假角度,說(shuō)一說(shuō)p7一二2.填空如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作p?q.此時(shí),p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說(shuō)p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱為充要條件.3.做一做實(shí)數(shù)a,b,c不全為0的一個(gè)充要條件是(

)A.實(shí)數(shù)a,b,c均不為0B.實(shí)數(shù)a,b,c中至多有一個(gè)為0C.實(shí)數(shù)a,b,c中至少有一個(gè)為0D.實(shí)數(shù)a,b,c中至少有一個(gè)不為0答案:D一二2.填空8探究一探究二隨堂演練探究一充分條件、必要條件及充要條件的判斷例1(1)對(duì)于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的(

)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件(3)設(shè)A,B是兩個(gè)集合,則“A∩B=A”是“A?B”的

(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件探究一探究二隨堂演練探究一充分條件、必要條件及充要條件的判斷9探究一探究二隨堂演練解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且y=0,由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”“x2+y2=0”.(2)若“四邊形ABCD為菱形”,顯然對(duì)角線垂直;但“AC⊥BD”推不出“四邊形ABCD為菱形”,例如對(duì)角線垂直的等腰梯形.所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件.(3)∵A∩B=A?A?B,∴“A∩B=A”是“A?B”的充要條件.答案:(1)A

(2)A

(3)C探究一探究二隨堂演練解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且10探究一探究二隨堂演練延伸探究

例1(2)中,把原條件中的“四邊形ABCD”改為“平行四邊形ABCD”,其余不變,結(jié)論有變化嗎?解:若條件為平行四邊形,則“ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充要條件.變式訓(xùn)練1設(shè)A、B為兩個(gè)互不相同的集合.命題p:x∈A∩B;命題q:x∈A或x∈B.則p是q的(

)條件.A.充分必要 B.充分不必要C.必要不充分 D.既不充分又不必要解析:若命題p:x∈A∩B成立,命題q:x∈A或x∈B一定成立;若命題q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要條件.答案:B探究一探究二隨堂演練延伸探究例1(2)中,把原條件中的“四11探究一探究二隨堂演練探究二充要條件的證明例2求證:關(guān)于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是0<a<4.分析:第一步,審題,分清條件與結(jié)論:“p是q的充要條件”中p是條件,q是結(jié)論;“p的充要條件是q”中,p是結(jié)論,q是條件.本題中條件是“0<a<4”,結(jié)論是“關(guān)于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立”.第二步,根據(jù)要求確定解題步驟.分別證明“充分性”與“必要性”,先證必要性:“結(jié)論?條件”;再證充分性:“條件?結(jié)論”.探究一探究二隨堂演練探究二充要條件的證明12探究一探究二隨堂演練探究一探究二隨堂演練13探究一探究二隨堂演練反思感悟

充要條件的證明(1)充要條件的證明問(wèn)題,關(guān)鍵是理清題意,認(rèn)清條件與結(jié)論分別是什么.(2)證明p是q的充要條件,既要證明“p?q”為真,又要證明“q?p”為真,前者證明的是充分性,后者證明的是必要性.(3)證明p的充要條件是q,既要證明“p?q”為真,又要證明“q?p”為真,前者證明的是必要性,后者證明的是充分性.探究一探究二隨堂演練反思感悟充要條件的證明14探究一探究二隨堂演練變式訓(xùn)練2求證:方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.證明:(必要性)∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1,∴x=1滿足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一個(gè)根為x=1.故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.探究一探究二隨堂演練變式訓(xùn)練2求證:方程ax2+bx+c=015探究一探究二隨堂演練1.“a=-3”是“|a|=3”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A2.“x>2”是“x>1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A探究一探究二隨堂演練1.“a=-3”是“|a|=3”的(16探究一探究二隨堂演練3.已知a,b是實(shí)數(shù),則“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的

條件.

解析:a>0且b>0?a+b>0且ab>0;a+b>0且ab>0?a>0且b>0,故為充要條件.答案:充要探究一探究二隨堂演練3.已知a,b是實(shí)數(shù),則“a>0且b>017探究一探究二隨堂演練4.求證:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.證明:充分性:因?yàn)閍c<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac>0.故一元二次方程一定有兩個(gè)不相等實(shí)根,設(shè)為x1,x2,則x1x2=<0,所以方程的兩根異號(hào).即方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根.必要性:一元二次方程有一正根和一負(fù)根,設(shè)為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=<0,即ac<0,綜上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.探究一探究二隨堂演練4.求證:一元二次方程ax2+bx+c=181.4

充分條件與必要條件1.4充分條件與必要條件19《充分條件與必要條件》集合與常用邏輯用語(yǔ)課件20一二一、充分條件與必要條件1.(1)已知“若p,則q”為真命題,說(shuō)明p與q之間有什么關(guān)系?提示:說(shuō)明當(dāng)p成立時(shí),一定能得出q成立.即由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)我們就說(shuō),由p可以推出q,記作p?q.(2)類似地,如果“若p,則q”為假命題,說(shuō)明p與q之間有什么關(guān)系?提示:說(shuō)明由條件p不能推出結(jié)論q,記作pq.一二一、充分條件與必要條件21一二(3)觀察如下電路圖,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”,結(jié)論q:“燈泡B亮”.當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合時(shí),燈泡B一定會(huì)亮嗎?說(shuō)明了什么?如果“燈泡B不亮”,“開(kāi)關(guān)A可以閉合”嗎?提示:一定會(huì)亮.說(shuō)明要使“燈泡B亮”,有“開(kāi)關(guān)A閉合”這個(gè)條件就足夠了.如果“燈泡B不亮”,則開(kāi)關(guān)A肯定不閉合.一二(3)觀察如下電路圖,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”,結(jié)論q:“22一二(4)下面電路中,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”成立,結(jié)論q:“燈泡B亮”成立嗎?提示:不成立.也就是說(shuō)“若p,則q”為假命題.2.填空一般地,“若p則q”為真命題,就說(shuō)p是q的充分條件,q是p的必要條件.3.做一做用“充分條件”和“必要條件”填空:(1)若p:x=-3,q:x2=9,則p是q的

,q是p的

.

(2)若p:兩個(gè)三角形面積相等,q:兩個(gè)三角形全等,則p是q的

,q是p的

.

答案:(1)充分條件

必要條件

(2)必要條件

充分條件一二(4)下面電路中,條件p:“開(kāi)關(guān)A閉合”成立,結(jié)論q:“23一二二、充要條件1.(1)我們知道,當(dāng)“x>1”成立時(shí),能推出“x>0”.那么“x>0”的充分條件是否只能是“x>1”?提示:不是.使結(jié)論“x>0”成立的條件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有無(wú)數(shù)個(gè).(2)由前面的知識(shí),我們知道“x>0”是“x>1”的必要條件.那么“x>1”的必要條件是否只能是“x>0”?提示:不是.例如“x>1”還能推出“x>-1”“x≥”等,這些都是“x>1”成立的必要條件.(3)已知條件p:“三角形是等邊三角形”,結(jié)論q:“三角形的三條邊相等”,那么p是q的什么條件?q是p的什么條件?提示:p?q,q?p.p是q的充分條件,q是p的充分條件,p是q的必要條件,q也是p的必要條件.一二二、充要條件24一二(4)從命題“若p,則q”及其逆命題的真假角度,說(shuō)一說(shuō)p是q成立條件的所有情況.提示:一二(4)從命題“若p,則q”及其逆命題的真假角度,說(shuō)一說(shuō)p25一二2.填空如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作p?q.此時(shí),p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說(shuō)p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱為充要條件.3.做一做實(shí)數(shù)a,b,c不全為0的一個(gè)充要條件是(

)A.實(shí)數(shù)a,b,c均不為0B.實(shí)數(shù)a,b,c中至多有一個(gè)為0C.實(shí)數(shù)a,b,c中至少有一個(gè)為0D.實(shí)數(shù)a,b,c中至少有一個(gè)不為0答案:D一二2.填空26探究一探究二隨堂演練探究一充分條件、必要條件及充要條件的判斷例1(1)對(duì)于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的(

)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件(3)設(shè)A,B是兩個(gè)集合,則“A∩B=A”是“A?B”的

(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件探究一探究二隨堂演練探究一充分條件、必要條件及充要條件的判斷27探究一探究二隨堂演練解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且y=0,由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”“x2+y2=0”.(2)若“四邊形ABCD為菱形”,顯然對(duì)角線垂直;但“AC⊥BD”推不出“四邊形ABCD為菱形”,例如對(duì)角線垂直的等腰梯形.所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件.(3)∵A∩B=A?A?B,∴“A∩B=A”是“A?B”的充要條件.答案:(1)A

(2)A

(3)C探究一探究二隨堂演練解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且28探究一探究二隨堂演練延伸探究

例1(2)中,把原條件中的“四邊形ABCD”改為“平行四邊形ABCD”,其余不變,結(jié)論有變化嗎?解:若條件為平行四邊形,則“ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充要條件.變式訓(xùn)練1設(shè)A、B為兩個(gè)互不相同的集合.命題p:x∈A∩B;命題q:x∈A或x∈B.則p是q的(

)條件.A.充分必要 B.充分不必要C.必要不充分 D.既不充分又不必要解析:若命題p:x∈A∩B成立,命題q:x∈A或x∈B一定成立;若命題q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要條件.答案:B探究一探究二隨堂演練延伸探究例1(2)中,把原條件中的“四29探究一探究二隨堂演練探究二充要條件的證明例2求證:關(guān)于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是0<a<4.分析:第一步,審題,分清條件與結(jié)論:“p是q的充要條件”中p是條件,q是結(jié)論;“p的充要條件是q”中,p是結(jié)論,q是條件.本題中條件是“0<a<4”,結(jié)論是“關(guān)于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立”.第二步,根據(jù)要求確定解題步驟.分別證明“充分性”與“必要性”,先證必要性:“結(jié)論?條件”;再證充分性:“條件?結(jié)論”.探究一探究二隨堂演練探究二充要條件的證明30探究一探究二隨堂演練探究一探究二隨堂演練31探究一探究二隨堂演練反思感悟

充要條件的證明(1)充要條件的證明問(wèn)題,關(guān)鍵是理清題意,認(rèn)清條件與結(jié)論分別是什么.(2)證明p是q的充要條件,既要證明“p?q”為真,又要證明“q?p”為真,前者證明的是充分性,后者證明的是必要性.(3)證明p的充要條件是q,既要證明“p?q”為真,又要證明“q?p”為真,前者證明的是必要性,后者證明的是充分性.探究一探究二隨堂演練反思感悟充要條件的證明32探究一探究二隨堂演練變式訓(xùn)練2求證:方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.證明:(必要性)∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1,∴x=1滿足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b