圓中常用的作輔助線的八種方法課件

階段方法技巧訓練（一）專訓2圓中常用的作輔助

線的八種方法習題課階段方法技巧訓練（一）專訓2圓中常用的作輔助習題課在解決有關圓的計算或證明題時，往往需要添加輔助線，根據(jù)題目特點選擇恰當?shù)妮o助線至關重要．圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同圓的半徑相等；連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角；證切線時“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等．在解決有關圓的計算或證明題時，往往需要1方法作半徑，巧用同圓的半徑相等1．如圖所示，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD

的頂點A，D在半圓O上，頂點B，C在半圓O的直徑

上；小正方形BEFG的頂點F在半圓O上，E點在半

圓O的直徑上，點G在大正方形的邊AB上．若小正

方形的邊長為4cm，

求該半圓的半徑．1方法作半徑，巧用同圓的半徑相等1．如圖所示，兩正方形彼此相如圖，連接OA，OF.設OA＝OF＝rcm，AB＝acm.在Rt△OAB中，r2＝

＋a2，在Rt△OEF中，r2＝42＋

，∴＋a2＝16＋16＋4a＋.解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．∴r2＝

＋82＝80.∴r1＝4，r2＝－4(舍去)．

即該半圓的半徑為4cm.解：如圖，連接OA，OF.解：在有關圓的計算題中，求角度或邊長時，常連接半徑構造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質來解決問題．在有關圓的計算題中，求角度或邊長時，常連接2方法連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等2．如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠ACM的平分線

與圓交于D點，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，

垂足為H.求證：AP＝BH.2方法連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等2．如圖，圓內(nèi)接如圖，連接AD，BD.∵∠DAC、∠DBC是DC所對的圓周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中，∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.證明：︵如圖，連接AD，BD.證明：︵本題通過作輔助線構造圓周角，然后利用“同弧所對的圓周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件．本題通過作輔助線構造圓周角，然后利用“同3作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角方法3．如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，

連接AD，BC.(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；3作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角方法3．如圖，⊙O的半徑(1)如圖，過點D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直徑，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.

又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.∴∠BAC＝∠ACE.∴BC＝AE.∴BC＝AE.

在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，∴AD2＋BC2＝4R2.證明：︵︵(1)如圖，過點D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點O到AD的距離．(2)如圖，過點O作OF⊥AD于點F.∵弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根

(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.解：(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(2由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O為DE的中點，∴OF＝

AE＝

BC＝.

即點O到AD的距離為.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，本題作出直徑DE，利用“直徑所對的圓周角是直角”構造了兩個直角三角形，給解題帶來了方便．本題作出直徑DE，利用“直徑所對的圓周角是直4證切線時輔助線作法的應用方法4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且

與OA的延長線交于點D.判斷CD與⊙O的位置關

系，并說明理由．4證切線時輔助線作法的應用方法4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD與⊙O相切，理由如下：如圖，作直徑CE，連接AE.∵CE是直徑，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切解：CD與⊙O相切，理由如下：解：5遇弦加弦心距或半徑方法5．如圖所示，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相

垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP

的長為(

)A．3B．4C．3D．4C5遇弦加弦心距或半徑方法5．如圖所示，在半徑為5的⊙O中，A同類變式6．【中考·貴港】如圖所示，AB是⊙O的弦，

OH⊥AB于點H，點P是優(yōu)弧上一點，

若AB＝2，OH＝1，

則∠APB的度數(shù)是________．同類變式6．【中考·貴港】如圖所示，AB是⊙O的弦，6遇直徑巧加直徑所對的圓周角方法7．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的

⊙O分別交BC，AC于點D，E，且點D是BC的中點．6遇直徑巧加直徑所對的圓周角方法7．如圖，在△ABC中，AB(1)求證：△ABC為等邊三角形．(1)如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵點D是BC的中點，∴AD是線段BC的垂直平分線．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形．證明：(1)求證：△ABC為等邊三角形．(1)如圖，連接AD，證(2)求DE的長．(2)如圖，連接BE.∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC是等邊三角形，

∴AE＝EC，即E為AC的中點．∵D是BC的中點，故DE為△ABC的中位線．∴DE＝

AB＝×2＝1.解：(2)求DE的長．(2)如圖，連接BE.解：7遇切線巧作過切點的半徑方法8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，

點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB.7遇切線巧作過切點的半徑方法8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外(1)求證：PB是⊙O的切線；(1)如圖，連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.

∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA.即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．證明：(1)求證：PB是⊙O的切線；(1)如圖，連接OB，∵OA(2)已知PA＝

，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．(2)如圖，連接OP，∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．∵OA＝OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．∴OP為線段AB的垂直平分線．解：(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1，∴⊙O的半徑為1.又∵BC⊥AB，8巧添輔助線計算陰影部分的面積方法9．【中考·自貢】如圖所示，點B，C，D都在⊙O上，

過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，

且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6cm.8巧添輔助線計算陰影部分的面積方法9．【中考·自貢】如圖所示(1)求證：AC是⊙O的切線；(1)如圖，連接CO，交DB于點E，

∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，

∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°.

即OC⊥AC.又∵點C在⊙O上，∴AC是⊙O的切線．證明：(1)求證：AC是⊙O的切線；(1)如圖，連接CO，交DB于(2)求由弦CD，BD與BC所圍成的陰影部分的面積．(結果保留π)︵(2)∵OE⊥DB，∴EB＝

DB＝3cm.

在Rt△EOB中，∵∠OBD＝30°，∴OE＝

OB.

∵EB＝3cm，∴由勾股定理可求得OB＝6cm.解：(2)求由弦CD，BD與BC所圍成的陰影部分的面積．︵(2)又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S陰影＝S扇形OCB＝π·62＝6π(cm2)．又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，階段方法技巧訓練（一）專訓2圓中常用的作輔助

線的八種方法習題課階段方法技巧訓練（一）專訓2圓中常用的作輔助習題課在解決有關圓的計算或證明題時，往往需要添加輔助線，根據(jù)題目特點選擇恰當?shù)妮o助線至關重要．圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同圓的半徑相等；連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角；證切線時“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等．在解決有關圓的計算或證明題時，往往需要1方法作半徑，巧用同圓的半徑相等1．如圖所示，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD

的頂點A，D在半圓O上，頂點B，C在半圓O的直徑

上；小正方形BEFG的頂點F在半圓O上，E點在半

圓O的直徑上，點G在大正方形的邊AB上．若小正

方形的邊長為4cm，

求該半圓的半徑．1方法作半徑，巧用同圓的半徑相等1．如圖所示，兩正方形彼此相如圖，連接OA，OF.設OA＝OF＝rcm，AB＝acm.在Rt△OAB中，r2＝

＋a2，在Rt△OEF中，r2＝42＋

，∴＋a2＝16＋16＋4a＋.解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．∴r2＝

＋82＝80.∴r1＝4，r2＝－4(舍去)．

即該半圓的半徑為4cm.解：如圖，連接OA，OF.解：在有關圓的計算題中，求角度或邊長時，常連接半徑構造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質來解決問題．在有關圓的計算題中，求角度或邊長時，常連接2方法連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等2．如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠ACM的平分線

與圓交于D點，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，

垂足為H.求證：AP＝BH.2方法連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等2．如圖，圓內(nèi)接如圖，連接AD，BD.∵∠DAC、∠DBC是DC所對的圓周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中，∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.證明：︵如圖，連接AD，BD.證明：︵本題通過作輔助線構造圓周角，然后利用“同弧所對的圓周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件．本題通過作輔助線構造圓周角，然后利用“同3作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角方法3．如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，

連接AD，BC.(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；3作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角方法3．如圖，⊙O的半徑(1)如圖，過點D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直徑，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.

又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.∴∠BAC＝∠ACE.∴BC＝AE.∴BC＝AE.

在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，∴AD2＋BC2＝4R2.證明：︵︵(1)如圖，過點D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點O到AD的距離．(2)如圖，過點O作OF⊥AD于點F.∵弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根

(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.解：(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(2由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O為DE的中點，∴OF＝

AE＝

BC＝.

即點O到AD的距離為.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，本題作出直徑DE，利用“直徑所對的圓周角是直角”構造了兩個直角三角形，給解題帶來了方便．本題作出直徑DE，利用“直徑所對的圓周角是直4證切線時輔助線作法的應用方法4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且

與OA的延長線交于點D.判斷CD與⊙O的位置關

系，并說明理由．4證切線時輔助線作法的應用方法4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD與⊙O相切，理由如下：如圖，作直徑CE，連接AE.∵CE是直徑，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切解：CD與⊙O相切，理由如下：解：5遇弦加弦心距或半徑方法5．如圖所示，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相

垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP

的長為(

)A．3B．4C．3D．4C5遇弦加弦心距或半徑方法5．如圖所示，在半徑為5的⊙O中，A同類變式6．【中考·貴港】如圖所示，AB是⊙O的弦，

OH⊥AB于點H，點P是優(yōu)弧上一點，

若AB＝2，OH＝1，

則∠APB的度數(shù)是________．同類變式6．【中考·貴港】如圖所示，AB是⊙O的弦，6遇直徑巧加直徑所對的圓周角方法7．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的

⊙O分別交BC，AC于點D，E，且點D是BC的中點．6遇直徑巧加直徑所對的圓周角方法7．如圖，在△ABC中，AB(1)求證：△ABC為等邊三角形．(1)如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵點D是BC的中點，∴AD是線段BC的垂直平分線．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形．證明：(1)求證：△ABC為等邊三角形．(1)如圖，連接AD，證(2)求DE的長．(2)如圖，連接BE.∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC是等邊三角形，

∴AE＝EC，即E為AC的中點．∵D是BC的中點，故DE為△ABC的中位線．∴DE＝

AB＝×2＝1.解：(2)求DE的長．(2)如圖，連接BE.解：7遇切線巧作過切點的半徑方法8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，

點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB.7遇切線巧作過切點的半徑方法8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外(1)求證：PB是⊙O的切線；(1)如圖，連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.

∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA.即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．證明：(1)求證：PB是⊙O的切線；(1)如圖，連接OB，∵OA(2)已知PA＝

，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．(2)如圖，連接OP，∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．∵OA＝OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．∴OP為線段AB的垂直平分線．解：(