均值方差偏好下的投資組合選擇市公開課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

CH12均值-方差偏好下投資組合選擇10/10/1均值方差偏好下的投資組合選擇第1頁(yè)本章教學(xué)目和要求1.了解和掌握投資組合理論中均值—方差分析假設(shè)條件及其與期望效用理論兼容性；2.掌握投資組合收益與風(fēng)險(xiǎn)度量基本方法及其計(jì)算；3.掌握均值－方差模型描述構(gòu)建最優(yōu)投資組合技術(shù)路徑規(guī)范數(shù)理模型；4.掌握兩基金分離定理內(nèi)容及其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。10/10/2均值方差偏好下的投資組合選擇第2頁(yè)教學(xué)重點(diǎn)1.均值—方差分析方法合理性及其含義；2.選擇最優(yōu)投資組合數(shù)理方法及其中蘊(yùn)涵多元化投資、風(fēng)險(xiǎn)、收益間關(guān)系；3.掌握兩基金分離定理內(nèi)容及其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。10/10/3均值方差偏好下的投資組合選擇第3頁(yè)一、均值—方差分析假設(shè)條件（一）問題提出

1.前章對(duì)最優(yōu)投資組合分析是建立在普通期望效用理論基礎(chǔ)之上。在這種分析中，我們對(duì)經(jīng)濟(jì)主體效用函數(shù)和資產(chǎn)收益分布只做了普通性要求。其結(jié)論應(yīng)用范圍難以確定，也限制了期望效用理論在資產(chǎn)定價(jià)中應(yīng)用。2.Markowitz(1952)發(fā)展了一個(gè)在不確定條件下嚴(yán)格陳說(shuō)可操作資產(chǎn)組合選擇理論：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.10/10/4均值方差偏好下的投資組合選擇第4頁(yè)這一理論問世，使金融學(xué)開始擺脫了純粹描述性研究和單憑經(jīng)驗(yàn)操作狀態(tài)，標(biāo)志著數(shù)量化方法進(jìn)入金融領(lǐng)域。

馬科維茨工作所開始數(shù)量化分析和MM理論中無(wú)套利均衡思想相結(jié)合，醞釀了一系列金融學(xué)理論重大突破。正因?yàn)槿绱耍R科維茨取得了1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

10/10/5均值方差偏好下的投資組合選擇第5頁(yè)

馬科維茨投資組合選擇理論基本思想為：投資組合是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與收益trade-off問題，另外投資組合經(jīng)過(guò)分散化投資來(lái)對(duì)沖掉一部分風(fēng)險(xiǎn)?！皀othingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”10/10/6均值方差偏好下的投資組合選擇第6頁(yè)3.馬科維茨均值-方差組合理論基本內(nèi)容：在禁止融券和沒有沒有風(fēng)險(xiǎn)借貸假設(shè)下，以資產(chǎn)組合中個(gè)別資產(chǎn)收益率均值和方差找出投資組合有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小投資組合，并導(dǎo)出投資者只在有效組合前沿上選擇投資組合。欲使投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小，除了多樣化投資于不一樣資產(chǎn)之外，還應(yīng)挑選相關(guān)系數(shù)較低資產(chǎn)。10/10/7均值方差偏好下的投資組合選擇第7頁(yè)4.均值-方差組合選擇實(shí)現(xiàn)方法：

（1）收益——證券組合期望酬勞（2）風(fēng)險(xiǎn)——證券組合方差（3）風(fēng)險(xiǎn)和收益權(quán)衡——求解二次規(guī)劃首先，投資組合兩個(gè)相關(guān)特征是：（1）它期望回報(bào)率（均值）（2）可能回報(bào)率圍繞其期望偏離程度某種度量，其中方差作為一個(gè)度量在分析上是最易于處理。10/10/8均值方差偏好下的投資組合選擇第8頁(yè)其次，理性投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下期望回報(bào)最大化投資組合，或者那些在給定時(shí)望回報(bào)率水平上使風(fēng)險(xiǎn)最小化投資組合。再次，經(jīng)過(guò)對(duì)某種資產(chǎn)期望回報(bào)率、回報(bào)率方差和某一資產(chǎn)與其它資產(chǎn)之間回報(bào)率相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類信息適當(dāng)分析，辨識(shí)出有效投資組合在理論上是可行。10/10/9均值方差偏好下的投資組合選擇第9頁(yè)

最終，經(jīng)過(guò)求解二次規(guī)劃，能夠算出有效投資組合集合，計(jì)算結(jié)果指明各種資產(chǎn)在投資者投資中所占份額，方便實(shí)現(xiàn)投資組合有效性——即對(duì)給定風(fēng)險(xiǎn)使期望回報(bào)率最大化，或?qū)τ诮o定期望回報(bào)使風(fēng)險(xiǎn)最小化。10/10/10均值方差偏好下的投資組合選擇第10頁(yè)5.馬科維茨均值-方差組合理論假設(shè)條件：（1）單期投資單期投資是指投資者在期初投資，在期末取得回報(bào)。單期模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)一個(gè)近似描述，如對(duì)零息債券、歐式期權(quán)等投資。即使許多問題不是單期模型，但作為一個(gè)簡(jiǎn)化，對(duì)單期模型分析成為我們對(duì)多期模型分析基礎(chǔ)。（2）投資者事先知道資產(chǎn)收益率概率分布，而且收益率滿足正態(tài)分布條件。

10/10/11均值方差偏好下的投資組合選擇第11頁(yè)（3）經(jīng)濟(jì)主體效用函數(shù)是二次，即。（4）經(jīng)濟(jì)主體以期望收益率（亦稱收益率均值）來(lái)衡量未來(lái)實(shí)際收益率總體水平，以收益率方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來(lái)衡量收益率不確定性（風(fēng)險(xiǎn)），因而經(jīng)濟(jì)主體在決議中只關(guān)心資產(chǎn)期望收益率和方差。（5）經(jīng)濟(jì)主體都是非飽和和厭惡風(fēng)險(xiǎn)，遵照占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高證券；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低證券。

10/10/12均值方差偏好下的投資組合選擇第12頁(yè)

6.問題：為何在馬科維茨均值-方差分析中需要對(duì)效用函數(shù)和資產(chǎn)收益率分布作出限制？10/10/13均值方差偏好下的投資組合選擇第13頁(yè)（二）均值-方差分析不足

M-V模型以資產(chǎn)回報(bào)均值和方差作為選擇對(duì)象，但是普通而言，資產(chǎn)回報(bào)均值和方差不能完全包含個(gè)體資產(chǎn)選擇時(shí)全部個(gè)人期望效用函數(shù)信息。對(duì)于任意效用函數(shù)和資產(chǎn)收益分布，期望效用并不能僅僅用預(yù)期收益和方差這兩個(gè)元素來(lái)描述。10/10/14均值方差偏好下的投資組合選擇第14頁(yè)

例1:假設(shè)有兩個(gè)博彩L1和L2，其中：L1=[0.75；10，100]，L2=[0.99；22.727，1000]E（R1）=32.5E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75Var（R2）=9455.11顯然，L2風(fēng)險(xiǎn)比L1大。10/10/15均值方差偏好下的投資組合選擇第15頁(yè)

考慮一個(gè)效用函數(shù)為，顯然，該個(gè)體為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，其在兩個(gè)博彩中期望效用分別為：Eu(R1)=4.872Eu(R2)=5.036即該風(fēng)險(xiǎn)厭惡者在預(yù)期收益相等兩個(gè)博彩中，方差較大博彩取得期望效用較高。10/10/16均值方差偏好下的投資組合選擇第16頁(yè)

普通地，假設(shè)經(jīng)濟(jì)主體在未來(lái)全部收益或財(cái)富是一個(gè)隨機(jī)變量，關(guān)于這個(gè)未來(lái)財(cái)富變量效用函數(shù)能夠通過(guò)泰勒展開式在經(jīng)濟(jì)行為主體對(duì)于這個(gè)隨機(jī)變量預(yù)期值周圍展開。即

10/10/17均值方差偏好下的投資組合選擇第17頁(yè)兩邊取期望值后得到：

顯然，對(duì)于含有嚴(yán)格凹遞增效用函數(shù)經(jīng)濟(jì)主體而言，其評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)效用不能僅僅只考慮其期望收益率和方差，因?yàn)槿A以上中心矩E（R3）也影響其期望收益。10/10/18均值方差偏好下的投資組合選擇第18頁(yè)不過(guò)，假如財(cái)富高階矩為0或者財(cái)富高階矩可用財(cái)富期望和方差來(lái)表示，則期望效用函數(shù)就僅僅是財(cái)富期望和方差函數(shù)。10/10/19均值方差偏好下的投資組合選擇第19頁(yè)（三）均值—方差分析基本假設(shè)

定理一：在經(jīng)濟(jì)主體未來(lái)收益或財(cái)富為任意分布情況下，假如經(jīng)濟(jì)主體效用函數(shù)為二次效用函數(shù)那么，期望效用僅僅是財(cái)富期望和方差函數(shù)。證實(shí)：P18010/10/20均值方差偏好下的投資組合選擇第20頁(yè)

定理二：在經(jīng)濟(jì)主體偏好為任意偏好情況下，假如資產(chǎn)收益分布服從正態(tài)分布，則期望效用函數(shù)僅僅是財(cái)富期望和方差函數(shù)。在收益分布為正態(tài)分布情況下，上述展開式中，三階以上中心矩中，奇數(shù)項(xiàng)為零，偶數(shù)階中心矩可寫成均值和方差函數(shù)。10/10/21均值方差偏好下的投資組合選擇第21頁(yè)（三）二次效用函數(shù)與收益正態(tài)分布假設(shè)不足1.二次效用函數(shù)不足二次效用函數(shù)含有遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和滿足性兩個(gè)性質(zhì)。滿足性意味著在滿足點(diǎn)以上，財(cái)富增加使效用減少，遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是劣質(zhì)品。這與那些偏好更多財(cái)富和將風(fēng)險(xiǎn)視為正常商品投資者不符。所以在二次效用函數(shù)中，我們需要對(duì)參數(shù)b取值范圍加以限制。10/10/22均值方差偏好下的投資組合選擇第22頁(yè)

2.收益正態(tài)分布不足（1）資產(chǎn)收益正態(tài)分布假設(shè)與現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)收益往往偏向正值相矛盾。收益正態(tài)分布意味著資產(chǎn)收益率可取負(fù)值，但這與有限責(zé)任經(jīng)濟(jì)標(biāo)準(zhǔn)相悖（如股票價(jià)格不能為負(fù)）。（2）對(duì)于密度函數(shù)分布而言，均值-方差分析沒有考慮其偏斜度。概率論中用三階矩表示偏斜度，它描述分布對(duì)稱性和相對(duì)于均值而言隨機(jī)變量落在其左或其右大致趨勢(shì)。顯然，正態(tài)分布下均值-方差分析不能做到這一點(diǎn)。10/10/23均值方差偏好下的投資組合選擇第23頁(yè)（3）用均值-方差無(wú)法刻畫函數(shù)分布中峭度。概率論中用四階矩表示峭度。但這一點(diǎn)在正態(tài)分布中不能表示。實(shí)際經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，資產(chǎn)回報(bào)往往含有“尖峰”“胖尾”特征。這顯然不符合正態(tài)分布。10/10/24均值方差偏好下的投資組合選擇第24頁(yè)

盡管均值-方差分析存在缺點(diǎn)，且只有在嚴(yán)格假設(shè)條件下才能夠與期望效用函數(shù)分析兼容，但因?yàn)槠浞治錾响`活性，相對(duì)便利實(shí)證檢驗(yàn)以及簡(jiǎn)練預(yù)測(cè)功效，使其成為廣泛利用金融和財(cái)務(wù)分析伎倆。10/10/25均值方差偏好下的投資組合選擇第25頁(yè)二、資產(chǎn)組合收益與風(fēng)險(xiǎn)度量及分散化效應(yīng)（一）先行案例

A企業(yè)股票價(jià)值對(duì)糖價(jià)格很敏感。多年以來(lái)，當(dāng)當(dāng)?shù)靥钱a(chǎn)量下降時(shí)，糖價(jià)格便猛漲，而A企業(yè)便會(huì)遭受巨大損失。該企業(yè)股票收益率在不一樣情況下情況如下：A企業(yè)股票收益10.5%，標(biāo)準(zhǔn)差為18.9%。糖生產(chǎn)正常年份異常年份股市牛市股市熊市糖生產(chǎn)危機(jī)概率0.50.30.2收益率%2510-2510/10/26均值方差偏好下的投資組合選擇第26頁(yè)

假定某投資者考慮以下幾個(gè)可供選擇資產(chǎn)，一個(gè)是持有A企業(yè)股票，一個(gè)是購(gòu)置無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，還有一個(gè)是持有糖業(yè)企業(yè)B股票?，F(xiàn)已知投資者持有50%A企業(yè)股票，另外50%在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和持有糖業(yè)企業(yè)股票之間進(jìn)行選擇。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為5%。糖業(yè)企業(yè)B股票收益率改變以下：10/10/27均值方差偏好下的投資組合選擇第27頁(yè)B企業(yè)股票收益為6%，標(biāo)準(zhǔn)差為14.43%糖生產(chǎn)正常年份異常年份股市牛市股市熊市糖生產(chǎn)危機(jī)概率0.50.30.2收益率%1-53510/10/28均值方差偏好下的投資組合選擇第28頁(yè)E(rArB)25%×1%10%×（－5%）35%×（－25%）0.50.30.210/10/29均值方差偏好下的投資組合選擇第29頁(yè)投資者不一樣投資策略下期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差：

資產(chǎn)組合預(yù)期收益率%標(biāo)準(zhǔn)差(%)全部投資在于A企業(yè)股票10.518.90組合一：A企業(yè)股票和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)各投資50%7.759.45組合二：A企業(yè)和B企業(yè)股票各投資50%8.254.5910/10/30均值方差偏好下的投資組合選擇第30頁(yè)（二）資產(chǎn)期望收益（均值）（1）單一資產(chǎn)期望收益在任何情況下，資產(chǎn)均值或期望收益是其收益概率加權(quán)平均值。Pr(s)表示s狀態(tài)下概率，r(s)為該狀態(tài)下收益率，則期望收益E(r)為

在上例中，我們能夠算出投資于A企業(yè)股票期望收益率為10.5%。10/10/31均值方差偏好下的投資組合選擇第31頁(yè)2.資產(chǎn)組合期望收益（均值）

資產(chǎn)組合期望收益是組成組合每一資產(chǎn)收益率加權(quán)平均，以組成百分比為權(quán)重.每一資產(chǎn)對(duì)組合預(yù)期收益率貢獻(xiàn)依賴于它預(yù)期收益率，以及它在組合初始價(jià)值中所占份額，而與其它一切無(wú)關(guān)。上例中第一個(gè)投資組合收益率為7.75%，第二種投資組合收益率為8.25%.10/10/32均值方差偏好下的投資組合選擇第32頁(yè)

假定市場(chǎng)上有資產(chǎn)1，2，，N。資產(chǎn)i期望收益率為，方差為i，資產(chǎn)i與資產(chǎn)j協(xié)方差為ij（或相關(guān)系數(shù)為ij）（i=1，2，，n，j=1，2，，m）投資者投資組合為：投資于資產(chǎn)i百分比為，i=1，2，，N，則資產(chǎn)組合期望收益為10/10/33均值方差偏好下的投資組合選擇第33頁(yè)

（三）資產(chǎn)方差1.單一資產(chǎn)方差

資產(chǎn)收益方差是期望收益偏差平方期望值：在上例中，A企業(yè)股票收益方差為357.25/W，標(biāo)準(zhǔn)差為18.9%。B企業(yè)股票收益率標(biāo)準(zhǔn)差為14.73%.10/10/34均值方差偏好下的投資組合選擇第34頁(yè)2.資產(chǎn)組合方差（1）兩資產(chǎn)組合收益率方差方差分別為與兩個(gè)資產(chǎn)以W1與W2權(quán)重組成一個(gè)資產(chǎn)組合方差為，假如一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成組合，則該組合標(biāo)準(zhǔn)差等于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差乘以該組合投資于這部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)百分比。

10/10/35均值方差偏好下的投資組合選擇第35頁(yè)

在上例中投資組合1標(biāo)準(zhǔn)差為9.45%，投資組合2方差為21.1/W，標(biāo)準(zhǔn)差為4.59%。10/10/36均值方差偏好下的投資組合選擇第36頁(yè)（2）多資產(chǎn)組合方差

10/10/37均值方差偏好下的投資組合選擇第37頁(yè)（四）資產(chǎn)協(xié)方差

協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系一個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)度，即它測(cè)度兩個(gè)隨機(jī)變量，如資產(chǎn)A和B收益率之間互動(dòng)性。10/10/38均值方差偏好下的投資組合選擇第38頁(yè)（五）相關(guān)系數(shù)

與協(xié)方差親密相關(guān)另一個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)量度是相關(guān)系數(shù)。實(shí)際上，兩個(gè)隨機(jī)變量間協(xié)方差等于這兩個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)系數(shù)乘以它們各自標(biāo)準(zhǔn)差積。

資產(chǎn)A和資產(chǎn)B相關(guān)系數(shù)為10/10/39均值方差偏好下的投資組合選擇第39頁(yè)

測(cè)量?jī)煞N股票收益共同變動(dòng)趨勢(shì): -1.0+1.0完全正相關(guān):+1.0完全負(fù)相關(guān):-1.0在-1.0和+1.0之間相關(guān)性可降低風(fēng)險(xiǎn)但不是全部10/10/40均值方差偏好下的投資組合選擇第40頁(yè)

在上例中，投資組合2中兩企業(yè)股票收益協(xié)方差為-240.5/w，其相關(guān)系數(shù)為-0.88。

10/10/41均值方差偏好下的投資組合選擇第41頁(yè)（六）多個(gè)資產(chǎn)方差-協(xié)方差矩陣10/10/42均值方差偏好下的投資組合選擇第42頁(yè)（七）資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)資產(chǎn)組合方差不但取決于單個(gè)資產(chǎn)方差，而且還取決于各種資產(chǎn)間協(xié)方差。

伴隨組合中資產(chǎn)數(shù)目標(biāo)增加，在決定組合方差時(shí)，協(xié)方差作用越來(lái)越大，而方差作用越來(lái)越小。比如，在一個(gè)由30種證券組成組合中，有30個(gè)方差和870個(gè)協(xié)方差。若一個(gè)組合深入擴(kuò)大到包含全部證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標(biāo)準(zhǔn)差決定性原因。10/10/43均值方差偏好下的投資組合選擇第43頁(yè)風(fēng)險(xiǎn)分散化原理被認(rèn)為是當(dāng)代金融學(xué)中唯一“白吃午餐”。將多項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合到一起，能夠?qū)_掉部分風(fēng)險(xiǎn)而不降低平均預(yù)期收益率。10/10/44均值方差偏好下的投資組合選擇第44頁(yè)

假定資產(chǎn)1在組合中比重是w，則資產(chǎn)2比重就是1-w。它們預(yù)期收益率和收益率方差分別記為E(r1)和E(r2)，21和22，組合預(yù)期收益率和收益率方差則記為E(r)和2。那么，10/10/45均值方差偏好下的投資組合選擇第45頁(yè)因?yàn)?1≤≤+1，所以有[w1-(1-w)2]2≤2≤[w1+(1-w)2]2

這表明，組合標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)大于標(biāo)準(zhǔn)差組合。事實(shí)上，只要<1，就有，∣∣<∣w1+(1-w)2∣,即資產(chǎn)組合標(biāo)準(zhǔn)差就會(huì)小于單個(gè)資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)平均數(shù)，這意味著只要資產(chǎn)變動(dòng)不完全一致，單個(gè)有高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)就能組成單個(gè)有中低風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，這就是投資分散化原理。10/10/46均值方差偏好下的投資組合選擇第46頁(yè)結(jié)構(gòu)一個(gè)投資每種資產(chǎn)等權(quán)重組合來(lái)看分散化力量：其中，10/10/47均值方差偏好下的投資組合選擇第47頁(yè)伴隨組合中資產(chǎn)數(shù)目標(biāo)增加，組合收益方差將越來(lái)越依賴于協(xié)方差。若這個(gè)組合中全部資產(chǎn)不相關(guān)，即當(dāng)隨證券數(shù)目增加，這個(gè)組合方差將為零（保險(xiǎn)標(biāo)準(zhǔn)）。10/10/48均值方差偏好下的投資組合選擇第48頁(yè)相關(guān)結(jié)論：1.資產(chǎn)組合方差是以協(xié)方差矩陣各元素與投資百分比為權(quán)重相乘加權(quán)平均總值。它除與各資產(chǎn)方差相關(guān)外，還與各資產(chǎn)間協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)。

10/10/49均值方差偏好下的投資組合選擇第49頁(yè)

2.資產(chǎn)組合預(yù)期收益能夠經(jīng)過(guò)對(duì)各種單項(xiàng)資產(chǎn)加權(quán)平均得到，但風(fēng)險(xiǎn)卻不能經(jīng)過(guò)各項(xiàng)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)平均得到(這只是組合中成份資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)為一且成份資產(chǎn)方差相等，權(quán)重相等時(shí)特例情況)。10/10/50均值方差偏好下的投資組合選擇第50頁(yè)

3.在資產(chǎn)方差或標(biāo)準(zhǔn)差給定下，組合每對(duì)資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)越高，組合方差越高。只要每?jī)煞N資產(chǎn)收益間相關(guān)系數(shù)小于一，組合標(biāo)準(zhǔn)差一定小于組合中各種證券標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)平均數(shù)。假如每對(duì)資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)為完全負(fù)相關(guān)即為－1且成份證券方差和權(quán)重相等時(shí)，則可得到一個(gè)零方差投資組合。但因?yàn)橄到y(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除，所以這種情況在實(shí)際中是不存在。

10/10/51均值方差偏好下的投資組合選擇第51頁(yè)三、兩資產(chǎn)模型下有效組合前沿（一）先行案例某投資者持有投資組合由兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成，兩資產(chǎn)期望收益率和方差以下：

資產(chǎn)期望收（%）標(biāo)準(zhǔn)差（%）A812B132010/10/52均值方差偏好下的投資組合選擇第52頁(yè)

以下為構(gòu)想投資者在兩種資產(chǎn)中投資百分比及資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)不一樣時(shí)投資組合期望收益和方差：10/10/53均值方差偏好下的投資組合選擇第53頁(yè)α1-αE(r)σ(ρ=-1)σ(ρ=0)σ(ρ=0.3)σ(ρ=1)0.01.013.020.020.020.020.00.30.711.510.414.4615.4717.600.50.510.54.011.6613.1116.000.70.39.52.410.3211.7014.400.90.18.58.810.9811.5612.801.00.08.012.012.012.012.010/10/54均值方差偏好下的投資組合選擇第54頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)差期望收益Ρ=1ρ=-110/10/55均值方差偏好下的投資組合選擇第55頁(yè)（二）相關(guān)概念1.投資者均值-方差無(wú)差異曲線對(duì)一個(gè)特定投資者而言，任意給定一個(gè)證券組合，依據(jù)他對(duì)期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度，按照期望收益率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)賠償要求，能夠得到一系列滿意程度相同（無(wú)差異）證券組合。全部這些組合在均值方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）坐標(biāo)系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者均值-方差無(wú)差異曲線。

10/10/56均值方差偏好下的投資組合選擇第56頁(yè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者均方無(wú)差異曲線方差期望收益10/10/57均值方差偏好下的投資組合選擇第57頁(yè)

同一條無(wú)差異曲線上組合滿意程度相同；無(wú)差異曲線位置越高，該曲線上組合滿意程度越高。無(wú)差異曲線滿足以下特征：(1)無(wú)差異曲線向右上方傾斜。

(2)無(wú)差異曲線是下凸。

(3)同一投資者有沒有數(shù)條無(wú)差異曲線。

(4)同一投資者在同一時(shí)間、同一時(shí)點(diǎn)任何兩條無(wú)差異曲線都不相交。(5)無(wú)差異曲線向上彎曲程度大小反應(yīng)了投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好強(qiáng)弱。10/10/58均值方差偏好下的投資組合選擇第58頁(yè)2.可行集

可行集也稱資產(chǎn)組合機(jī)會(huì)集合。它表示在收益和風(fēng)險(xiǎn)平面上，由各種資產(chǎn)所形成全部期望收益率和方差組合集合。

可行集包含了現(xiàn)實(shí)生活中全部可能組合，即全部可能證券投資組合將位于可行集內(nèi)部或邊界上。普通說(shuō)來(lái)，N種資產(chǎn)可行集形狀像傘形：10/10/59均值方差偏好下的投資組合選擇第59頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)差期望收益10/10/60均值方差偏好下的投資組合選擇第60頁(yè)3.有效集或有效前沿（邊界）均值－方差前沿（mean-variancefrontierMVF）

可行集中有沒有窮多個(gè)組合，對(duì)于非飽和且風(fēng)險(xiǎn)厭惡理性投資者而言，他們都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)而偏好收益。對(duì)于一樣風(fēng)險(xiǎn)水平，他們將會(huì)選擇能提供最大預(yù)期收益率組合；對(duì)于一樣預(yù)期收益率，他們將會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小組合。能同時(shí)滿足這兩個(gè)條件投資組合集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界（EfficientFrontier)。有效集描繪了投資組合風(fēng)險(xiǎn)與收益最優(yōu)配置。10/10/61均值方差偏好下的投資組合選擇第61頁(yè)有效集導(dǎo)出：資產(chǎn)組合全部可能點(diǎn)組成了平面上可行區(qū)域，對(duì)于給定，使組合方差越小越好，即求解以下二次規(guī)劃：10/10/62均值方差偏好下的投資組合選擇第62頁(yè)10/10/63均值方差偏好下的投資組合選擇第63頁(yè)10/10/64均值方差偏好下的投資組合選擇第64頁(yè)因?yàn)橥顿Y者是非飽和且厭惡風(fēng)險(xiǎn)，即風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)追求收益最大，收益一定時(shí)追求風(fēng)險(xiǎn)最小。所以，同時(shí)滿足在各種風(fēng)險(xiǎn)水平下，提供最大預(yù)期收益和在各種預(yù)期收益下能提供最小風(fēng)險(xiǎn)這兩個(gè)條件就稱為有效邊界。即雙曲線上半部。上面各點(diǎn)所代表投資組合一定是經(jīng)過(guò)充分分散化而消除了非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)組合。10/10/65均值方差偏好下的投資組合選擇第65頁(yè)有效集形狀：有效邊界全局最小方差資產(chǎn)組合最小方差邊界個(gè)人資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差期望收益MVP10/10/66均值方差偏好下的投資組合選擇第66頁(yè)有效集曲線形狀含有以下特點(diǎn)：（1）有效集是一條向右上方傾斜曲線，它反應(yīng)了“高收益、高風(fēng)險(xiǎn)”標(biāo)準(zhǔn)；（2）有效集是一條向左凸曲線。有效集上任意兩點(diǎn)所代表兩個(gè)組合再組合起來(lái)得到新點(diǎn)（代表一個(gè)新組合）一定落在原來(lái)兩個(gè)點(diǎn)連線左側(cè)，這是因?yàn)樾陆M合能深入起到分散風(fēng)險(xiǎn)作用。（3）有效集曲線上不可能有凹陷地方MVF任意組合也是MVF組合。10/10/67均值方差偏好下的投資組合選擇第67頁(yè)四、N種資產(chǎn)普通模型（一）模型基本假定1.市場(chǎng)上存在n>2種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，w代表投資到n種資產(chǎn)上投資百分比，w為一個(gè)n維列向量。記為：

同時(shí)，允許w<0，即賣空不受限制。2.為i資產(chǎn)期望收益率，為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合期望收益，同時(shí)，令全部n種資產(chǎn)期望收益率組成向量為10/10/68均值方差偏好下的投資組合選擇第68頁(yè)

3.假設(shè)n種資產(chǎn)收益率是非共線性，即其中任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)隨機(jī)收益都不能表示為其它資產(chǎn)隨即收益線性組合。則組合期望收益為：

4.組合方差、協(xié)方差矩陣為：10/10/69均值方差偏好下的投資組合選擇第69頁(yè)

因?yàn)槲覀兗俣ńM合中資產(chǎn)隨機(jī)收益是非共線性，所以，該矩陣是非奇異（nonsingular）。另外，因?yàn)榻M合方差是非負(fù)，所以，組合方差必須是一個(gè)正定矩陣，即對(duì)于任何非0向量，都有，所以，整個(gè)組合方差為10/10/70均值方差偏好下的投資組合選擇第70頁(yè)（二）N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合組合前沿1.定義給定收益率水平μ，假如一個(gè)資產(chǎn)組合收益率方差是全部期望收益率為μ組合中最小，則稱它為一個(gè)邊界組合（frontierportfolio），全部邊界組合組成集合為組合邊界。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：p是一個(gè)前沿資產(chǎn)組合當(dāng)且僅當(dāng)它資產(chǎn)組合權(quán)重是二次規(guī)劃問題P解。10/10/71均值方差偏好下的投資組合選擇第71頁(yè)10/10/72均值方差偏好下的投資組合選擇第72頁(yè)

經(jīng)過(guò)上述二次規(guī)劃問題求解，我們能夠得到組合邊界方程，它是均值-方差平面上一條拋物線，這條拋物線稱為最小方差曲線（minimumvariancecurve,MVC）拋物線頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)在全部組合中方差最小組合，稱為最小方差組合（minimumvarianceportfolio,MVP）。10/10/73均值方差偏好下的投資組合選擇第73頁(yè)組合邊界方差均值mvp10/10/74均值方差偏好下的投資組合選擇第74頁(yè)（三）有效組合前沿期望收益率嚴(yán)格高于最小方差組合期望收益率前沿邊界稱為有效組合前沿。位于資產(chǎn)組合前沿邊界，既不是有效資產(chǎn)組合，又不是最小方差資產(chǎn)組合前沿邊界合稱為非有效組合前沿。對(duì)于每一個(gè)屬于非有效組合前沿上資產(chǎn)組合，存在一個(gè)含有相同方差但更高期望收益率有效資產(chǎn)組合。10/10/75均值方差偏好下的投資組合選擇第75頁(yè)（四）組合前沿性質(zhì)

1.任何一個(gè)含有均值-方差偏好經(jīng)濟(jì)主體最優(yōu)組合是一個(gè)均值-方差前沿組合。2.任意前沿資產(chǎn)組合都能夠由期望收益為0和期望收益為1兩個(gè)前沿組合組合而成。3.任何前沿邊界組合線性組合仍在前沿邊界上。有效資產(chǎn)組合任何凸組合仍是有效組合，有效組合集合所以是一個(gè)凸集。

10/10/76均值方差偏好下的投資組合選擇第76頁(yè)4.任何含有均值-方差效率資產(chǎn)組合都是由任何兩個(gè)具有均值-方差效率組合組成；由兩個(gè)都有均值-方差效率資產(chǎn)組合線性組合組成資產(chǎn)組合也是含有均值-方差效率資產(chǎn)組合。5.最小方差組合mvp，與任何資產(chǎn)組合（不但僅是前沿邊界上）收益率協(xié)方差總是等于最小方差資產(chǎn)組合收益率方差。

10/10/77均值方差偏好下的投資組合選擇第77頁(yè)6.資產(chǎn)組合邊界一個(gè)主要性質(zhì)是，對(duì)于前沿邊界上任何資產(chǎn)p，除了最小方差資產(chǎn)組合，存在唯一前沿邊界資產(chǎn)組合，用zc(p)表示，與p協(xié)方差為0。7.不存在與最小方差資產(chǎn)組合含有0協(xié)方差前沿邊界資產(chǎn)組合。10/10/78均值方差偏好下的投資組合選擇第78頁(yè)（五）考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情形考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下投資者二次規(guī)劃問題為：

10/10/79均值方差偏好下的投資組合選擇第79頁(yè)

該二次規(guī)劃問題解表明，包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在內(nèi)資產(chǎn)組合均值-方差有效組合前沿為一條直線。MABC10/10/80均值方差偏好下的投資組合選擇第80頁(yè)圖中AM線為效率組合前沿，該直線方程可寫為：當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M固定時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合期望值收益和標(biāo)準(zhǔn)差呈線性關(guān)系。直線AM也稱為對(duì)應(yīng)于切點(diǎn)組合M轉(zhuǎn)換線（transformationline），它刻畫了投資者在特定風(fēng)險(xiǎn)組合和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率之間轉(zhuǎn)換。在轉(zhuǎn)換線上，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著投資者將全部財(cái)富投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。10/10/81均值方差偏好下的投資組合選擇第81頁(yè)

位于點(diǎn)M左側(cè)全部點(diǎn)對(duì)應(yīng)于投資者將其財(cái)富一部分投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一部分則用于貸出生息；位于點(diǎn)M右側(cè)全部點(diǎn)對(duì)應(yīng)于投資者在市場(chǎng)上賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。該轉(zhuǎn)換線也稱之為資本市場(chǎng)線（CapitalMarketLine，CML）。它表明所由含有均值-方差偏好經(jīng)濟(jì)主體都在資本市場(chǎng)線上選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合。轉(zhuǎn)換線斜率為：10/10/82均值方差偏好下的投資組合選擇第82頁(yè)

其分子為組合M風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，該斜率刻畫了組合單位風(fēng)險(xiǎn)所帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，我們稱其為夏普比率（SharpRatio）。一樣地，我們可知，有沒有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成組合夏普比率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M夏普比率相等。在存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下，假如組合M是一個(gè)有效組合前沿上資產(chǎn)組合，那么，對(duì)于任意組合p，我們有10/10/83均值方差偏好下的投資組合選擇第83頁(yè)10/10/84均值方差偏好下的投資組合選擇第84頁(yè)分散化證券風(fēng)險(xiǎn)由兩部分組成，一是市場(chǎng)（系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)，二是個(gè)別（或非系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)10/10/85均值方差偏好下的投資組合選擇第85頁(yè)組合總風(fēng)險(xiǎn)10/10/86均值方差偏好下的投資組合選擇第86頁(yè)