2013-2014第二學(xué)期數(shù)理金融期末試卷

頁(yè)腳內(nèi)容頁(yè)腳內(nèi)容1413—14學(xué)年第二學(xué)期《數(shù)理金融學(xué)》期末考試試題（A）注意事項(xiàng)：1.適用班級(jí)：11數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本1.本2,2013數(shù)學(xué)（升本）2.本試卷共1頁(yè).滿分100分.3.考試時(shí)間120分鐘.4.考試方式：閉卷一、選擇題（每小題3分，共15分）1.某證券組合由X、Y、Z三種證券組成，它們的預(yù)期收益率分別為10%、16%、20%它們?cè)诮M合中的比例分別為30%、30%、40%，則該證券組合的預(yù)期收益率為A15.3%B15.8%C14.7%D15.0%2．無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率和市場(chǎng)期望收益率分別是0?06和0?12?根據(jù)CAPM模型，貝塔值為1?2的證券X的期望收益率為A0?06B0?144C0?12D0?1323．無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為0?07，市場(chǎng)期望收益率為0?15?證券X的預(yù)期收益率為0?12,貝塔值為1?3?那么你應(yīng)該A買入X,因?yàn)樗桓吖懒?；B賣空X，因?yàn)樗桓吖懒薈賣空X,因?yàn)樗坏凸懒耍籇買入X,因?yàn)樗坏凸懒??一個(gè)看跌期權(quán)在下面哪種情況下不會(huì)被執(zhí)行？A執(zhí)行價(jià)格比股票價(jià)格高；B執(zhí)行價(jià)格比股票價(jià)格低C執(zhí)行價(jià)格與股票價(jià)格相等；D看跌期權(quán)的價(jià)格高于看漲期權(quán)的價(jià)格5?假定IBM公司的股價(jià)是每股95美元?一張IBM公司4月份看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為100美元，期權(quán)價(jià)格為5美元?忽略委托傭金，看漲期權(quán)的持有者將獲得一筆利潤(rùn)，如果股價(jià)—A漲到104美元B跌到90美元C漲到107美元D跌到96美元二、填空題（每小題3分，共15分）1?風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者的效用函數(shù)為2?設(shè)一投資者的效用函數(shù)為U（X）=-e-ax,則其絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)A（x）=3?均值-方差投資組合選擇模型是由提出的.4?可以在到期日前任何一天行使的期權(quán)稱之為5?考察下列兩項(xiàng)投資選擇：（1）風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合40%的概率獲得15%的收益，60%的概率獲得5%的收益；（2）銀行存款收益率為6%;則風(fēng)險(xiǎn)投資的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是三、分析題（每小題15分，共30分）1?設(shè)某人面臨兩種工作，需要從中選擇出一種,其收入RR都是不確定的?第一種工作是在12私營(yíng)公司里搞推銷，薪金較高?如果干得好，每月可掙得2000元；干得一般，每月就只能掙得1000元?假定他掙得2000元和掙得1000元的概率各為1/2?第二種工作是在國(guó)營(yíng)商店當(dāng)售貨員，每月工資1510元?但在國(guó)營(yíng)商店?duì)I業(yè)狀況極差的情況下，每月就只能得到510元的基本工資收入?不過(guò)，一般情況下國(guó)營(yíng)商店?duì)I業(yè)狀況不會(huì)極差，出現(xiàn)營(yíng)業(yè)狀況極差情況的可能性只有1%,因此第二種工作獲得月收入1510元的可能性為99%?假設(shè)該人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，這個(gè)人會(huì)選擇哪一種工作呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.2?經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中有一只無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與2只風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)X,X?無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益為12R二1+r，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)X,X在時(shí)間0的價(jià)格分12別為v二v二1，在時(shí)期1有3個(gè)可能的狀態(tài)，12它們的收益矩陣為：Z=[312;224]t，試求正狀態(tài)定價(jià)向量、等價(jià)概率分布，并討論相應(yīng)的套利機(jī)會(huì).四、計(jì)算題（共15分）某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為40美元.已知在1個(gè)月后，股票價(jià)格為42美元或38美元?無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%（連續(xù)復(fù)利）?請(qǐng)用無(wú)套利原理說(shuō)明，（1）執(zhí)行價(jià)格為39美元的1個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？（2）執(zhí)行價(jià)格為39美元的1個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？（3）驗(yàn)證歐式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系.五、綜合題（共25分）假設(shè)你的初始財(cái)富稟賦為單位資金1,將全部用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，證券市場(chǎng)上有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供你選擇，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為隨機(jī)向量X二（X,X,…,X）T,其期望收益率向量為12n卩二（卩，卩，…，卩）T，假設(shè)你是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者,12n期望收益率水平為rp,目標(biāo)是構(gòu)建一投資組合w實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化，現(xiàn)在請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，完成如下任務(wù)：（1）建立一個(gè)投資組合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；（2）求解最優(yōu)組合W；（3）求解最小化風(fēng)險(xiǎn)p2的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（4）假設(shè)市場(chǎng)上只有3種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可以供你選擇進(jìn)行投資，其期望收益率向量為m=E（X）=（2,1,3）t，協(xié)方差矩陣為工=[100；020;004]，你的期望收益率為rp=2,請(qǐng)求解你此時(shí)的最優(yōu)投資組合W及面臨的風(fēng)險(xiǎn)p2?13—14學(xué)年第二學(xué)期《數(shù)理金融學(xué)》期末考試試題（B）注意事項(xiàng)：1.適用班級(jí)：11數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本1、本2,13數(shù)學(xué)升本1、2。本試卷共1頁(yè)，滿分100分?？荚嚂r(shí)間120分鐘?？荚嚪绞剑骸伴]卷”。一、選擇題（每小題3分，共15分）1?公平賭博是指—_。A風(fēng)險(xiǎn)厭惡者不會(huì)參與。B是沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)投資。C是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資。DA與B均正確。2?根據(jù)一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和N種有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)作出的資本市場(chǎng)線是。A連接無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合最小方差兩點(diǎn)的線。B連接無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和有效邊界上預(yù)期收益最高的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的線。C通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率那點(diǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合有效邊界相切的線。D通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的水平線。3．投資分散化加強(qiáng)時(shí)，資產(chǎn)組合的方差會(huì)接近。A0B市場(chǎng)組合的方差C1D無(wú)窮大4．一張股票的看漲期權(quán)的持有者將會(huì)承受的最大損失等于。A看漲期權(quán)價(jià)格B市值減去看漲期權(quán)合約的價(jià)格C執(zhí)行價(jià)格減去市值D股價(jià)5?考察下列兩項(xiàng)投資選擇（1）風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合40%的概率獲得15%的收益，60%的概率獲得5%的收益；（2）銀行存款利率6%的年收益。假若你投資100000美元于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，則你的預(yù)期收益是。A40000美元B2500美元C9000美元D3000美元二、填空題（每小題3分，共15分）1?設(shè)h是一賭博，在未來(lái)有兩種可能的狀態(tài)或結(jié)果h,h，其中h發(fā)生的概率為p，h發(fā)生1212TOC\o"1-5"\h\z的概率為1p，則h是公平賭博的數(shù)學(xué)表達(dá)式為。2?“均值-方差”有效資產(chǎn)組合是這樣一個(gè)資產(chǎn)組合，對(duì)確定的方差具有，同時(shí)對(duì)確定的期望收益率水平有。3.證券市場(chǎng)線是指對(duì)任意資產(chǎn)組合XM,p由點(diǎn)所形成的軌跡?證券市場(chǎng)線方程為。4?設(shè)w=（w,w鬃w）t為一資產(chǎn)組合，若w滿12n足，則稱之為套利資產(chǎn)組合。5.如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=6%,E（X）=14%,E（X）=18%,則XfMpp的b=。三、簡(jiǎn)答題（每小題10分，共20分）1?考慮3個(gè)資產(chǎn)A、B以及c。它們具有如下的風(fēng)險(xiǎn)特征：它們年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為50％，0值分別為0、1?5以及-1?5。另外，市場(chǎng)年組合收益率的均值為rM=12%，標(biāo)準(zhǔn)差為b二20%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為4%。由CAPM公式，M計(jì)算這三個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是多少?2?假設(shè)有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A和B。資產(chǎn)A：期望收益率r=10%，收益率方差b2二16%；AA資產(chǎn)B：期望收益率r二6%3%，收益率方差Bb2二4%。你愿意持有哪一種資產(chǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理B由。四、應(yīng)用題（共15分）設(shè)企業(yè)I在0期將發(fā)行100股股票，企業(yè)在1期的價(jià)值為隨機(jī)變量V（1）。企業(yè)的資金都是通過(guò)發(fā)行這些股票而籌措的，以致于股票持有者有資格獲得V（1）=完全的收益流?最后I給出的有關(guān)數(shù)據(jù)是：|$1000p=l/4V（1）=1I|$800p=3/4cov（X,X）=0.045，1MJvar(X)=0.30r=0.10，E(X)=0.20。MM試用資本資產(chǎn)定價(jià)方程或風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)定價(jià)公式求出該股票在0期的合理價(jià)值。五、計(jì)算題（第1題20分，第2題15分，共35分）1?某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為50美元。已知在兩個(gè)月后，股票價(jià)格為53美元或48美元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%（連續(xù)復(fù)利）。請(qǐng)用無(wú)套利原理說(shuō)明，（1）執(zhí)行價(jià)格為49美元的2個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？（2）執(zhí)行價(jià)格為49美元的2個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？（3）驗(yàn)證歐式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)之間平價(jià)關(guān)系。2?某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為50美元。有連續(xù)2個(gè)周期，每個(gè)周期為3個(gè)月，在每個(gè)周期內(nèi)的單步二叉樹(shù)的股價(jià)或者上漲6%或者下跌5%。利率為5%（連續(xù)復(fù)利）。求執(zhí)行價(jià)格為51美元，有效期為6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？2013-2014學(xué)年第二學(xué)期課程考試《數(shù)理金融學(xué)》試卷（A卷）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)命題教師：熊洪斌考試班級(jí)：11應(yīng)數(shù)本1、2，13數(shù)學(xué)（升本）1、2一、選擇題（每小題3分，共15分）

1.凹函數(shù)（或u〃（x）＜0）；2.a；3.馬科維茨;4.美式期權(quán)；5.3%.三、分析題（每小題15分，共30分）1?解：首先計(jì)算這兩種工作的預(yù)期月收入ER1和ER：2ER=0.5x2000+0.5x1000=1500（元）（2分）1ER=0.99x1510+0.01x510=1500（元）（2分）2可見(jiàn)，兩種工作月收入的期望值都為1500元，即ER二ER12再計(jì)算這兩種工作月收入的方差Q2和Q2:12g2=0.5x（2000-1500）2+0.5x（1000-1500）2=250000（3分）G2=0.99x（1510-1500）2+0.01x（510-1500）2=9900（3分）所以，兩種工作的標(biāo)準(zhǔn)差分別為g=500，1g=30“1?g〉g說(shuō)明，第一種工作雖然收212入可高達(dá)2000元，但風(fēng)險(xiǎn)大（即方差大）；第二種工作雖然收入最高只有1510元，但風(fēng)險(xiǎn)小（即方差?。?（2分）ER二ERg〉g，由于該人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者,1212所以他會(huì)選擇第二種工作.（3分）1232.解：令正狀態(tài)定價(jià)向量j=（j,j,j）T（1分）123則：即：3則：即：ZTj（1,1>,aji

i=113+J+2=1!2+2/+4/=1十12杠1+j2+j3=1/R3分）1分）解得233?（3分）3分）1分）解得2341Rj=（j1,j2,j3了萬(wàn)晶j=（j1,j2,j3了萬(wàn)晶-＞（1分）當(dāng)2vRv—時(shí)j＞0（i=1,2,3），市場(chǎng)無(wú)套利,3i因而存在等價(jià)概率分布律.（2分）等價(jià)概率分布律為：（3分）

P(i)十R42—吁R4護(hù)P(i)十R42—吁R4護(hù)-C0=1.((4分)[q?3在其他情形都會(huì)存在套利機(jī)會(huì).(1分)(1-q)?0]1.8二8B1.782(美1.01四、計(jì)算題(共15分)(2)執(zhí)行價(jià)格K=39美元的看跌期權(quán)的二叉樹(shù)模型為：qZS二42S二40”u,r二12%,t二1/1201-q]S二38fd

qZC=0u1-q]C二1d所以看跌期權(quán)的價(jià)格為：第1步：從股票二叉圖得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率q.由無(wú)套利原理知：e0.12,1/12?4042q+38(1-q)

10.4P0=Hi[q?0⑴q)?1]市B0396(美4分)從40?(10.01)=42q+38(1-q)我們得到2.4=42q-38q=4q所以q=0.6(3分)第2步：對(duì)衍生產(chǎn)品價(jià)值C和C求平均.ud(1)執(zhí)行價(jià)格為39美元的1個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的二叉樹(shù)模型為：CqZCu=3看漲期01-q]C二0d權(quán)的價(jià)格為：

(3)P+S=C+Ke-rT，P+S二0.396+40二40.396,C+Ke-rT二1.782(4分)五、綜合題(共25分)解：⑴對(duì)一定期望收益率r,選擇資產(chǎn)組合p使其總風(fēng)險(xiǎn)最小的數(shù)學(xué)模型為：11mms2=wt2p2s.tE(X)=mr妝rpp1T?w15分)2）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日乘數(shù)法求解：s2=w*Tw*=—(r-—)2+—(2分)Dpcc令L(w,九,九)=iw》w十九(r-w'.p)十九(1-1w)1221p2(2分)24）由題意知，其中l(wèi)和l為待定參數(shù)，最優(yōu)解應(yīng)滿足的一12階條件為：輊犏0犏犏犏020，所以，a00-1=犏0輊犏000.5

犏臌00000.251分)m=E(X)=(2,1,3)T工=aw-l?ml?10;勺WT12—=r-wt?m0;勺lp1工=1-1T?w0;勺l2(2分)邋27a=mT-1m=6.25=,b=mr411=7,D=ac-b2=544c=1Ta4分)=2得最優(yōu)解：w*=a-1(l?ml?1).12(2分)rc-l=-p——1D=5,l52a-r———p—D(2分)令邋?a=mT-1m,b=mT-11=1T-1m,c=1Ta-11,D=ac-b2rc-ba-rbl=—p,l=p—1D2D2分）最小方差資產(chǎn)組合方差為：1

w*=^邋.5，(1分)1?m-1?11(3,1,1y=(0.6,0.2,0.2)s2=w*Tawp=D(rp-—13)2+—=—cc52分)66分)2013?2014學(xué)年第二學(xué)期課程考試《數(shù)理金融學(xué)》試卷（B卷）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)命題教師：熊洪斌

我們有r-r=0x0.08=0_AFr-r=1.5x0.08=12%_BFr—r=-1.5x0.08=-12%CF考試班級(jí)：11考試班級(jí)：11應(yīng)數(shù)本1、2，13數(shù)學(xué)（升本）1、2二.填空題（每小題3分，共15分）2.解：因?yàn)閞=10%,r=6%；ABs2=16%,s2=4%;（2分）AB令rr分別表示資產(chǎn)A,B的單位風(fēng)險(xiǎn)回報(bào),AB則6%q=32%10%=6%q=32%4%BsB6分)E(E(XI)=r+EXM&Fcov(%1，XM)

ME(h)=ph+(1一p)h=012最大期望收益率，最小的方差.TOC\o"1-5"\h\z(b,E(X))；MpPE(X)-r=b(E(X)-r).pMpM1t?w0,1=(1,1鬃1)Tn1.5三、簡(jiǎn)答題(每小題10分，共20分)1.解答：首先，市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是r-r=0.12-0.04=8%，(4分)MF

由^<rn可知，資產(chǎn)B每單位風(fēng)險(xiǎn)獲得的回AB報(bào)大于資產(chǎn)A每單位風(fēng)險(xiǎn)所獲得的回報(bào)，因此,更愿意持有資產(chǎn)B.（2分）四、應(yīng)用題（共15分）解：應(yīng)用證券市場(chǎng)線方程3分)

=0.10+氣瀘?°-0450.15=0.10+氣瀘?°-0450.15即普通股所需的收益率為15%，這就意味著市場(chǎng)將以15%的貼現(xiàn)E[V(1)]，以確定股票在I0期的市場(chǎng)價(jià)格，于是我們有13E[V(1)]=—?1000?800850$I44(4分)P=E(V,(1))/100=8.50?73901+r1.15■?(6分)五、計(jì)算題(第1題20分，第2題15分，共35分)1.解：股票的價(jià)格二叉樹(shù)模型為：qZS二53S二50勺u(yù),r二10%,t=1/601-q]S二48fd(2分)第1步：從股票二叉圖得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率q?由無(wú)套利原理知：e0.11/6?5053q+48(1-q)從50?(11/60)=53q+48(1-q)我們得到17/6=53q-48q=5q所以q=3.4/6(3分)第2步：對(duì)衍生產(chǎn)品價(jià)值C和C求平均?ud(1)執(zhí)行價(jià)格為49美元的2個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的二叉樹(shù)模型為：qZC二4Cu01-q]C=0d看漲期權(quán)的價(jià)格為：C0=爲(wèi)⑷？4⑴q)?0]61/60136佟B竺=