蘇教版九年級數(shù)學下冊二次函數(shù)與圖形面積問題教案

本文格式為Word版，下載可任意編輯—12—蘇教版九年級數(shù)學下冊二次函數(shù)與圖形面積問題教案二次函數(shù)與圖形的面積問題學識導圖三角形常見測驗圖形梯形不規(guī)矩圖形直接計算分割法好像圖形鉛垂高乘以水平寬二次函數(shù)與圖形的面積問題說明的依次和布局三點剖析考點才能要求重難點易錯點識記理解分析應用綜合表達分割法求圖形的面積√√√利用圖形的好像求圖形的面積√√√√鉛垂高乘以水平寬√√√學識精講考點1利用分割法求圖形的面積【考點解析：】適用題型：1、矩形或者正方形中，計算不規(guī)矩片面面積；

2、一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像中不規(guī)矩三角形或者四邊形的面積常見分割方法：

1、用規(guī)矩圖形面積減去規(guī)矩圖形的面積；

2、沿著x軸或者y軸將圖形分割成兩個三角形；

3、過圖形上的點往x軸或者y軸作垂線，將圖形分割成三角形和直角梯形【典型例題：】例1.1.1如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線與x軸交于點E．（1）

求點E的坐標；

（2）

求過A、O、E三點的拋物線解析式；

（3）

若點P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點（不與A、E重合），設四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值。

【答案解析】解：（1）作AF⊥x軸于F，∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=∴點A（1，）代入直線解析式，得，∴m=∴當y=0時，得x=4，∴點E（4，0）

（2）設過A、O、E三點拋物線的解析式為y=ax2+bx+c∵拋物線過原點∴c=0，∴∴拋物線的解析式為（3）作PG⊥x軸于G，設P（x0，y0）

S四邊形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE==當時，S最大=．【解析】（1）（2）由圖可作AF⊥x軸于F，根據直角三角形性質，用待定系數(shù)求E點坐標和的拋物線解析式；

（3）再作作PG⊥x軸于G，將四邊形OAPE的面積S用x0來表示，將問題轉化為求函數(shù)最值問題．【針對練習：】練1.1.1（2022蘇州中考第28題）如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．①寫出點M′的坐標；

②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時中斷旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數(shù)）．【答案解析】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，∵M在拋物線上，且在第一象限內，∴0＜m＜3，過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），∴D的縱坐標為：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐標為（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DM?BE+DM?OE=DM（BE+OE）

=DM?OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴當m=時，S有最大值，最大值為；

（3）①由（2）可知：M′的坐標為（，）；

②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，根據題意知：d1+d2=BF，此時只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴點F在以BM′為直徑的圓上，設直線AM′與該圓相交于點H，∵點C在線段BM′上，∴F在優(yōu)弧上，∴當F與M′重合時，BF可取得最大值，此時BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，過點M′作M′G⊥AB于點G，設BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°【解析】（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；

（2）過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，所以△ABM的面積為DM?OB，設M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數(shù)關系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范圍是0＜m＜3；

（3）①由（2）可知m=，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標的值；

②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由題意可知，點F在以BM′為直徑的圓上，所以當點F與M′重合時，BF可取得最大值．考點2利用好像解決圖形的面積問題【考點解析：】例：如圖，DE//BC，假設AD∶AB=k呢？求S△ADE∶S△ABC的值。

適用題型：圖形中涉及平行線、好像三角形常見分割方法：1、利用平行關系或者三角形的好像，計算出對應的邊長；

2、根據面積之比是好像比的平方直接表示出圖形的面積【典型例題：】例2.1.1已知：如圖一，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=x﹣2經過A、C兩點，且AB=2．（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線DE平行于x軸并從C點開頭以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D，同時動點P從點B啟程，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；

當點P運動到原點O時，直線DE與點P都中斷運動，連DP，若點P運動時間為t秒；

設s=，當t為何值時，s有最小值，并求出最小值．（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC好像；

若存在，求t的值；

若不存在，請說明理由．【答案解析】解：（1）由直線：y=x﹣2知：A（2，0）、C（0，﹣2）；

∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即B（4，0）．設拋物線的解析式為：y=a（x﹣2）（x﹣4），代入C（0，﹣2），得：

a（0﹣2）（0﹣4）=﹣2，解得a=﹣∴拋物線的解析式：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）=﹣x2+x﹣2．（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，那么tan∠OCB=2；

∵CE=t，∴DE=2t；

而OP=OB﹣BP=4﹣2t；

∴s===（0＜t＜2），∴當t=1時，s有最小值，且最小值為1．（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，那么BC=2；

在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，那么CD=t；

∴BD=BC﹣CD=2﹣t；

以P、B、D為頂點的三角形與△ABC好像，已知∠OBC=∠PBD，那么有兩種處境：

①=?=，解得t=；

②=?=，解得t=；

綜上，當t=或時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC好像．【解析】（1）首先根據直線AC的解析式確定點A、C的坐標，已知AB的長，進一步能得到點B的坐標；

然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．（2）根據所給的s表達式，要解答該題就務必知道ED、OP的長；

BP、CE長易知，那么由OP=OB﹣BP求得OP長，由∠CED的三角函數(shù)值可得到ED的長，再代入s的表達式中可得到關于s、t的函數(shù)關系式，結合函數(shù)的性質即可得到s的最小值．（3）首先求出BP、BD的長，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABC好像，已知的條件是公共角∠OBC，那么務必得志的條件是夾公共角的兩組對應邊成比例，分兩種處境議論即可．【針對練習：】練2.1.1如圖，△ABC是一張直角三角形彩色紙，AC=15cm，BC=20cm．若將斜邊上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）張寬度相等的長方形紙條．那么這（n﹣1）張紙條的面積和是cm2．【答案解析】解：如圖，∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB==25，∵CD?AB=AC?BC，∴CD=12，∵斜邊上的高CD分成n等分，∴CH=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴=，即=，解得EF=?25，即從上往下數(shù)，第1個矩形的長為?25，同理可得從上往下數(shù)，第2個矩形的長為?25，…從上往下數(shù)，第（n﹣1）個矩形的長為?25，而全體矩形的寬都為?12，∴這（n﹣1）張紙條的面積和是=[?25+?25+…+?25]??12=（1+2+…+n﹣1）??12=（cm2）．故答案為．【解析】先利用勾股定理計算出AB=25，再利用面積法計算出CD=12，接著證明△CEF∽△CAB，那么可計算出EF=?25，同理可得從上往下數(shù)，第2個矩形的長為?25，…，從上往下數(shù)，第（n﹣1）個矩形的長為?25，且全體矩形的寬的和為?12，然后把全體矩形的面積相加即可．練2.1.2已知拋物線（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經過點A的直線與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若在第三象限內的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC好像，求點P的坐標；

（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B啟程，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后中斷，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？【答案解析】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴點A的坐標為（﹣3，0）、點B兩的坐標為（1，0），∵直線y=﹣x+b經過點A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，當x=2時，y=﹣5，那么點D的坐標為（2，﹣5），∵點D在拋物線上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，那么拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（2）作PH⊥x軸于H，設點P的坐標為（m，n），當△BPA∽△ABC時，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合題意，舍去），當m=﹣4時，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC?PB，∴42=?，解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，那么n=5a=﹣，∴點P的坐標為（﹣4，﹣）；

當△PBA∽△ABC時，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合題意，舍去），當m=﹣6時，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴=，即AB2=BC?PB，∴42=?，解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，那么點P的坐標為（﹣6，﹣），綜上所述，符合條件的點P的坐標為（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；

（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，那么tan∠DAN===，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE==EF，∴Q的運動時間t=+=BE+EF，∴當BE和EF共線時，t最小，那么BE⊥DM，y=﹣4．【解析】（1）根據二次函數(shù)的交點式確定點A、B的坐標，求出直線的解析式，求出點D的坐標，求出拋物線的解析式；

（2）作PH⊥x軸于H，設點P的坐標為（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據好像三角形的性質計算即可；

（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時，t最小即可．考點3利用鉛垂高和水平寬公式求解圖形的面積問題公式：S=鉛垂高乘以水平寬適用題型：多用于不規(guī)矩三角形或者四邊形的面積計算，其中該圖形有至少兩個頂點在函數(shù)圖象上常見分割方法：選用一條分割線作為底，分割線左右（上下）兩個頂點之間的間距作為高，其面積為S=鉛垂高乘以水平寬【考點解析：】【典型例題：】例3.1.1如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（－2，0），連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉120°，得到線段OB.（1）

求點B的坐標；

（2）

求經過A、O、B三點的拋物線的解析式；

（3）

在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；

若不存在，請說明理由.（4）

假設點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；

若沒有，請說明理由.CBAOyxDBAOyxP【答案解析】解：（1）B（1，）

（2）設拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點B（1,），得，因此（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=—1，當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△BOC的周長最小.設直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當x=－1時，，因此點C的坐標為（－1，/3）.（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.當x=－時，△PAB的面積的最大值為，此時.【解析】求△PAB的面積的時候，過點P作x軸的垂線，將△PAB的面積分成左右兩個三角形，以PD為底，那么AB為水平寬，利用公式表示出三角形的面積是解題的關鍵。

練3.1.1如圖1，拋物線頂點坐標為點C(1，4)，交x軸于點A(3，0)，交y軸于點B。

（1）求拋物線和直線AB的解析式；

（2）求△CAB的鉛垂高CD及S