蘇教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)與圖形面積問(wèn)題教案

本文格式為Word版，下載可任意編輯—12—蘇教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)與圖形面積問(wèn)題教案二次函數(shù)與圖形的面積問(wèn)題學(xué)識(shí)導(dǎo)圖三角形常見測(cè)驗(yàn)圖形梯形不規(guī)矩圖形直接計(jì)算分割法好像圖形鉛垂高乘以水平寬二次函數(shù)與圖形的面積問(wèn)題說(shuō)明的依次和布局三點(diǎn)剖析考點(diǎn)才能要求重難點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)識(shí)記理解分析應(yīng)用綜合表達(dá)分割法求圖形的面積√√√利用圖形的好像求圖形的面積√√√√鉛垂高乘以水平寬√√√學(xué)識(shí)精講考點(diǎn)1利用分割法求圖形的面積【考點(diǎn)解析：】適用題型：1、矩形或者正方形中，計(jì)算不規(guī)矩片面面積；

2、一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像中不規(guī)矩三角形或者四邊形的面積常見分割方法：

1、用規(guī)矩圖形面積減去規(guī)矩圖形的面積；

2、沿著x軸或者y軸將圖形分割成兩個(gè)三角形；

3、過(guò)圖形上的點(diǎn)往x軸或者y軸作垂線，將圖形分割成三角形和直角梯形【典型例題：】例1.1.1如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A的直線與x軸交于點(diǎn)E．（1）

求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）

求過(guò)A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式；

（3）

若點(diǎn)P是（2）中求出的拋物線AE段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值。

【答案解析】解：（1）作AF⊥x軸于F，∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=∴點(diǎn)A（1，）代入直線解析式，得，∴m=∴當(dāng)y=0時(shí)，得x=4，∴點(diǎn)E（4，0）

（2）設(shè)過(guò)A、O、E三點(diǎn)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c∵拋物線過(guò)原點(diǎn)∴c=0，∴∴拋物線的解析式為（3）作PG⊥x軸于G，設(shè)P（x0，y0）

S四邊形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE==當(dāng)時(shí)，S最大=．【解析】（1）（2）由圖可作AF⊥x軸于F，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)和的拋物線解析式；

（3）再作作PG⊥x軸于G，將四邊形OAPE的面積S用x0來(lái)表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題．【針對(duì)練習(xí)：】練1.1.1（2022蘇州中考第28題）如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′．①寫出點(diǎn)M′的坐標(biāo)；

②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)中斷旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．【答案解析】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1和3，∵M(jìn)在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，∴0＜m＜3，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，由題意知：M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），∴D的縱坐標(biāo)為：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐標(biāo)為（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DM?BE+DM?OE=DM（BE+OE）

=DM?OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，最大值為；

（3）①由（2）可知：M′的坐標(biāo)為（，）；

②過(guò)點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，根據(jù)題意知：d1+d2=BF，此時(shí)只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)C在線段BM′上，∴F在優(yōu)弧上，∴當(dāng)F與M′重合時(shí)，BF可取得最大值，此時(shí)BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，過(guò)點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°【解析】（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；

（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，所以△ABM的面積為DM?OB，設(shè)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范圍是0＜m＜3；

（3）①由（2）可知m=，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；

②過(guò)點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由題意可知，點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，所以當(dāng)點(diǎn)F與M′重合時(shí)，BF可取得最大值．考點(diǎn)2利用好像解決圖形的面積問(wèn)題【考點(diǎn)解析：】例：如圖，DE//BC，假設(shè)AD∶AB=k呢？求S△ADE∶S△ABC的值。

適用題型：圖形中涉及平行線、好像三角形常見分割方法：1、利用平行關(guān)系或者三角形的好像，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)；

2、根據(jù)面積之比是好像比的平方直接表示出圖形的面積【典型例題：】例2.1.1已知：如圖一，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x﹣2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且AB=2．（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開頭以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E，D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B啟程，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，（如圖2）；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都中斷運(yùn)動(dòng)，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；

設(shè)s=，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值．（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC好像；

若存在，求t的值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案解析】解：（1）由直線：y=x﹣2知：A（2，0）、C（0，﹣2）；

∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即B（4，0）．設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣2）（x﹣4），代入C（0，﹣2），得：

a（0﹣2）（0﹣4）=﹣2，解得a=﹣∴拋物線的解析式：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）=﹣x2+x﹣2．（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，那么tan∠OCB=2；

∵CE=t，∴DE=2t；

而OP=OB﹣BP=4﹣2t；

∴s===（0＜t＜2），∴當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值，且最小值為1．（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，那么BC=2；

在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，那么CD=t；

∴BD=BC﹣CD=2﹣t；

以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC好像，已知∠OBC=∠PBD，那么有兩種處境：

①=?=，解得t=；

②=?=，解得t=；

綜上，當(dāng)t=或時(shí)，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC好像．【解析】（1）首先根據(jù)直線AC的解析式確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，已知AB的長(zhǎng)，進(jìn)一步能得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；

然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．（2）根據(jù)所給的s表達(dá)式，要解答該題就務(wù)必知道ED、OP的長(zhǎng)；

BP、CE長(zhǎng)易知，那么由OP=OB﹣BP求得OP長(zhǎng)，由∠CED的三角函數(shù)值可得到ED的長(zhǎng)，再代入s的表達(dá)式中可得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到s的最小值．（3）首先求出BP、BD的長(zhǎng)，若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC好像，已知的條件是公共角∠OBC，那么務(wù)必得志的條件是夾公共角的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種處境議論即可．【針對(duì)練習(xí)：】練2.1.1如圖，△ABC是一張直角三角形彩色紙，AC=15cm，BC=20cm．若將斜邊上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）張寬度相等的長(zhǎng)方形紙條．那么這（n﹣1）張紙條的面積和是cm2．【答案解析】解：如圖，∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB==25，∵CD?AB=AC?BC，∴CD=12，∵斜邊上的高CD分成n等分，∴CH=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴=，即=，解得EF=?25，即從上往下數(shù)，第1個(gè)矩形的長(zhǎng)為?25，同理可得從上往下數(shù)，第2個(gè)矩形的長(zhǎng)為?25，…從上往下數(shù)，第（n﹣1）個(gè)矩形的長(zhǎng)為?25，而全體矩形的寬都為?12，∴這（n﹣1）張紙條的面積和是=[?25+?25+…+?25]??12=（1+2+…+n﹣1）??12=（cm2）．故答案為．【解析】先利用勾股定理計(jì)算出AB=25，再利用面積法計(jì)算出CD=12，接著證明△CEF∽△CAB，那么可計(jì)算出EF=?25，同理可得從上往下數(shù)，第2個(gè)矩形的長(zhǎng)為?25，…，從上往下數(shù)，第（n﹣1）個(gè)矩形的長(zhǎng)為?25，且全體矩形的寬的和為?12，然后把全體矩形的面積相加即可．練2.1.2已知拋物線（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC好像，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE．一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B啟程，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后中斷，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？【答案解析】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0），∵直線y=﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣5，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5），∵點(diǎn)D在拋物線上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，那么拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（2）作PH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合題意，舍去），當(dāng)m=﹣4時(shí)，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC?PB，∴42=?，解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，那么n=5a=﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）；

當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合題意，舍去），當(dāng)m=﹣6時(shí)，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴=，即AB2=BC?PB，∴42=?，解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；

（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，那么tan∠DAN===，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE==EF，∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=+=BE+EF，∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，那么BE⊥DM，y=﹣4．【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線的解析式，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式；

（2）作PH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據(jù)好像三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可．考點(diǎn)3利用鉛垂高和水平寬公式求解圖形的面積問(wèn)題公式：S=鉛垂高乘以水平寬適用題型：多用于不規(guī)矩三角形或者四邊形的面積計(jì)算，其中該圖形有至少兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上常見分割方法：選用一條分割線作為底，分割線左右（上下）兩個(gè)頂點(diǎn)之間的間距作為高，其面積為S=鉛垂高乘以水平寬【考點(diǎn)解析：】【典型例題：】例3.1.1如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）

求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）

求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）

在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）

假設(shè)點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；

若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.CBAOyxDBAOyxP【答案解析】解：（1）B（1，）

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點(diǎn)B（1,），得，因此（3）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=—1，當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△BOC的周長(zhǎng)最小.設(shè)直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當(dāng)x=－1時(shí)，，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，/3）.（4）如圖，過(guò)P作y軸的平行線交AB于D.當(dāng)x=－時(shí)，△PAB的面積的最大值為，此時(shí).【解析】求△PAB的面積的時(shí)候，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，將△PAB的面積分成左右兩個(gè)三角形，以PD為底，那么AB為水平寬，利用公式表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵。

練3.1.1如圖1，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1，4)，交x軸于點(diǎn)A(3，0)，交y軸于點(diǎn)B。

（1）求拋物線和直線AB的解析式；

（2）求△CAB的鉛垂高CD及S