固體物理復(fù)習(xí)試題答案完整版

1111一?簡(jiǎn)答題1.晶格常數(shù)為a的體心立方、面心立方結(jié)構(gòu)，分別表示出它們的基矢、原胞體積以及最近鄰的格點(diǎn)數(shù)。(答案參考教材P7—8)a1=2(i+j-k)(1)體心立方基矢：a=a(-i+j+k)，體積：-a3，最近鄰格點(diǎn)數(shù)：82^2 ^2a3=2(i-j+k)caz..、a=-(i+j)-2(2)面心立方基矢：a=a(j+k)，體積：-a3，最近鄰格點(diǎn)數(shù)：12

22 4a=a(k+i)322.習(xí)題1.5、證明倒格子矢量G=hb+hb+hb垂直于密勒指數(shù)為(hhh)的晶11 22 33 123面系。aa aa因?yàn)镃A=---t,CB—一taa aa因?yàn)镃A=---t,CB—一thh hh1 3 2 3G=hb+hb+hb

11 22 33G利用a?b—2兀&，容易證明_h1h2h3—jij-gh1h2h3?CA=0所以，倒格子矢量G=h1bl+h2b2+h3bl垂直于密勒指數(shù)為(h1h2h3)的晶面系。3.習(xí)題：6、對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格證明密勒指數(shù)為(h,k,l)的晶面系，面間距d滿足：d2=a2/(h2+k2+12):其中a為"立方邊長(zhǎng);解：簡(jiǎn)單立方晶格：a±a±a,a=ai,a=aj,a=ak

12 3 1 2 3axa由倒格子基矢的定義：b=2冗一2———,1a?axa1 1解43-axab=2冗—3 1—2a?axa1J。 2-3axa

1 2—

a?axa1 2 32冗 2冗G=h^-i+k

a倒格子基矢：b=—i,b=—j1G=h^-i+k

a倒格子矢量：G=hb+kb+lb1 2 3晶面族（晶面族（hkl）的面間距：d=h)2+(k)+(L)2

aaa.習(xí)題1.9、畫(huà)出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110）面的交線的晶向。（1）、（111）面與（100）面的交線的AB,AB平移，A與O點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢:R=一aj+ak，B"（111）面與（100）面的交線的晶向AB=—aj+ak，晶向指數(shù)［011］。（2）、（111）面與（110）面的交線的AB，將AB平移，A與原點(diǎn)。重合，B點(diǎn)位矢:R=-ai+aj，（111）面與（110）面的交線的晶向AB=-ai+aj，晶向指數(shù)［110］。B.固體中基本結(jié)合類型有哪些？原子之間的排斥作用取決于什么原因？（1）基本類型：離子性結(jié)合，共價(jià)結(jié)合，金屬性結(jié)合和范德瓦爾結(jié)合四種基本形式（2）相鄰的原子靠得很近，以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生重疊時(shí)，相鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力.也就是說(shuō)，原子間的排斥作用來(lái)自相鄰原子內(nèi)層閉合殼層電子云的重疊.（答案參考教材P49）.什么是聲子？聲子就是指格波的量子，它的能量等于但q。在晶體中存在不同頻率振動(dòng)的模式，稱為晶格振動(dòng)。晶格振動(dòng)能量可以用聲子來(lái)描述，聲子可以激發(fā)，也可以湮滅。（答案參考教材P92） f.對(duì)于一維雙原子鏈，在第一布里淵區(qū)內(nèi)繪出色散關(guān)系W-K示意圖，并說(shuō)明光學(xué)模式和聲學(xué)模式所反映的物理意義。(答案參考教材P95—97)上面線條表示光學(xué)波，下面線條表示聲學(xué)波。(2)當(dāng)波矢q很小時(shí)，w與q的關(guān)系類似于聲波，此格波也可用超聲波來(lái)激發(fā)，因此稱為聲學(xué)波，而離子晶體中的頻率為w的格波可以用光波來(lái)激發(fā)，而且晶體有的光學(xué)性質(zhì)與這一支波有關(guān)，故稱為光學(xué)波。.試用能帶論簡(jiǎn)述導(dǎo)體、絕緣體、半導(dǎo)體中電子在能帶中填充的特點(diǎn)。導(dǎo)體：除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分的被電子填充的能帶，后者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶；絕緣體：電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各能帶全部都是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導(dǎo)電；半導(dǎo)體：由于存在一定的雜質(zhì)，使能帶填充情況有所改變，使導(dǎo)帶中有少數(shù)電子，或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性，即使半導(dǎo)體中不存在任何雜質(zhì)，也會(huì)由于熱激發(fā)使少數(shù)電子由滿帶熱激發(fā)到導(dǎo)帶底產(chǎn)生本征導(dǎo)電.(答案參考教材P250—254).請(qǐng)問(wèn)德拜模型的基本假設(shè)是什么？基本假設(shè)：以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波，晶體就是彈性介質(zhì)，德拜也就是把晶格當(dāng)做彈性介質(zhì)來(lái)處理的。(答案參考教材P126—129).晶體由N個(gè)原子組成，試求出德拜模型下的態(tài)密度、德拜頻率的表達(dá)式.一. 3V _N態(tài)密度：g(①)= 32,頻率表達(dá)式：①—C[6兀2(—)]1/3m V2兀2C3答案參考教材P127—129.簡(jiǎn)述Bloch定理，該定理必須采取什么邊界條件？(答案參考教材P154—157)(1)當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性時(shí)，波動(dòng)方程的血具有如下性質(zhì):V(r+R)=eikR業(yè)(r),其中卜為一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：當(dāng)平

移晶格矢量R時(shí)，波函數(shù)只增加了位相因子eiRn。n(2)邊界條件： V(r)=V(r+N1a1)V(r)=V(r+Na)22V(r)=V(r+Na)33其中N,N,N為沿a,a,a方向的原胞數(shù)，總的原胞N=N?N?N。123 123 1 2 3二、證明or計(jì)算題.已知某晶體中相距為r的相鄰原子的相互作用勢(shì)能可表示為：U（r）=—%+9，其中a、B、巾％都是＞0的常數(shù)，求：rmrn平衡時(shí)兩原子間的距離；平衡時(shí)結(jié)合能；思路參考教材P53—54解：（1）求平衡間距r0由竺9=0,有：drr=r0manB （ma）上m-n（nB）,1n-m——-——=0=r=-rrl=一rm+1rn+1 0（nB） \ma）0 0.結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來(lái)，這個(gè)能量稱為結(jié)合能（用w表示）（2）求結(jié)合能亞（單個(gè)原子的）題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，說(shuō)明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢(shì)能，即。min即：卬=-1U（r）=1（+巴-E_）（可代入r值，也可不代入）20 2rmrn 。002.已知N個(gè)質(zhì)量為m,間距為a的相同原子組成的一維原子鏈，（1）推導(dǎo)其色散關(guān)系（2）試?yán)L出整個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)的色散關(guān)系，并說(shuō)明截止頻率的意義。⑶試求出它的格波態(tài)密度函數(shù)g（3）,并作圖表示。解：（1）m日-B（日-日）-B（日-日）-B（日+日-2日）n n+1 n n n-1 n+1 n-1 n設(shè)方程的解口-Ae設(shè)方程的解口-Aei[⑨-naq],代回方程中得到：32二竺［1-32二竺［1-cosaq］二4!sin2(2aq),(2)，截止頻率范圍以外的q值并不能提供其他不同的波，q的取值范圍稱為布里淵區(qū)。,、 3V(3)g(3)= 32，代入3即可得出。2兀2C3答案參考教材P82—87習(xí)題4-3.電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)當(dāng)na-b當(dāng)na-b<x<na+b當(dāng)61-1)a+b<x<na-b其中a=4b,3為常數(shù)，(1)畫(huà)出此勢(shì)能曲線，并求其平均值；⑵用近自由電子近似模型求出晶體的第一個(gè)以及第二個(gè)禁帶的寬帶。解：(I)題設(shè)勢(shì)能曲線如下圖所示.q+kusq+kusf里：EmTEq—EU—s⑵勢(shì)能的平均值：由圖可見(jiàn)，V(x)是個(gè)以a為周期的周期函數(shù)，所以V(x)=-faV(x)dx=-fa-bV(x)dx題設(shè)a=4b故積分上限應(yīng)為a-b=3b,但由于在［b,3b］區(qū)間內(nèi)V(x)題設(shè)a=4b故只需在［-b,b］區(qū)間內(nèi)積分.這時(shí)，n=0,故只需在［-b,b］區(qū)間內(nèi)積分.這時(shí)，n=0,于是V=-JbV(X)dx=m3Jb(b2-x2)dx二吧a-b 2a-b 2a=-m3b2。6(3),勢(shì)能在［-2b,2b］區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)V(x)=V+￡Vcosm^-x,V=—J2bV(x)cosm^-xdx=-JbV(x)cosm^-xdx

0 m 2b m2b0 2b bo 2bm二-8第一個(gè)禁帶寬度E=2V，以m=1代入上式E=g1m32Jb(b2-x2)cos巴dx

b0 2b利用積分公式Ju2cosmudu=—m2(musinmu+2cosmu)]——sinmu得m316m"b2第二個(gè)禁帶寬度E=2V，以m=2代入上式代入上式g2 2E=吧Jb(b2-x2)cos巴dx再次利用積分公式有 =2m空b2g2 bo b 兀24-3用緊束縛近似求出面心立方金屬和體心立方金屬中與s態(tài)原子能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶的￡()函數(shù)。解：(1)如只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成：Es(左)=g-J-J J(R)e-ih(Rs)o0 sRs=近鄰 _“在面心立方中，有12個(gè)最近鄰，若取尺=0，則這12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：m①2(1,1,0),2(1,1,0),2(口,0),2(1：1,0)②2(0,1,1),2(0,1,1),2(0,1,1),2(0,1,1)③a(1,0,1)a(1,0,1),ami),a皿-)乙 乙 乙 乙由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同，因此J(R)有相同S的值，簡(jiǎn)單表示為J尸J(R)。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即①(-r)=(p(r)1 s s

TOC\o"1-5"\h\z???在近鄰重疊積分-J(尺)=J(p*色-R)[U(^)-V(R)]cp中^,波中，波函數(shù)的s i sL s」i貢獻(xiàn)為正Z.J1>0o J J」 二于是，把近鄰格矢R代入Es(R)表達(dá)式得到：S SEs(k)=g-JEs(k)=g-Js0-JZ1Rs=■■e-汝RXJ二甘S-J0-J1eT2(憶ky)+e心&ky)+e丹-仁ky)+eT2(--kQ+e-iaky+Q+e-iaky-k)+e-號(hào)(-k「Q+e-if(-ky-kz)+e-i2(kx+kz)+e-akx~kz)+e-i2(-kx+'kz)+e-a-kx~kz)cos—(k+k)+cos—(k一k)+2xy2xy

——cos—(k+k)+cos—(k一k)2yz 2yz—+cos—(k+k)+cos(k-k)2zx zxJcos(a+P)+cos(a-0)=2cosacosP",ai.a7 "a7a7cos—kcos—k+cos—kcos—k+cos—kcos—k2x2y2y2z2z2x(2)對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是:—(1,1,1),—(1,1,1),—(1,1,1),—(1,1,1)乙 乙 乙 乙― ― ———— -(1,1,1),-(1,1,1,),-(1,1,1),-(1,1,1)乙 乙 乙 乙Es(k)=￡---8J(cos—kcos—kcos-k)s0 1 2x2y2z習(xí)題5-1.晶格常數(shù)為a的一維晶體電子能量

h27 1E(k)= (——coska+_cos2ka)ma28 8試求：(1)能帶寬度；⑵波矢為k的電子速度；(3)能帶底部和頂部的電子有效質(zhì)量……一,、 27 , 1 …解：(1)E(k)= (——coska+—cos2ka)ma28 871ma2[8—coska+8(2cos2kama22 [(coska—2)2—1]4ma2當(dāng)ka=(2n+1)兀時(shí)，n=0,±1i±2… E(k):max當(dāng)ka=2n兀時(shí)， E.(k)=0min(2)u1dE(k)dk/