2022年秋高中數(shù)學第五章數(shù)列5.2等差數(shù)列5.2.1等差數(shù)列課件新人教B版選擇性必修第三冊

5.2.1等差數(shù)列第五章內容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標課標要求1.理解等差數(shù)列的概念,并能利用等差數(shù)列的定義判斷或證明一個數(shù)列是不是等差數(shù)列;2.掌握等差數(shù)列的通項公式和等差中項的概念;3.掌握等差數(shù)列的性質,并能在具體問題中正確應用;4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系.基礎落實?必備知識全過關知識點1

等差數(shù)列的定義1.等差數(shù)列的概念一般地,如果數(shù)列{an}從

起,每一項與它的前一項之差都等于

,即

恒成立,則稱{an}為等差數(shù)列,其中d稱為等差數(shù)列的

.

2.等差數(shù)列的通項公式一般地,若等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,那么等差數(shù)列的通項公式為

.

名師點睛等差數(shù)列的通項公式an中共含有四個變量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三個量,就可由通項公式求出第四個量.順序不能顛倒

第2項

同一個常數(shù)dan+1-an=d公差

an=a1+(n-1)d3.等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系因為an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,所以,如果記f(x)=dx+a1-d,則可以看出an=f(n),而且(1)當公差d=0時,f(x)是常數(shù)函數(shù),此時數(shù)列{an}是常數(shù)列(因此,公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列);(2)當公差d≠0時,f(x)是一次函數(shù),而且f(x)的增減性依賴于公差d的符號,因此,當d>0時,{an}是遞增數(shù)列;當d<0時,{an}是遞減數(shù)列.名師點睛1.等差數(shù)列通項公式的等價表達形式(1)an=am+(n-m)d(m,n∈N+);(2)an=kn+b(k,b是常數(shù),n∈N+).過關自診已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a5=11,a8=5,求an.提示

(方法一)設數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d,則∴an=-2n+21.(方法二)設數(shù)列{an}的公差為d,則a8=a5+3d,即5=11+3d,∴d=-2.∵a5=a1+(5-1)d,∴a1=19,∴an=19+(n-1)×(-2),即an=-2n+21.知識點2

等差數(shù)列的性質如果x,A,y是等差數(shù)列,那么稱A為x與y的等差中項,此時,任意兩個數(shù)均有等差中項且唯一

名師點睛數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,(1)若數(shù)列{an}是有窮等差數(shù)列,則與首末兩項等距離的兩項之和都相等,且等于首末兩項之和,即a1+an=a2+an-1=…;(2)數(shù)列{λan+b}(λ,b是常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列;(3)下標成等差數(shù)列,且公差為m的項ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)組成公差為md的等差數(shù)列;(4)若數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列,則{an±bn}也是等差數(shù)列.過關自診(2022甘肅永昌第一高級中學高二期中)已知等差數(shù)列{an}中,a5+a12=16,a7=1,則a10的值是(

)

A.30 B.15 C.31 D.64答案

B解析

由等差數(shù)列性質可知a5+a12=a7+a10,所以1+a10=16,解得a10=15.故選B.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一等差數(shù)列的判定或證明【例1】

已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,在數(shù)列{bn}中,bn=3an+4,試判斷{bn}是不是等差數(shù)列.解

(方法一)由題意可知an=a1+(n-1)d,則bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.由于bn是關于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)(當d=0時),故數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(方法二)根據(jù)題意,知bn+1=3an+1+4,則bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d.由等差數(shù)列的定義知,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.規(guī)律方法

等差數(shù)列的判定方法

方法內容定義法an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d?{an}是等差數(shù)列通項公式法an=kn+b(k,b為常數(shù),n∈N+)?{an}是等差數(shù)列等差中項法2an=an-1+an+1(n≥2)或2an+1=an+an+2?{an}是等差數(shù)列變式訓練1若數(shù)列{an}的通項公式為an=10+lg2n,試證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.證明

∵an=10+lg

2n=10+nlg

2,∴an+1-an=[10+(n+1)lg

2]-(10+nlg

2)=lg

2,∴數(shù)列{an}是首項為a1=10+lg

2,公差為lg

2的等差數(shù)列.探究點二等差數(shù)列的通項公式及應用【例2】

在等差數(shù)列{an}中,a4=70,a21=-100,求數(shù)列的首項a1與公差d,并寫出通項公式.解

根據(jù)題意,設數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d,所以an=100-10(n-1)=-10n+110.規(guī)律方法

等差數(shù)列通項公式的求法與應用(1)等差數(shù)列的通項公式有兩個基本量:首項a1和公差d,故求通項公式主要是利用方程思想解a1,d.(2)等差數(shù)列的通項公式是一個等式,且含有a1,an,n,d四個參數(shù),如果已知其中任意三個數(shù),就可以通過解方程的方法求出第四個數(shù).變式探究(1)若本例中條件不變,數(shù)列{an}中有多少項屬于區(qū)間[-18,18]?(2)若將本例中“a21=-100”改為“a19=100”,其他條件不變,結果如何?解

(1)由例2可知,an=-10n+110.令-18≤-10n+110≤18,得9.2≤n≤12.8.又因為n∈N+,所以n=10,11,12,故數(shù)列{an}中有3項屬于區(qū)間[-18,18].(2)根據(jù)題意,設數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d,所以an=64+2(n-1)=2n+62.探究點三等差數(shù)列性質的應用【例3】

(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a1,a2022為方程x2-10x+21=0的兩根,則a2+a2021等于(

)A.10 B.15 C.20 D.40(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=

.

答案

(1)A

(2)20

解析

(1)根據(jù)根與系數(shù)的關系及等差數(shù)列的性質可得a2+a2

021=a1+a2

022=10.(2)因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的性質,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.規(guī)律方法

等差數(shù)列的常用性質若{an}為等差數(shù)列,則(1)當m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)時,總有am+an=ap+aq;(2)當m+n=2k(m,n,k∈N+)時,總有am+an=2ak.變式訓練2設數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=

.

答案

35

解析

因為{an},{bn}均是等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的性質a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.探究點四構造等差數(shù)列求通項公式規(guī)律方法

構造法求數(shù)列通項的求解策略給出數(shù)列的遞推公式求通項公式時,根據(jù)遞推公式的結構特點靈活地應用“平方法”“開方法”“取倒數(shù)法”等,往往會構造出一個新數(shù)列滿足等差數(shù)列的條件.從而利用新數(shù)列的通項公式,間接求出所求數(shù)列的通項公式.變式訓練3已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+2n+1(n∈N+),則數(shù)列{an}的通項公式為

.

素養(yǎng)培優(yōu)活用等差數(shù)列的性質巧設項【典例】

已知5個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為25,它們的平方和為165,求這個等差數(shù)列.規(guī)律方法

涉及多個數(shù)成等差數(shù)列時,應注意利用對稱性的設法設出這多個數(shù).一般地:(1)若所給等差數(shù)列為2n(n∈N+)項,則這個數(shù)列可設為a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此數(shù)列的公差為2d;(2)若所給等差數(shù)列的項數(shù)為2n-1(n∈N+),則這個數(shù)列可設為a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,這個數(shù)列的公差為d.學以致用?隨堂檢測全達標1.數(shù)列{an}的通項公式為an=5-3n,則此數(shù)列(

)A.是公差為-3的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列答案

A解析

因為a1=5-3=2,an+1-an=5-3(n+1)-(5-3n)=-3,所以數(shù)列{an}是以2為首項,-3為公差的等差數(shù)列.故選A.2.(2022北京人大附中高二期中)已知等差數(shù)列{an}滿足a6-a4=2,則其公差d的值為(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2答案

B解析

因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a6-a4=2d=2,所以d=1.