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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A,與準(zhǔn)線在第三象限交于點B,過點作準(zhǔn)線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.2.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點在四棱錐的外接球面上運動,記點到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.3.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.4.的展開式中,滿足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.6.一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上,且其中一個頂點在雙曲線的右頂點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為()A. B. C. D.610.已知命題,那么為()A. B.C. D.11.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.6124212.在精準(zhǔn)扶貧工作中,有6名男干部、5名女干部,從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個元素,則實數(shù)a的值為_______.14.已知集合,,則________.15.函數(shù)的定義域是___________.16.某班星期一共八節(jié)課(上午、下午各四節(jié),其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動),排課要求為:語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié),從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰(上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法有__________種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天,每名員工休假的概率都是,且是否休假互不影響,若一家店鋪的員工全部休假,而另一家無人休假,則調(diào)劑1人到該店維持營業(yè),否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率;(2)設(shè)營業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重數(shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最小值.20.(12分)等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項,第3項,第4項.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的右焦點為(,為常數(shù)),離心率等于0.8,過焦點、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點.⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵若時,,求實數(shù);⑶試問的值是否與的大小無關(guān),并證明你的結(jié)論.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為,過點作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為,過點作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題2.A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點,則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.3.A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點睛:本題易錯選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.4.B【解析】
,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當(dāng)時,的展開式中的系數(shù)為.當(dāng),時,系數(shù)為;當(dāng),時,系數(shù)為;當(dāng),時,系數(shù)為;故滿足的的系數(shù)之和為.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理,掌握二項式定理和多項式乘法是解題關(guān)鍵.5.D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.6.D【解析】
因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7.A【解析】
選取中間值和,利用對數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.8.B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.9.B【解析】
設(shè),,利用復(fù)數(shù)幾何意義計算.【詳解】設(shè),由已知,,所以點在單位圓上,而,表示點到的距離,故.故選:B.【點睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值,其實本題可以利用不等式來解決.10.B【解析】
利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題,,那么是.故選:.【點睛】本題主要考查特稱命題的否定,意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。12.C【解析】
根據(jù)題意,分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù),由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,從6名男干部中選出2名男干部,有種取法,從5名女干部中選出1名女干部,有種取法,則有種不同的選法;故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】
利用AB中有且只有一個元素,可得,可求實數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素,所以,即.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,集合交集的運算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).14.【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由于偶次根式中被開方數(shù)非負(fù),對數(shù)的真數(shù)要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎(chǔ)題.16.1344【解析】
分四種情況討論即可【詳解】解:數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時有:所以共有1344種故答案為:1344【點睛】考查排列、組合的應(yīng)用,注意分類討論,做到不重不漏;基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)見解析,【解析】
(1)根據(jù)題意設(shè)出事件,列出概率,運用公式求解;(2)由題得,X的所有可能取值為,根據(jù)(1)和變量對應(yīng)的事件,可得變量對應(yīng)的概率,即可得分布列和期望值.【詳解】(1)記2家小店分別為A,B,A店有i人休假記為事件(,1,2),B店有i人,休假記為事件(,1,2),發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為P.則,,.所以.答:發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為.(2)依題意,X的所有可能取值為0,1,2.則,,.所以X的分布表為:X012P所以.【點睛】本題是一道考查概率和期望的常考題型.18.(1)60;25(2)見解析,2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差;(2)由題意知服從二項分布,分別求出,,,,進(jìn)而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)由第一問可知服從正態(tài)分布,繼而可求出的值,從而可判斷.【詳解】解:(1)(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,體重在的概率為0.7.隨機(jī)拍取3人,相當(dāng)于3次獨立重復(fù)實驗,隨機(jī)交量服從二項分布,則,,,,所以的分布列為:01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望(3)由題意知服從正態(tài)分布,則,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.【點睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計,考查了二項分布,考查了正態(tài)分布.注意,統(tǒng)計類問題,如果題目中沒有特殊說明,則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.19.(1)(2)【解析】
(1)用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式;(2)由(1)得的最小值為4,則由,代換后用基本不等式可得最小值.【詳解】解:(1)討論:當(dāng)時,,即,此時無解;當(dāng)時,;當(dāng)時,.所求不等式的解集為(2)分析知,函數(shù)的最小值為4,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式,考查用基本不等式求最小值.解絕對值不等式的方法是分類討論思想.20.(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,再利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前2020項的和.【詳解】(1)依題意得:,所以,所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以又(2)由(1)知,因為①當(dāng)時,②由①②得,,即,又當(dāng)時,不滿足上式,.數(shù)列的前2020項的和設(shè)③,則④,由③④得:,所以,所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì),錯位相減法求和,考查學(xué)生的邏輯推理能力,化歸與轉(zhuǎn)化能力及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.是中檔題.21.(1)(2)(3)為定值【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法可得,橢圓方程為;(2)我們要知道=的條件應(yīng)用,在于直線交橢圓兩交點M,N的橫坐標(biāo)為,這樣代入橢圓方程,容易得到,從而解得;(3)需討論斜率是否存在.一方面斜率不存在即=時,由(2)得;另一方面,當(dāng)斜率存在即時,可設(shè)直線的斜率為,得直線MN:,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理和焦半徑公式,就能得到,所以為定值,與直線的傾斜角的大小無關(guān)試題解析:(1),得:,橢圓方程為(2)當(dāng)時,,得:,于是當(dāng)=時,,于是,得到(3)①當(dāng)=時,由(2)知②當(dāng)時,設(shè)直線的斜率為,,則直線MN:聯(lián)立橢圓方程有,/
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