專題：九年級上冊,特殊的平行四邊形知識點總結(jié),練習題及答案

一、矩形1．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做，也稱為長方形．矩形的定義有兩個要素：①四邊形是;②有一個角是.二者缺一不可.【注意】不要錯誤地把定義理解為有一個角是直角的四邊形是矩形，矩形是特殊的平行四邊形．2.矩形的性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對邊互相平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分.矩形的性質(zhì)可綜述為：①矩形的對邊；②矩形的對角相等且四個角都是；③矩形的對角線:④矩形是，對邊中點所確定的直線是它的，矩形有對稱軸.矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時，常常用到等腰三角形的性質(zhì)，并且分成的四個等腰三角形的面積相等.【例1】如圖，在矩形ABCD中，ZBOC=120。，AB=5，則BD的長為A.5B.A.5B.10C.12D.13答案】B【解析】???四邊形ABCD是矩形，ZBOC=120°,???AO=BO,ZAOB=60°，A^AOB是等邊三角形,.??BO=AB=5,???BD=2BO=10.故選B.3．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：TOC\o"1-5"\h\z直角三角形斜邊上的中線等于．【注意】定理的條件有兩個：一是直角三角形；二是斜邊上的中線【例2】已知直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則此直角三角形斜邊上的中線長為5A.B.6213C.13D.—2【答案】D【解析】已知直角△的兩條直角邊分別是5和12,由勾股定理可知斜邊長等于13,直角邊上的中線等于斜邊的一半，所以選D4.矩形的判定：（1）有一個角是直角的是矩形；（2）有三個角是的四邊形是矩形；（3）對角線的四邊形是矩形.【注意】（1）判定矩形的常見思路「有三個角是直角一矩形四邊形〔平行四邊形■（對角線相等?矩形［有一個角是直角一矩形（2）用定義判定一個四邊形是矩形必須滿足兩個條件：一是有一個角是直角；二是平行四邊形.也就是說,有一個角是直角的四邊形不一定是矩形,必須加上“平行四邊形”這個條件,它才是矩形.（3）用對角線判定一個四邊形是矩形,也必須滿足兩個條件：一是對角線；二是平行四邊形.也就是說對角線相等的四邊形不一定是矩形,必須加上“平行四邊形”這個條件,它才是矩形.【例3】下列說法正確的是有一組對角是直角的四邊形一定是矩形有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形對角線互相平分的四邊形是矩形

對角互補的平行四邊形是矩形【答案】D【解析】°?°有一組對角是直角的四邊形不一定是矩形，?：選項A不正確;???有一組鄰角是直角的四邊形不一定是矩形，.??選項B不正確;???對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，.??選項C不正確；??對角互補的平行四邊形一定是矩形，.??選項D正確；故選D.【例4】如圖，長方形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為A．1C．答案】BA．1C．答案】BB．D．2二、菱形1．菱形的定義：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做．菱形必須滿足兩個條件：一是四邊形必須是平行四邊形；二是鄰邊相等．不要錯誤地認為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一種特殊的平行四邊形，即有一組鄰邊相等的平行四邊形．菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的判定方法．2．菱形的性質(zhì)：（1）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．（2）菱形的四條邊都．（3）菱形的兩條對角線，并且每一條對角線一組對角．（4）菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線即是它的對稱軸．【注意】菱形的兩條對角線不是對稱軸，對角線所在直線才是菱形的對稱軸．因為對稱軸是直線，對角線是線段．菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，菱形被兩條對角線所分得的四個直角三角形全等．（5）菱形的面積等于乘積的一半．【例5】在菱形ABCD中，M,N分別是邊BC,CD上的點，且AM=AN=MN=AB,則ZC的度數(shù)為A．120°B．100°C．80°D．60°【答案】B【解析】T四邊形曲仞杲菱形，.1站=￡乩■:叢4加「=肚?加,：豆8=衛(wèi)購衛(wèi)店￡D,厶丄応V是等邊三角形,「.0=厶岡ZD=厶丄」4込二巧設(shè)Z5=A'?則厶MB*,X3AM=Z￡i4A=180=-2a',■JZ^-Z^.4Z>1SOD?.■.j-130=-2x-60=--18fl=-2^18<r,解得：x^80\/.Z^=8C=,.■.Zt>180D-80==100P,故選玖【例6】已知一個菱形的周長是20cm，兩條對角線的比是4：3,則這個菱形的面積是A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2【答案】B【解析】???菱形四邊相等，.??邊長為20-4=5（cm）.???兩邊對角線的比是4：31根據(jù)勾股定理，得對角線長為6和8.???S二-x6x8二24（cm2）.故選B.厶3?菱形的判定：（1）一組鄰邊的平行四邊形是菱形．（2）對角線的平行四邊形是菱形．（3）四條邊的四邊形是菱形．（4）對角線的四邊形是菱形．【注】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，（3）和（4）是以四邊形為基礎(chǔ)的【例7】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于F,連接DF.（1）求證：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE；?△ABC^^ADC，???ZBAC=ZDAC，在△ABF和△ADF中，TAB=AD,ZBAC=ZDAC，AF=AF,.?.△ABF9△ADF，.:ZAFB=ZAFD.VZCFE=ZAFB，AZAFD=ZCFE；(2)VAB#CD，.ZBAC=ZACD，VZBAC=ZDAC，.ZACD=ZCAD，.AD=CD，?AB=AD,CB=CD，.AB=CB=CD=AD，.四邊形ABCD是菱形.三、正方形1．正方形的定義：（1）有一組鄰邊并且有一個角是的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形（即菱形）；并且有一個角是直角的平行四邊形（即矩形）.（3）正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性質(zhì)：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，特別地：TOC\o"1-5"\h\z正方形的四個角都是，四條邊都；正方形的兩條對角線并且互相，每條對角線一組對角．（2）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．【例8】如圖，正方形ABCD滿足ZAEB=90°,AE=12,BE=16，則陰影部分的面積是A．400B．192C．208D．304【答案】D【解析】在RtAAEB中，ZAEB=90°,AE=12,BE=16，由勾股定理得：AB=^12^I62=20,則正方形

1ABCD的邊長為20,所以陰影部分的面積為20履0-廠12燈6=304,故選D.3．正方形的判定：（1）根據(jù)正方形的定義；（2）有一組鄰邊相等的是正方形；（3）有一個角是直角的是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．【例9】如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC垂直平分線分別交BC,AB于D、E,過C作CF^AB，交BC的垂直平分線于F,連接BF.（1）判定四邊形BECF的形狀，并證明；（2）當ZA滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？證明你的結(jié)論.【解析】(1)四邊形BECF是菱形，?:EF是BC垂直平分線，?：FB=FC,EB=EC，AZEBC=ZECB，VCF#AB，AZFCB=ZEBC，AZFCB=ZECB，'ZFCD=ZECD在AFCD和AECD中，1CD=CD，ZCDF=ZCDE:.△FCDS5ECD,：.CF=CE,：.FB=FC=CE=BE,???四邊形BECF是菱形.(2)當ZA=45°時，四邊形BECF是正方形，??ZACB=90°,EF是BC垂直平分線，：?EF〃AC,?：ZFEB=ZA=45°,???四邊形BECF是菱形，：?ZFEB=ZFEC=45°,?：ZBEC=90°,：?四邊形BECF是正方形.基礎(chǔ)練習題1．下列條件中，能判定一個四邊形為菱形的條件是對角線互相平分的四邊形B.對角線互相垂直且平分的四邊形C.對角線相等的四邊形D.對角線相等且互相垂直的四邊形2．菱形的對角線長分別為3和4，則該菱形的面積是A．6B．8C．12D．243．在四邊形中，能判定這個四邊形是正方形的條件是對角線相等，對邊平行且相等—組對邊平行，一組對角相等對角線互相平分且相等，對角線互相垂直—組鄰邊相等，對角線互相平分4.如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,ZADB=30°，AB=4，則0C=BCA．5B．4C．3.5D．35.如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點0,AE丄BD于點E,若ZDAE:ZBAE=3:1,C．45°D．72°在一個直角三角形中，已知兩直角邊分別為6cm,8cm,則下列結(jié)論不正確的是A.斜邊長為10cmB.周長為25cmC.面積為24cm2D.斜邊上的中線長為5cm在四邊形ABCD中，對角線AC,BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是矩形，則這個條件可以是A.ZABC二90。B.AC丄BDC.AB二CDD.AB^CD8.如圖，在長方形ABCD中，AB=3,BC=4,若沿折痕EF折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為9.如圖，菱形8.如圖，在長方形ABCD中，AB=3,BC=4,若沿折痕EF折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為9.如圖，菱形ABCD的對角線父于點O,AC=8cm,BD=6cm,則菱形的高為A．48—cmB．24—cmC．1210—cmD.-5cm10.如圖，在菱形ABCD中，P、Q分別是AD、AC的中點，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周長是A.30B.24C.18D.6151515A.—B.—C.■—D.1584211.在菱形ABCD中，AE±BC于點E，AF丄CD于點F,且E、F分別為BC、CD的中點，則/EAF等于A.60°B.55°C.45°D.30°12.如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角形CDE,BE與AC相交于點M貝/AMD的度數(shù)是

A．75°A．75°B．60°C．54°D．67.5°13.如圖，平行四邊形ABCD中,AD=5,AB=3,若AE平分ZBAD交邊BC于點E,則線段EC的長度15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm,長為17?如圖，菱形ABCD的邊長為2,ZABC=45°,則點D的坐標為18?如圖，等邊三角形EBC在正方形ABCD內(nèi)，連接DE，則ZADE二19.已知菱形ABCD中，對角線AC=16cm,BD=12cm,BE丄DC于點E,求菱形ABCD的面積和BE的長．C3C320.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，延長BC到E,在CD上截取CF=CE，BF交DE于G,求證:21.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,點E是AC的中點.求證：ABED是等腰三角形：學-科網(wǎng)當ZBCD=。時，ABED是等邊三角形.22.如圖，四邊形ABCD中，ZA=ZABC=90。,AD=1,BC=3,E是邊CD的中點，連接BE延長與AD的延長線相交于點F，連接CF.(1)求證：四邊形BDFC是平行四邊形.(2)已知CB二CD，求四邊形BDFC的面積.2)求EF長．24.如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點.求證：△ABM^ADCM；當AB：AD=時，四邊形MENF是正方形，并說明理由.能力拓展25.如圖，矩形ABCD沿著AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果ZBAF=60。，則ZDAE等A．15°B．30°C．45°D．60°26.如圖，在△ABC中，ZBAC=90。，AD是BC邊上的高，E、F分別是AB、AC邊的中點，若AB=8,AC=6,則ADEF的周長為如圖，四邊形ABCD如圖，四邊形ABCD是菱形,對角線AC，BD相交于點0,DH丄AB于H,連接OH，ZDHO=20°,則Z則ZCAD的度數(shù)是20°B.25°C.30°D.40°28.如圖，以A點為圓心，以相同的長為半徑作弧，分別與射線AM,AN交于B,C兩點，連接BC,再1分別以B,C為圓心，以相同長（大于二BC）為半徑作弧，兩弧相交于點D,連接AD,BD,CD.則列結(jié)論錯誤的是

A.AD平分/MANCA.AD平分/MANC.ZMBD=ZNCDD.四邊形ACDB一定是菱形29.如圖，正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH,若A.3B.4C.5D.630.如圖，正方形ABCD的面積為A.3B.4C.5D.630.如圖，正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點連線EF為邊正方形EFGH的周長為A.邁B.2、遼C.邁+1D.C.邁+131.如圖，在矩形ABCD中,E是AB邊上的中點，將ABCE沿CE翻折得到AFCE,連接AF.若ZEAF=75°,那么ZBCF的度數(shù)為.

32.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,E為BC上一點，CE=5,F為DE的中點.若△CEF的周長為18,則OF的長為33.如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE丄BC于點E,PF丄CD于點F,連接EF.給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP丄EF；③AAPD—定是等腰三角形；④ZPFE=ZBAP；⑤PD=込EC.其中正確結(jié)論的序號是34.如圖，正方形ABCD中，AB?3，點E、F分別在BC、CD上，且ZBAE=30°,ZDAF=15°.1)求證：DF+BE=EF求ZEFC的度數(shù)；求AAEF的面積.如圖1,四邊形ABCD是平行四邊形，BD是它的一條對角線，過頂點A、C分別作AM丄BD,CN丄BD,M,N為垂足.求證：AM=CN；如圖2,在對角線DB的延長線及反向延長線上分別取點E,F,使BE=DF,連接AE、CF,試探究：當EF滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形？并加以證明.真題實戰(zhàn)(2018?浙江臺州)下列命題正確的是對角線相等的四邊形是平行四邊形對角線相等的四邊形是矩形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形(2018?江蘇淮安)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8,則這個菱形的周長是A.20B.A.20B.24C.40D.48（2018?山東煙臺）對角線長分別為6和8的菱形ABCD如圖所示，點O為對角線的交點，過點O折疊菱形，使B，B兩點重合，折疊菱形，使B，B兩點重合，MN是折痕?若B'M=1，則CN的長為A.7B.6C.5D.439.（2018?四川內(nèi)江）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于點F,已知ZBDC=62°，知ZBDC=62°，則ZDFE的度數(shù)為A.31°B.28°C.62°D.56°40.（2018?湖北宜昌）如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E，F(xiàn)分別是對角線AC上的兩點，EG丄AB.EI丄AD,FH丄AB,FJ丄AD,垂足分別為G，I，H，J.則圖中陰影部分的面積等于A.1B.CA.1B.C.D.41.（2018?黑龍江牡丹江）如圖，E為矩形ABCD的邊AB上一點，將矩形沿CE折疊，使點B恰好落在ED上的點F處，若BE=1在ED上的點F處，若BE=1,BC=3，則CD的長為A.6B.5C.4D.342.（2018?廣西貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC=6、還,BD=6,E是BC邊的中點，P,M分別是AC,AB上的動點，連接PE,PM,則PE+PM的最小值是A.6B.3爲C.276D.4.5（2018?湖南湘潭）如圖，已知點A.6B.3爲C.276D.4.5（2018?湖南湘潭）如圖，已知點E、F、G.H分別是菱形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是43.C.菱形D.平行四邊形B.矩形A.正方形OE丄AD于點E，交BC于點F，則EF的長為.（2018?遼寧錦州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O,過點A作AH丄BC于點H,連46.接OH.若OB=4,S菱形BCD24,則OH的長為.47.（2018?四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD47.（2018?四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，矩形內(nèi)部有一動點P滿足S^PAB=3S矩形ABCD'則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為48.（2018?遼寧葫蘆島）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的標為（2,3）,則點C的坐標為.49.（2018?四川廣安）如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點，連接AM,延長AD至點E,使得AE=AM，過點E作EF丄AM,垂足為F,求證：AB=EF.BMCBMC50.（2018?湖南郴州）如圖，在ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF,垂足為O,分別交AD,BC于BC于E,F,連接BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.51.（2018?遼寧沈陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O.過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E（1）求證：四邊形OCED是矩形；2）若CE=1，DE=2，ABCD的面積是參考答案BACBCBABBBAB13.214.9015.916.6(2+弋2，、丄)15°4819.5(cm)．20.TBC=CD,ZBCF=ZDCE=90。,CF=CE,:.△BCF3“DCE,：?/FBC=ZEDC.又VZBFC=ZDFG,：ZDGF=ZBCF=90°,即BG丄DE.21.(1)等腰三角形；(2)150°22.(1)VZA=ZABC=90。,：.BC^AF，.:ZCBE=ZDFE,又???DE=CE,ZDEF=ZBEC,：△BEC^△FED，.:BE=EF,又???CE=DE，.:四邊形BDFC是平行四邊形.(2)如圖,過D作DH丄CB于H,???ZDHB=ZA=ZABH=90°,?:四邊形ADHB是矩形，.：BH=AD=1,???CB二CD二3,???CH二2,在RtMDH中，?ZCHD二90°DH=J32—22=J5,.?.S二BC?DH二3\5平行四邊形BDFC、'(1)T四邊形ABCD是矩形，.ZB=ZC=ZADC=90°,AB=DC=7,BC=AD=12,AZBAF+ZAFB=90°,DF平分ZADC,AZADF=ZCDF=45°,AADCF是等腰直角三角形,FC=DC=7,?AB=FC,?AF丄EF,???ZAFE=90°,?ZAFB+ZEFC=90°,?ZBAF=ZEFC,'上BAF=ZEFC在AABF和AFCE中，\AB=FC,ZB=ZCAAABF^AFCE(ASA),?EF=AF；(2)BF=BC-FC=12-7=5，在RtAABF中，由勾股定理得：AF=^AB2+BF2=P72+52=J74,貝yef=af=474.【解析】(DY四邊形ABCD是矩形，:.AB=DC,ZA=ZD=90°.?M為AD的中點，?AM=MD,??.AABM9ADCM.1(2)1:2,理由：TAB:AD=1:2,AAB=-AD.1?AM=-AD,??.AB=AM,??.ZABM=ZAMB.2VZA=90°,AZAMB=45°.VAABM^ADCM,:.BM=CM,ZDMC=ZAMB=45°,AZBMC=90°.?:E,F,N分別是BM,CM,BC的中點,:.EN//CM,FN//BM,EM=MF,???四邊形MENF是菱形.TZBMC=90°,???菱形MENF是正方形.25．A26．A27．A28．D29．B30．B31．30°32．3.5①②④⑤(1)如圖，延長EB至G,使BG=DF，連接AG,AD???正方形ABCD,?AB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=90°,?.?BG=DF,.?.AABG9AADF,.?.AG=AF,?.?ZBAE=30°,ZDAF=15°,?ZFAE=ZGAE=45°,?：AE=AE,：?5FAE95GAE,：?EF=EG=GB+BE=DF+BE；(2)T在AADF中，ZD=90°,ZDAF=15°,?ZAFD=90°—15°=75°,?△ABG今△ADF,AAGE今△AFE,?/AFE=/AGE=/AFD=75°,???ZEFC=180°-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°；(3)TAB=BC=、3,ZBAE=30°,?BE=1,CE=^3-1,

???ZEFC=30°,???CF=3￡3,^S^CEF=^-CE?CF=2朽-3,由(1)知，AARG竺△ADF,AFAE竺AGAE,?S=SSSS=SSS,?SAEF=—(SabcD~SCEF)=77[(亦)2—萬(匝—1)(3—V3)]=3-書?△AEF2正方形ABCDacef2235.(1)T四