江西省新余一中2022年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)直線過點,且與圓:相切于點,那么()A. B.3 C. D.12.已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點,點為拋物線的焦點,點在拋物線上且滿足,若取得最大值時,點恰好在以為焦點的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論:①它的圖象關(guān)于直線x=對稱;②它的最小正周期為;③它的圖象關(guān)于點(,1)對稱;④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④4.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()A. B. C. D.5.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a7.定義在上的偶函數(shù),對,,且,有成立,已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.已知函數(shù).設(shè),若對任意不相等的正數(shù),,恒有,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.9.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或111.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.12.已知集合,,則集合的真子集的個數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.14.已知拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點為,直線與交于,兩點,若,則實數(shù)__________.15.(5分)某膳食營養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗,則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.16.已知為拋物線:的焦點,過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點,直線與交于、兩點,則的最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認(rèn)識,某市食品安全檢測部門對該市家長進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查,每一位學(xué)生家長僅有一次參加機(jī)會,現(xiàn)對有效問卷進(jìn)行整理,并隨機(jī)抽取出了200份答卷,統(tǒng)計這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).(1)請利用正態(tài)分布的知識求;(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費,得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費:②每次獲贈的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為:獲贈的隨機(jī)話費(單位:元)概率市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人,請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費?附:①;②若;則,,.18.(12分)如圖,在中,角的對邊分別為,且滿足,線段的中點為.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)已知,求的大小.19.(12分)2019年9月26日,攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢預(yù)測報告》,2018年國慶假日期間,西安共接待游客1692.56萬人次,今年國慶有望超過2000萬人次,成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定:若公司某位導(dǎo)游接待旅客,旅游年總收人不低于40(單位:萬元),則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗表明,如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名,統(tǒng)計他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下:分組頻數(shù)(1)求的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高?(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位:萬元)的導(dǎo)游中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn),設(shè)來自甲公司的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求的大小;(2)若,求面積的最大值.21.(12分)已知橢圓過點,設(shè)橢圓的上頂點為,右頂點和右焦點分別為,,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線交橢圓于,兩點,設(shè)直線與直線的斜率分別為,,若,試判斷直線是否過定點?若過定點,求出該定點的坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.22.(10分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

過點的直線與圓:相切于點,可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點的直線與圓:相切于點,∴;∴;故選:B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】

設(shè),利用兩點間的距離公式求出的表達(dá)式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標(biāo),結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因為是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點,點為拋物線的焦點,所以,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時,,點在以為焦點的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.3.B【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由圖象的平移變換公式知,函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期為,故②正確;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是對稱軸,故①錯誤;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(,1)對稱,故③正確;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④錯誤;故選:B【點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì);考查運算求解能力和整體代換思想;熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型4.C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計算可得輸出為25時的值,進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項可知C為正確選項,故選:C.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用,完善程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】

根據(jù)對數(shù)的運算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.6.C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等,實部與虛部對應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對,,且,有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為,,所以故選:A【點睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用,基礎(chǔ)題.8.D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,對任意不相等的正數(shù),構(gòu)造新函數(shù),討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為,,當(dāng)時,,故在單調(diào)遞減;不妨設(shè),而,知在單調(diào)遞減,從而對任意、,恒有,即,,,令,則,原不等式等價于在單調(diào)遞減,即,從而,因為,所以實數(shù)a的取值范圍是故選:D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題,根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題,屬于一般性題目.9.C【解析】

將圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心為.因為雙曲線,所以其漸近線方程為,又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性,還有雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.10.D【解析】

求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過點時最大,所以,故選D.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.12.D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個數(shù)為個.故選:D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算,考查了集合真子集個數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.14.【解析】

由于直線過拋物線的焦點,因此過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得,從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦,再求得正切即為直線斜率.注意對稱性,問題應(yīng)該有兩解.【詳解】直線過拋物線的焦點,,過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義知,.因為,所以.因為,所以,從而.設(shè)直線的傾斜角為,不妨設(shè),如圖,則,,同理,則,解得,,由對稱性還有滿足題意.,綜上,.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查拋物線的焦點弦問題,掌握拋物線的定義,把拋物線上點到焦點距離與它到距離聯(lián)系起來是解題關(guān)鍵.15.【解析】

記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗,其基本事件為,共15個,選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個,故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.16.16.【解析】由題意可知拋物線的焦點,準(zhǔn)線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離∴,同理∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為16點睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,可以使運算化繁為簡.“看到準(zhǔn)線想焦點,看到焦點想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.(2)設(shè)某家長參加活動可獲贈話費為元,利用題設(shè)條件求出其分布列,再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數(shù)額.【詳解】(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得又,,所以;(2)根據(jù)題意,某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10,20,30,40元,且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為,得10元的情況為低于平均值,概率,得20元的情況有兩種,得分低于平均值,一次性獲20元話費;得分不低于平均值,2次均獲贈10元話費,概率,得30元的情況為:得分不低于平均值,一次獲贈10元話費,另一次獲贈20元話費,其概率為,得40元的其情況得分不低于平均值,兩次機(jī)會均獲20元話費,概率為.所以變量的分布列為:某家長獲贈話費的期望為.所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.【點睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,注意與正態(tài)分布有關(guān)的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對稱性來進(jìn)行,本題屬于中檔題.18.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由正弦定理邊化角,再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解;(Ⅱ)可設(shè),由,再由余弦定理解得,對中,由余弦定理有,通過勾股定理逆定理可得,進(jìn)而得解【詳解】(Ⅰ)由正弦定理得.而.由以上兩式得,即.由于,所以,又由于,得.(Ⅱ)設(shè),在中,由正弦定理有.由余弦定理有,整理得,由于,所以.在中,由余弦定理有.所以,所以.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運用,屬于中檔題19.(1),乙公司影響度高;(2)見解析,【解析】

(1)利用各小矩形的面積和等于1可得a,由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b,再由總收人不低于40可計算出優(yōu)秀率;(2)易得總收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,則甲公司的人數(shù)的值可能為1,2,3,再計算出相應(yīng)取值的概率即可.【詳解】(1)由直方圖知,,解得,由頻數(shù)分布表中知:,解得.所以,甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,由于,所以乙公司影響度高.(2)甲公司旅游總收入在中的有人,乙公司旅游總收入在中的有2人,故的可能取值為1,2,3,易知:,;.所

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