圓錐曲線的統(tǒng)一定義（再修）-課件

2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義

江蘇省儀征中學(xué)花奎古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法研究了圓及三種圓錐曲線.阿波羅尼斯（約前262～約前190

）平行線拋物線圓雙曲線橢圓中心問(wèn)題：由于橢圓、雙曲線、拋物線均是平面截圓錐而得到，教材中將這三類曲線定義為圓錐曲線。

我們從整體、統(tǒng)一、和諧出發(fā)，它們是否會(huì)有一個(gè)統(tǒng)一的定義呢?

橢圓：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)

的距離的和等于常數(shù)（大于

）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.雙曲線：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于的正數(shù)）的點(diǎn)軌跡叫做雙曲線.拋物線：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.問(wèn)題1:回顧橢圓、雙曲線、拋物線的定義，它們有何相似和相異之處嗎?問(wèn)題2：如果它們的定義能統(tǒng)一，是都用到兩定點(diǎn)的距離關(guān)系來(lái)定義，還是都用到一定點(diǎn)F的距離和到一定直線l的距離的關(guān)系來(lái)定義呢？猜想一下，哪個(gè)更合理？問(wèn)題3：橢圓上任意一點(diǎn)到一個(gè)

定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離和到一定直線l（？）

的距離是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？lxyoM(x,y)FM準(zhǔn)線問(wèn)題4：反之，平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)（小于1）點(diǎn)的軌跡是橢圓嗎？結(jié)論：橢圓上任意一點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離和到一定直線l的距離之比是常數(shù)。lMFxyOlMFxyO結(jié)論1：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)（小于1）點(diǎn)的軌跡是橢圓。結(jié)論2：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)（大于1）點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F與到一條定直線l(點(diǎn)F

不在直線l

上）的距離之比為常數(shù)e

的點(diǎn)的軌跡。

當(dāng)0<e<1

時(shí),點(diǎn)的軌跡是橢圓.

當(dāng)e>1

時(shí),點(diǎn)的軌跡是雙曲線.中心問(wèn)題：三種圓錐曲線如何統(tǒng)一定義呢？

當(dāng)e=1

時(shí),點(diǎn)的軌跡是拋物線.例1:求下列曲線的準(zhǔn)線方程典型例題思考:你能總結(jié)一下三種圓錐曲線準(zhǔn)線方程求法嗎？化標(biāo)——定型——定位——定量變2:

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足此方程表示的軌跡是橢圓，則m的范圍為＿＿＿例2:已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足則P的軌跡是＿＿＿

變1:

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足則P的軌跡是＿＿＿

典型例題分析：分析：拋物線

直線

*典型例題總結(jié)提升：1、知識(shí)與方法（1）圓錐曲線的統(tǒng)一定義（注意點(diǎn)）及應(yīng)用（2）求圓錐曲線的準(zhǔn)線方