關(guān)于行列式的一般定義和計(jì)算方法

-.z.關(guān)于行列式的一般定義和計(jì)算方法n階行列式的定義n階行列式=（（1）N階行列式是N!項(xiàng)的代數(shù)和;3、N階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列N個(gè)元素的乘積;特點(diǎn):(1)(項(xiàng)數(shù))它是3!項(xiàng)的代數(shù)和;(2)(項(xiàng)的構(gòu)成)展開式中的每一項(xiàng)都是取自行列式不同行不同列的三個(gè)元素之積.其一般項(xiàng)為:(3)(符號(hào)規(guī)律)三個(gè)正項(xiàng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為123,231,312.它們都是偶排列;三個(gè)負(fù)項(xiàng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為321,213,132,它們都是奇排列.§行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式的值相同。即=；行列式對(duì)行滿足的性質(zhì)對(duì)列也同樣滿足。性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào).如:D==ad-bc,=bc-ad=-D以r表第i行，C表第j列。交換 i,j兩行記為r,交換i,j兩列記作CC。性質(zhì)3：如果一個(gè)行列式的兩行（或兩列）完全相同，則這個(gè)行列式的值等于零。性質(zhì)4：把一個(gè)行列式的*一行（或*一列）的所有元素同乘以*一個(gè)常數(shù)k的結(jié)果等于用這個(gè)常數(shù)k乘這個(gè)行列式。（第i行乘以k，記作r）推論1：一個(gè)行列式的*一行（或*一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符號(hào)的前面。推論2：如果一個(gè)行列式的*一行（或*一列）的所有元素都為零，則行列式值等于零。推論3：如果一個(gè)行列式的*二行（或*二列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式值等于零。性質(zhì)5：如果行列式D的*一行（或*一列）的所有元素都可以表成兩項(xiàng)的和，則行列式D等于兩個(gè)行列式D1和D2的和。=+性質(zhì)6：把行列式的*一行（或*一列）的元素乘同一個(gè)數(shù)后，加到另一行（或另一列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式值不變。推論如果行列式的*一行（列）的每個(gè)元素都是m個(gè)數(shù)之和(m>2)，則此行列式等于m個(gè)行列式之和。一個(gè)n階行列式，如果它的元素滿足：；試證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此行列式為零。每一行（或列）提出一個(gè)（-1），再轉(zhuǎn)置得D=（-1）nD性質(zhì)7行列式的*一行（列）的各元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。按行：按列：將性質(zhì)7與Laplace定理合并為下列結(jié)論：（1）和（2）行列式的計(jì)算1．利用行列式定義直接計(jì)算例1計(jì)算行列式解Dn中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為.該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t（n－1n－2…1n）等于，故2．利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2一個(gè)n階行列式的元素滿足則稱Dn為反對(duì)稱行列式，證明：奇數(shù)階反對(duì)稱行列式為零.證明：由知，即故行列式Dn可表示為由行列式的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.3．化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對(duì)角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法。例3計(jì)算n階行列式解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不變，得4．降階法降階法是按*一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例4計(jì)算n階行列式解將Dn按第1行展開.5．逆推公式法逆推公式法：對(duì)n階行列式Dn找出Dn與Dn－1或Dn與Dn－1,Dn－2之間的一種關(guān)系——稱為逆推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出Dn的方法稱為遞推公式法。例5證明證明：將Dn按第1列展開得由此得遞推公式：，利用此遞推公式可得6．利用范德蒙行列式例6計(jì)算行列式解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式7．加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7計(jì)算n階行列式解：（箭形行列式）8．?dāng)?shù)學(xué)歸納法例8計(jì)算n階行列式解：用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=2時(shí)假設(shè)n=k時(shí)，有則當(dāng)n=k+1時(shí)，把Dk+1按第一列展開，得由此，對(duì)任意的正整數(shù)n，有9．拆開法把*一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)化以利計(jì)算。例9計(jì)算行列式解：……上面介紹了計(jì)算n階行列式的常見方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)具體問(wèn)題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計(jì)算。(1);證明關(guān)于行列式的消項(xiàng)（其中C代表列··R代表行）(2)(ab)3;證明(ab)3(3)(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);證明（c2,c3,c4減數(shù)字去第一列的）=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)(4)*na1*n1an1*an證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時(shí)命題成立假設(shè)對(duì)于(n1)階行列式命題成立即Dn1*n1a1*n2an2*an1則Dn按第一列展開有*Dn1an*na1*n1an1*an因此對(duì)于n階行列式命題成立6設(shè)n階行列式Ddet(aij),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)依次得證明D3D證明因?yàn)镈det(aij)所以同理可證7計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式)(1),其中對(duì)角線上元素都是a未寫出的元素都是0解(按第n行展開)anan2an2(a21)(2);解將第一行乘(1)分別加到其余各行得再將各列都加到第一列上得[*(n1)a](*a)n1(3);解根據(jù)第6題結(jié)果有此行列式為范德蒙德行列式例3練習(xí)3：證明:.證明：左邊從最后一行開始，每行減去上一行，得到：123...n-1n111...11-n............11-n1...