專訓(xùn)因式分解六種常見方法

因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．在對一個(gè)多項(xiàng)式因式分解時(shí)，首先應(yīng)考慮提公因式法，然

后考慮公式法．對于某些多項(xiàng)式，如果從整體上不

能利用上述方法因式分解，還要考慮對其進(jìn)行分組、拆項(xiàng)、換元等．方法1

提公因式法1．若多項(xiàng)式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，其中一個(gè)因式是－4x2y2，則另一個(gè)因式是()A．

4x－1C．3y－4x＋1B．3y－4x－1D．3y－4x題型1公因式是單項(xiàng)式的因式分解B同類變式2．【中考?廣州】分解因式：2mx－6my＝．3．把下列各式分解因式：

(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.2m(x－3y)解：(1)2x2－xy＝x(2x－y)．(2)－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n(m2－4m＋7)．如果一個(gè)多項(xiàng)式第一項(xiàng)含有“－”號，一般要將“－”號一并提出，但要注意括號里面的各項(xiàng)要改變符號．4．把下列各式分解因式：

(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．將多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)變形時(shí)，要注意符號的變化．題型2公因式是多項(xiàng)式的因式分解方法2

公式法5．把下列各式分解因式：

(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.題型1直接用公式法解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.因式分解必須分解到不能再分解為止，如第(2)題不能分解到(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)就結(jié)束了．6．把下列各式分解因式：

(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)．(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.題型2先提公因式再用公式法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)?(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)．解此題時(shí)，表面上看不能分解因式，但通過局部分解后，發(fā)現(xiàn)有公因式可以提取，從而將原多項(xiàng)式因式分解．題型3先局部再整體法題型4先展開再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；

(2)4x(y－x)－y2.解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.(2)原式＝4xy－4x2－y2＝－(4x2－4xy＋y2)＝－(2x－y)2.通過觀察發(fā)現(xiàn)此題不能直接分解因式，但運(yùn)用整式乘法法則展開后，便可以運(yùn)用公式法分解．方法3

分組分解法9．觀察“探究性學(xué)式分解：甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)組的甲、乙兩名同學(xué)的因(分成兩組)＝x(x－y)＋4(x－y) (分別提公因式)＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc) (分成兩組)＝a2－(b－c)2

(運(yùn)用完全平方公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式)請你在他們的解法的啟發(fā)下，把下列各式分解因式：(1)m2－mn＋mx－nx；(2)x2－2xy＋y2－9.m2－mn＋mx－nx＝(m2－mn)＋(mx－nx)＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．x2－2xy＋y2－9＝(x2－2xy＋y2)－9＝(x－y)2－9＝(x－y＋3)(x－y－3)．解：方法4

拆、添項(xiàng)法110．分解因式：x4＋4

.解：原式＝x4＋x2＋1

－x21

4＝（x2＋

2

）2－x221

1＝（x2＋x＋

）(x2－x＋

)．2此題直接分解因式很

，考慮到添加輔助項(xiàng)使其符合公式特征，因此將原式添上x2與－x2兩項(xiàng)后，便可通過分組使其符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，從而將原多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．同類變式11．先閱讀下面的材料：已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法，其實(shí)分解因式的方法還有拆項(xiàng)法等．拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．請你仿照以上方法，分解因式：(1)x2－6x－7；

(2)a2＋4ab－5b2.方法5

整體法12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．題型1“提”整體13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.題型2“當(dāng)”整體本題把x＋y這一整體“當(dāng)”作完全平方公式中的字母a.14．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．解：原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．本題“拆”開原式中的兩個(gè)整體，重新分組，可謂“柳暗花明”，出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī)．題型3“拆”整體15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．這里巧妙地把－5拆成4－9.“湊”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)兩個(gè)整體，從而運(yùn)用公式法分解因式．題型4“湊”整體6方法換元法16．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.解：(1)設(shè)a2＋2a＝m，則原式＝(m－2)(m