高考數(shù)學(xué)(理科)總復(fù)習(xí) 44 解三角形課件

考向基礎(chǔ)

正弦定理余弦定理內(nèi)容

=

=

=2R(R為△ABC外接圓半徑)a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=①

a2+b2-2ab·cosC

變形形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=

,sinB=

,sinC=

;(3)a∶b∶c=②

sinA∶sinB∶sinC

;(4)

=③

=④

2R

cosA=

;cosB=

;cosC=

解決的問(wèn)題(1)已知兩角和任意一邊,求另一角和其他兩

條邊;(2)已知⑤

兩邊和其中一邊的對(duì)角

,求另

一邊和其他兩角(1)已知三邊,求各角;(2)已知⑥

兩邊和它們的夾角

,求第三邊

和其他兩個(gè)角考點(diǎn)一

正弦定理和余弦定理考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)正弦定理余弦定理內(nèi)容?=?=?=2Ra2=b2+c1例1

(2018課標(biāo)Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos

=

,BC=1,AC=5,則AB=

()A.4

B.

C.

D.2

考向一

利用正弦、余弦定理解三角形考向突破解析∵cos

=

,∴cosC=2cos2

-1=2×

-1=-

,又∵BC=1,AC=5,∴AB=

=

=4

.故選A.答案

A例1

(2018課標(biāo)Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos2例2

(2018四川綿陽(yáng)模擬,17,12分)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的

對(duì)邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)·sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.考向二

判斷三角形的形狀例2

(2018四川綿陽(yáng)模擬,17,12分)在△ABC3解析(1)由已知,結(jié)合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即cosA=-

.由于A為三角形的內(nèi)角,所以A=

.(2)已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,結(jié)合正弦定理,得2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2

=

.又由sinB+sinC=1,解析(1)由已知,結(jié)合正弦定理,4得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,解得sinB=sinC=

,因?yàn)?<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=

,所以△ABC是等腰三角形.得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,5考向基礎(chǔ)1.有關(guān)概念(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線①上方

的角叫仰角,在

水平線②下方

的角叫俯角(如圖a).

考點(diǎn)二

解三角形及其綜合應(yīng)用考向基礎(chǔ)考點(diǎn)二

解三角形及其綜合應(yīng)用6(2)方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角叫方位角,如B點(diǎn)的方位角

為α(如圖b).(3)方向角:相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖c).a.北偏東α°:指北方向③順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.b.東北方向:指北偏東45°方向.

(2)方位角7(4)坡角:④坡面

與水平面所成的銳二面角叫坡角(如圖d,角θ為坡角).坡度:坡面的鉛直高度與⑤水平寬度

之比叫做坡度(或坡比)(如圖d,

i為坡比).

2.三角形的面積公式設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,三邊所對(duì)的三個(gè)角分別為A,B,C,面積為S.(1)S=

ah(h表示邊BC上的高).(4)坡角:④坡面

與水平面所成的銳二面角叫坡角(如8(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA.(3)S=

=2R2sinAsinBsinC(R為△ABC外接圓的半徑).(4)S=

r(a+b+c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑).(5)S=

.(2)S=?absinC=?acsinB=?bcsin9例1

(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行

駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后

到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度

CD=

m.

考向一

解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用考向突破例1

(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條10解析依題意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,CB=300

,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

,則此山的高度CD=100

m.答案100

解析依題意有AB=600,∠CAB=30°,答案100?11例2

(2017課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

△ABC的面積為

.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).考向二

與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題例2

(2017課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A12解析(1)由題設(shè)得

acsinB=

,即

csinB=

.由正弦定理得

sinCsinB=

.故sinBsinC=

.(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-

,即cos(B+C)=-

.所以B+C=

,故A=

.由題設(shè)得

bcsinA=

,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

.故△ABC的周長(zhǎng)為3+

.解析(1)由題設(shè)得?acsinB=?,即?csinB=13方法1

利用正弦、余弦定理解三角形在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.1.已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=π及

=

=

,可先求出角C,再求出b、c.2.已知兩邊b、c及其夾角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再由正弦定理

求出角B、C.3.已知三邊a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.4.已知兩邊a、b及其中一邊a的對(duì)角A,由

=

可求出另一邊b的對(duì)方法技巧方法技巧14角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由

=

可求出c,而通過(guò)

=

求B時(shí),可能有一解、兩解或無(wú)解的情況,其判斷方法如下表:

A>

A=

A<

a>b一解一解一解a=b無(wú)解無(wú)解一解a<b無(wú)解無(wú)解a>bsinA兩解a=bsinA一解a<bsinA無(wú)解角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由?=?可求出c,而通15例1

(2017課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sin(A+C)=8sin2

.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.解題導(dǎo)引

(1)

(2)

例1

(2017課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A16解析(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin2

,故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,結(jié)合sin2B=1-cos2B,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=

.(2)由cosB=

得sinB=

,故S△ABC=

acsinB=

ac.又S△ABC=2,則ac=

.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×

×

=4.所以b=2.解析(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin2?17方法2

利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀要判斷三角形的形狀,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考.依據(jù)已

知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí),主要有以下兩種途徑:(1)化角為邊:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通

過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)化邊為角:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角

函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角恒等變換得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形

的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用“△ABC中,A+B+C=π”這個(gè)結(jié)論.注意等式兩邊的公因式不要約掉,要移項(xiàng)提取公因式,否則會(huì)有漏掉一

種形狀的可能.方法2

利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀18例2

(2018山西太原五中模擬,8)在△ABC中,

=sin2

(a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊),則△ABC的形狀為

()A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解題導(dǎo)引

例2

(2018山西太原五中模擬,8)在△ABC中,?19解析由cosB=1-2sin2

得sin2

=

,∴

=

,即cosB=

.解法一:由余弦定理得

=

,即a2+c2-b2=2a2,∴a2+b2=c2.∴△ABC為直角三角形,又無(wú)法判斷兩直角邊是否相等,故選A.解法二:由正弦定理得cosB=

,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,即sinBcosC=0,又sinB≠0,

∴cosC=0,又角C為三角形的內(nèi)角,∴C=

,∴△ABC為直角三角形,又無(wú)法判斷兩直角邊是否相等,故選A.答案

A解析由cosB=1-2sin2?得sin2?=?,∴?=20方法3

與面積、范圍有關(guān)的問(wèn)題1.與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題主要有兩種:一是求三角形面積;二是給出

三角形的面積,求其他量.解題時(shí)主要應(yīng)用三角形面積公式S=

absinC,此公式既與邊長(zhǎng)的乘積有關(guān),又與角的三角函數(shù)值有關(guān),由此可以與正

弦定理、余弦定理綜合起來(lái)求解.2.解與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍時(shí),主要是利用已知條件和有

關(guān)定理,將所求的量用三角形的某個(gè)內(nèi)角或某條邊表示出來(lái),結(jié)合三角

形邊角取值范圍等求解即可.方法3

與面積、范圍有關(guān)的問(wèn)題21例3

(2018河南信陽(yáng)二模,17)已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

且滿足(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.(1)求角A的大小;(2)設(shè)a=

,S為△ABC的面積,求S+

cosBcosC的最大值.解題導(dǎo)引

(1)

(2)

例3

(2018河南信陽(yáng)二模,17)已知a,b,c分別22解析(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC,∴根據(jù)正弦定理,知(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.∴由余弦定理,得cosA=

=-

.又A∈(0,π),所以A=

π.(2)根據(jù)a=

,A=

π及正弦定理可得

=

=

=

=2,∴b=2sinB,c=2sinC.∴S=

bcsinA=

×2sinB×2sinC×

=

sinBsinC.∴S+

cosBcosC=

sinBsinC+

cosBcosC=

cos(B-C).故當(dāng)

即B=C=

時(shí),S+

cosBcosC取得最大值

.解析(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sin23繼續(xù)努力繼續(xù)努力再見(jiàn)再見(jiàn)考向基礎(chǔ)

正弦定理余弦定理內(nèi)容

=

=

=2R(R為△ABC外接圓半徑)a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=①

a2+b2-2ab·cosC

變形形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=

,sinB=

,sinC=

;(3)a∶b∶c=②

sinA∶sinB∶sinC

;(4)

=③

=④

2R

cosA=

;cosB=

;cosC=

解決的問(wèn)題(1)已知兩角和任意一邊,求另一角和其他兩

條邊;(2)已知⑤

兩邊和其中一邊的對(duì)角

,求另

一邊和其他兩角(1)已知三邊,求各角;(2)已知⑥

兩邊和它們的夾角

,求第三邊

和其他兩個(gè)角考點(diǎn)一

正弦定理和余弦定理考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)正弦定理余弦定理內(nèi)容?=?=?=2Ra2=b2+c26例1

(2018課標(biāo)Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos

=

,BC=1,AC=5,則AB=

()A.4

B.

C.

D.2

考向一

利用正弦、余弦定理解三角形考向突破解析∵cos

=

,∴cosC=2cos2

-1=2×

-1=-

,又∵BC=1,AC=5,∴AB=

=

=4

.故選A.答案

A例1

(2018課標(biāo)Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos27例2

(2018四川綿陽(yáng)模擬,17,12分)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的

對(duì)邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)·sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.考向二

判斷三角形的形狀例2

(2018四川綿陽(yáng)模擬,17,12分)在△ABC28解析(1)由已知,結(jié)合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即cosA=-

.由于A為三角形的內(nèi)角,所以A=

.(2)已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,結(jié)合正弦定理,得2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2

=

.又由sinB+sinC=1,解析(1)由已知,結(jié)合正弦定理,29得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,解得sinB=sinC=

,因?yàn)?<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=

,所以△ABC是等腰三角形.得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,30考向基礎(chǔ)1.有關(guān)概念(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線①上方

的角叫仰角,在

水平線②下方

的角叫俯角(如圖a).

考點(diǎn)二

解三角形及其綜合應(yīng)用考向基礎(chǔ)考點(diǎn)二

解三角形及其綜合應(yīng)用31(2)方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角叫方位角,如B點(diǎn)的方位角

為α(如圖b).(3)方向角:相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖c).a.北偏東α°:指北方向③順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.b.東北方向:指北偏東45°方向.

(2)方位角32(4)坡角:④坡面

與水平面所成的銳二面角叫坡角(如圖d,角θ為坡角).坡度:坡面的鉛直高度與⑤水平寬度

之比叫做坡度(或坡比)(如圖d,

i為坡比).

2.三角形的面積公式設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,三邊所對(duì)的三個(gè)角分別為A,B,C,面積為S.(1)S=

ah(h表示邊BC上的高).(4)坡角:④坡面

與水平面所成的銳二面角叫坡角(如33(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA.(3)S=

=2R2sinAsinBsinC(R為△ABC外接圓的半徑).(4)S=

r(a+b+c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑).(5)S=

.(2)S=?absinC=?acsinB=?bcsin34例1

(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行

駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后

到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度

CD=

m.

考向一

解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用考向突破例1

(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條35解析依題意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,CB=300

,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

,則此山的高度CD=100

m.答案100

解析依題意有AB=600,∠CAB=30°,答案100?36例2

(2017課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

△ABC的面積為

.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).考向二

與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題例2

(2017課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A37解析(1)由題設(shè)得

acsinB=

,即

csinB=

.由正弦定理得

sinCsinB=

.故sinBsinC=

.(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-

,即cos(B+C)=-

.所以B+C=

,故A=

.由題設(shè)得

bcsinA=

,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

.故△ABC的周長(zhǎng)為3+

.解析(1)由題設(shè)得?acsinB=?,即?csinB=38方法1

利用正弦、余弦定理解三角形在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.1.已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=π及

=

=

,可先求出角C,再求出b、c.2.已知兩邊b、c及其夾角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再由正弦定理

求出角B、C.3.已知三邊a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.4.已知兩邊a、b及其中一邊a的對(duì)角A,由

=

可求出另一邊b的對(duì)方法技巧方法技巧39角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由

=

可求出c,而通過(guò)

=

求B時(shí),可能有一解、兩解或無(wú)解的情況,其判斷方法如下表:

A>

A=

A<

a>b一解一解一解a=b無(wú)解無(wú)解一解a<b無(wú)解無(wú)解a>bsinA兩解a=bsinA一解a<bsinA無(wú)解角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由?=?可求出c,而通40例1

(2017課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sin(A+C)=8sin2

.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.解題導(dǎo)引

(1)

(2)

例1

(2017課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A41解析(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin2

,故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,結(jié)合sin2B=1-cos2B,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=

.(2)由cosB=

得sinB=

,故S△ABC=

acsinB=

ac.又S△ABC=2,則ac=

.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×

×

=4.所以b=2.解析(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin2?42方法2

利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀要判斷三角形的形狀,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考.依據(jù)已

知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí),主要有以下兩種途徑:(1)化角為邊:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通

過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)化邊為角:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角

函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角恒等變換得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形

的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用“△ABC中,A+B+C=π”這個(gè)結(jié)論.注意等式兩邊的公因式不要約掉,要移項(xiàng)提取公因式,否則會(huì)有漏掉一

種形狀的可能.方法2

利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀43例2

(2018山西太原五中模擬,8)在△ABC中,

=sin2

(a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊),則△ABC的形狀為

()A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解題導(dǎo)引

例2

(2018山西太原五中模擬,8)在△ABC中,?44解析由cosB=1-2sin2

得sin2

=

,∴

=

,即cosB=

.解法一:由余弦定理得

=

,即a2+c2-b2=2a2,∴a2+b2=c2.∴△ABC為直角三角形,又無(wú)法判斷兩直角