巖體工程中的反分析方法課件

5巖體工程中的反分析方法

緒論有限元法正分析簡要線彈性位移反分析粘彈性位移反分析工程應(yīng)用主要內(nèi)容：5巖體工程中的反分析方法緒論主要內(nèi)容：5.1緒論

隨著上世紀(jì)六十年代，電子計(jì)算機(jī)的問世和快速發(fā)展，數(shù)值方法成為巖體工程問題分析的主要手段，如何確定本構(gòu)模型和輸入?yún)?shù)就成為這種手段能否成功應(yīng)用的關(guān)鍵，在通過試驗(yàn)手段獲得參數(shù)比較困難的背景下，通過現(xiàn)場測定位移反求地應(yīng)力和巖體力學(xué)參數(shù)的“反分析方法”被提出，經(jīng)過多年的研究，目前已成為巖石力學(xué)一個獨(dú)立分支。5.1.1問題產(chǎn)生及發(fā)展歷史5.1緒論隨著上世紀(jì)六十年代，電子計(jì)算機(jī)

巖石力學(xué)中的反分析最早由Kavangh（1973）、Gioda和Maier（1980）等人提出，Sakurai（1983）完成了巖體彈性模量和初始地應(yīng)力的線彈性有限元位移反分析，此后又發(fā)展了彈塑性、粘彈性、粘塑性等非線性位移反分析，并引入了誤差分析、優(yōu)化技術(shù)等一些手段，以求獲得非線性反分析中的最佳值。巖石力學(xué)中的反分析最早由Kavangh（15.1.2正分析與反分析1正分析2反分析①②5.1.2正分析與反分析1正分析2反分析①②巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初始地應(yīng)力和位移量測值，求巖體物理力學(xué)參數(shù);已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)和位移量測值，求初始地應(yīng)力;已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)、初始地應(yīng)力和位移量測值，求開挖空間最佳幾何形狀；已知初始地應(yīng)力和位移量測值，求巖體的本構(gòu)模型及模型參數(shù)，即系統(tǒng)辨識。3反分析問題的特點(diǎn)多解性、無解性、不穩(wěn)定性。巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初5.1.3反分析中的幾個要素1模型

模型是“原型”的一種“類似”，任何模型都不能反映出原型的一切特征。模型的表達(dá)形式可以是概念的、物理的或數(shù)學(xué)的，用數(shù)學(xué)描述形式建立的模型為數(shù)學(xué)模型。2參數(shù)和狀態(tài)

參數(shù)是系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量，反映了系統(tǒng)的本質(zhì)，是不可測量的；狀態(tài)是系統(tǒng)的外部表現(xiàn)，是可以測量的。5.1.3反分析中的幾個要素1模型

在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變均為外部狀態(tài)變量，彈性模量、泊松比、內(nèi)粘結(jié)力等均為參數(shù)。3準(zhǔn)則函數(shù)

由于模型的近似性和量測誤差的存在，在已知量和待求量之間對等的情況下，求出的結(jié)果往往不能很好地反映系統(tǒng)的本質(zhì)?？尚械姆椒ň褪窃黾右阎康臄?shù)量，求待求量的最優(yōu)值，為此需要引入一個準(zhǔn)則函數(shù)。準(zhǔn)則函數(shù)有兩類：以量測值為基礎(chǔ)的第一類準(zhǔn)則函數(shù)；以量測誤差及其統(tǒng)計(jì)特性為基礎(chǔ)的第二類準(zhǔn)則函數(shù)。常用準(zhǔn)則函數(shù)。在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變①常規(guī)最小二乘法（OLS法）②高斯——馬爾可夫估計(jì)（GM法）③最大似然估計(jì)（ML法）④貝葉斯估計(jì)（MAP法）①常規(guī)最小二乘法（OLS法）②高斯——馬爾可夫估計(jì)（GM5.1.4反分析求解方法1逆法

將模型輸出表達(dá)成待求量的顯函數(shù)，與量測值構(gòu)成準(zhǔn)則函數(shù)直接求解。2正法

當(dāng)模型輸出不能表達(dá)成待求量的顯函數(shù)時(shí)，先給出待求量的初值，計(jì)算出模型的輸出，與量測值一起代入準(zhǔn)則函數(shù)求出準(zhǔn)則函數(shù)值，按一定的路徑待求量的值，可計(jì)算出一系列準(zhǔn)則函數(shù)值，使得準(zhǔn)則函數(shù)值達(dá)到最小的待求量值即為最優(yōu)值。該方法是由一系列正算過程構(gòu)成，故名正法。其適用范圍較逆法更廣。

正法中要用到最優(yōu)化方法，最常用的有模式搜索法、變量輪換法、單純形法、鮑威爾法。5.1.4反分析求解方法1逆法將模型輸出表5.2.1有限單元法的基本思路

將連續(xù)求解域離散為有限個、按一定方式相互連接在一起的單元組合體，在每個單元內(nèi)用一假設(shè)的位移函數(shù)來表示待求的未知位移場函數(shù)，而假設(shè)的位移函數(shù)用單元節(jié)點(diǎn)上的未知位移來表示，以此可導(dǎo)出單元內(nèi)以未知節(jié)點(diǎn)位移所表示的應(yīng)力、應(yīng)變，最后通過最小勢能原5.2有限元法正分析簡要5.2.1有限單元法的基本思路將連續(xù)求解域理導(dǎo)出單元每個節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個求解域所有節(jié)點(diǎn)平衡方程將構(gòu)成一方程組，通過求解該方程組可求得各節(jié)點(diǎn)上的位移，從而求得單元內(nèi)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變。

總之，有限單元法就是將連續(xù)無限自由度問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍箅x散的有限自由度問題，將偏微分方程組的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解。理導(dǎo)出單元每個節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個求解域

對求解連續(xù)體的邊值問題，有限單元法是一種近似方法，近似的程度隨單元劃分加密而提高，但會帶來計(jì)算工作量的增加。5.2.2有限單元法求解的一般過程確定計(jì)算模型，包括計(jì)算坐標(biāo)系、模型整體尺寸、邊界條件、計(jì)算參數(shù)和地應(yīng)力場；單元劃分，平面三角形（3、6、7節(jié)點(diǎn)）、平面四邊形（4、8、9節(jié)點(diǎn)）、四面體、六面體（8、20、21節(jié)點(diǎn)）；選擇位移模式（形函數(shù)）；對求解連續(xù)體的邊值問題，有限單元法是一種近似方巖體工程中的反分析方法課件單元剛度分析；總剛度分析；節(jié)點(diǎn)等效載荷分析；整體平衡方程建立；已知邊界條件引入；求解平衡方程，獲得節(jié)點(diǎn)位移；根據(jù)幾何和物理方程求單元高斯點(diǎn)應(yīng)變和應(yīng)力；計(jì)算結(jié)果后處理（繪制位移、應(yīng)力、塑性區(qū)曲線圖或等值線圖單元剛度分析；①位移模式5.2.3有限單元法正分析基本方程以平面四節(jié)點(diǎn)的等參單元為例。等參數(shù)單元解決了矩形復(fù)雜性問題，坐標(biāo)變換與位移變幻的形函數(shù)一樣。其中：①位移模式5.2.3有限單元法正分析基本方程以平面四節(jié)②幾何方程其中：（i=1、2、3、4）②幾何方程其中：（i=1、2、3、4）根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：得：根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：得：其中：用矩陣表示：其中：用矩陣表示：③本構(gòu)方程其中：③本構(gòu)方程其中：④單元勢能分析a單元應(yīng)變能④單元勢能分析a單元應(yīng)變能令則b體積力勢能

設(shè)體積力則體積力勢能為：令則b體積力勢能設(shè)體積力則體積力勢能為：c表面力勢能

設(shè)面力則面力勢能為：c表面力勢能設(shè)面力則面力勢能為：d集中力勢能

設(shè)集中力則集中力勢能為：d集中力勢能設(shè)集中力則集中力勢能為：e單元總勢能將所有單元勢能疊加得系統(tǒng)總勢能根據(jù)最小勢能原理，真實(shí)解應(yīng)使系統(tǒng)勢能最小e單元總勢能將所有單元勢能疊加得系統(tǒng)總勢能根據(jù)最小勢能原即由此得系統(tǒng)總平衡方程

引入位移邊界條件，得最終求解方程：即由此得系統(tǒng)總平衡方程引入位移邊界條件，得最終求5.3線彈性位移反分析5.3.1反分析基本公式

以隧道開挖平面應(yīng)變問題為例。設(shè)開挖邊界上的初始地應(yīng)力為：

將該初始地應(yīng)力轉(zhuǎn)化開挖邊界上的等效節(jié)點(diǎn)力：

或?qū)懗桑?.3線彈性位移反分析5.3.1反分析基本公式

在整個求解域上：

根據(jù)有限元求解基本方程：

令：

則：

假定量測點(diǎn)與有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)重合，則可把節(jié)點(diǎn)位移分成已知和待求量部分：在整個求解域上：根據(jù)有限元求解基本方程：

相應(yīng)的平衡方程寫為：

將未知位移消去：

其中：相應(yīng)的平衡方程寫為：將未知位移消去：

上式可簡寫為：

其中：

因?yàn)闇y量都是兩點(diǎn)相對位移，絕對位移與相對位移之間轉(zhuǎn)化關(guān)系：上式可簡寫為：其中：因?yàn)闇y量都巖體工程中的反分析方法課件[T]為轉(zhuǎn)換矩陣：

則：

其中

上式中待求量為3個，若量測值剛好為3個，則可從上式中求出唯一的[T]為轉(zhuǎn)換矩陣：則：

若量測值多于3個，則通過最小二乘法求得，構(gòu)造以下目標(biāo)函數(shù)令

得的最小二乘估計(jì)為：若量測值多于3巖體工程中的反分析方法課件5.3.2實(shí)例5.3.2實(shí)例

根據(jù)圍巖內(nèi)部位移求得：

根據(jù)圍巖收斂變形求得：

隧道埋深400m，可求得：

則：根據(jù)圍巖內(nèi)部位移求得：根據(jù)圍巖收5.4粘彈性位移反分析5.4.1反分析基本公式

實(shí)際測試的位移是一組隨時(shí)間變化的值，是由于釋放荷載隨時(shí)間的改變及圍巖的蠕變造成，采用粘彈性反分析可以很好反映時(shí)間因素。

任意時(shí)刻t的應(yīng)變可以看做由瞬時(shí)彈性應(yīng)變和蠕變應(yīng)變兩部分構(gòu)成：

其中彈性應(yīng)變：5.4粘彈性位移反分析5.4.1反分析基本公式

粘彈性應(yīng)變：

則：得：粘彈性應(yīng)變：則：得：

其中：為彈性矩陣

任意時(shí)刻t的有限元平衡方程：

將代入上述平衡方程：其中：

其中：稱之為綜合模量。其中：

常用流變模型的粘彈性模量和綜合模量粘彈性模型粘彈性模量綜合模量MaxwellKelvinKelvin-VoigtPoynting-ThomsonBurgers常用流變模型的粘彈性模量和綜合模量粘彈性模型粘

將位移U(t)分為已知和未知兩部分

仿照線彈性位移反分析公式推導(dǎo)，得粘彈性反分析基本方程

其中：將位移U(t)分為已知和未知兩部分仿5.4.2參數(shù)回歸與優(yōu)化

實(shí)際量測過程中，設(shè)置測點(diǎn)時(shí)間為t0，到t時(shí)刻量測的位移是t0~t之間發(fā)生的位移，為此把綜合模量也用t0~t

之間的變化來代替設(shè)置測點(diǎn)時(shí)間t0時(shí)間t5.4.2參數(shù)回歸與優(yōu)化實(shí)際量測過程中，設(shè)設(shè)從t0~t之間共進(jìn)行了n次量，每次量測有m個測點(diǎn)，量測結(jié)果為：

則利用每次量測的m個測點(diǎn)已知位移，可反求該時(shí)刻的綜合模量，n次量測可以反求出不同時(shí)刻的綜合模量：

根據(jù)綜合模量與模型參數(shù)之間的關(guān)系，比如P-T模型：式中：設(shè)從t0~t之間共進(jìn)行了n次量

將上式變換為以下形式：兩邊取對數(shù)：令：得：用矩陣表示：將上式變換為以下形式：兩邊取對數(shù)：令：得：用矩

其中：

最小二乘法解為：

根據(jù)求得的a、b、yi再求E0、E1、E2、其中：最小二乘法解為：

設(shè)時(shí)刻的量測值為：5.5工程應(yīng)用5.5.1量測數(shù)據(jù)預(yù)處理

量測數(shù)據(jù)帶有誤差，甚至有奇異數(shù)據(jù)，為此需對其進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)處理，改善其規(guī)律性。最常用的就是多項(xiàng)式擬合。

令：

建立如下目標(biāo)函數(shù)：設(shè)求解方程組得ai從而得到：利用回歸公式求得任意時(shí)刻的u(ti)進(jìn)行反分析。5.5.2反分析結(jié)果檢驗(yàn)方法一：將反分析得到的參數(shù)作為輸入，在相同模型下進(jìn)行計(jì)算，通過計(jì)算結(jié)果與量測結(jié)果的比較來衡量反分析結(jié)果的正確性。方法二：將反分析得到的參數(shù)作為輸入，對尚未發(fā)生的位移進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)預(yù)測的精度來衡量反分析結(jié)果的正確性。求解方程組得ai從而得到：利用回歸公式求得任意時(shí)刻的u(t5.5.3測點(diǎn)布置

（a）3條收斂測線（b）6條收斂測線（c）收斂測線加內(nèi)部位移5.5.4圍巖變形預(yù)測利用小規(guī)模實(shí)驗(yàn)工程量測結(jié)果進(jìn)行反分析，再用反分析結(jié)果對實(shí)際工程圍巖變形進(jìn)行預(yù)測。利用正在施工工程的量測結(jié)果進(jìn)行反分析，在利用反分析結(jié)果對施工效果和后期圍巖變形、支護(hù)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測。5.5.3測點(diǎn)布置（a）3條收斂測線（質(zhì)量認(rèn)證，企業(yè)全球化的通行證，也是企業(yè)管理的起點(diǎn)。11月-2211月-22Monday,November7,2022安全意識自覺增強(qiáng)，執(zhí)行規(guī)章牢記心上。00:11:0100:11:0100:1111/7/202212:11:01AMISO9000--效率、效益之源。11月-2200:11:0100:11Nov-2207-Nov-22安全——我們永恒的旋律。00:11:0100:11:0100:11Monday,November7,2022企業(yè)精神，品質(zhì)第一。11月-2211月-2200:11:0100:11:01November7,2022環(huán)境優(yōu)雅，造福大家。2022年11月7日12:11上午11月-2211月-22你的品位，我的品質(zhì)，好的搭檔，你我都需要。07十一月202212:11:01上午00:11:0111月-22居安思危，提高責(zé)任感，堅(jiān)持不懈抓產(chǎn)品質(zhì)量。十一月2212:11上午11月-2200:11November7,2022上有老下有小、出了事故不得了。2022/11/70:11:0100:11:0107November2022事故隱患不除盡，等于放虎歸山林。12:11:01上午12:11上午00:11:0111月-22品質(zhì)觀念把握好，成品出貨不苦惱。11月-2211月-2200:1100:11:0100:11:01Nov-22過細(xì)工作記心間，粗枝大葉可不行。2022/11/70:11:01Monday,November7,2022質(zhì)量存在于人類生存的一切地方。11月-222022/11/70:11:0111月-22謝謝大家！質(zhì)量認(rèn)證，企業(yè)全球化的通行證，也是企業(yè)管理的起點(diǎn)。11月-2495巖體工程中的反分析方法

緒論有限元法正分析簡要線彈性位移反分析粘彈性位移反分析工程應(yīng)用主要內(nèi)容：5巖體工程中的反分析方法緒論主要內(nèi)容：5.1緒論

隨著上世紀(jì)六十年代，電子計(jì)算機(jī)的問世和快速發(fā)展，數(shù)值方法成為巖體工程問題分析的主要手段，如何確定本構(gòu)模型和輸入?yún)?shù)就成為這種手段能否成功應(yīng)用的關(guān)鍵，在通過試驗(yàn)手段獲得參數(shù)比較困難的背景下，通過現(xiàn)場測定位移反求地應(yīng)力和巖體力學(xué)參數(shù)的“反分析方法”被提出，經(jīng)過多年的研究，目前已成為巖石力學(xué)一個獨(dú)立分支。5.1.1問題產(chǎn)生及發(fā)展歷史5.1緒論隨著上世紀(jì)六十年代，電子計(jì)算機(jī)

巖石力學(xué)中的反分析最早由Kavangh（1973）、Gioda和Maier（1980）等人提出，Sakurai（1983）完成了巖體彈性模量和初始地應(yīng)力的線彈性有限元位移反分析，此后又發(fā)展了彈塑性、粘彈性、粘塑性等非線性位移反分析，并引入了誤差分析、優(yōu)化技術(shù)等一些手段，以求獲得非線性反分析中的最佳值。巖石力學(xué)中的反分析最早由Kavangh（15.1.2正分析與反分析1正分析2反分析①②5.1.2正分析與反分析1正分析2反分析①②巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初始地應(yīng)力和位移量測值，求巖體物理力學(xué)參數(shù);已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)和位移量測值，求初始地應(yīng)力;已知巖體的本構(gòu)模型、物理力學(xué)參數(shù)、初始地應(yīng)力和位移量測值，求開挖空間最佳幾何形狀；已知初始地應(yīng)力和位移量測值，求巖體的本構(gòu)模型及模型參數(shù)，即系統(tǒng)辨識。3反分析問題的特點(diǎn)多解性、無解性、不穩(wěn)定性。巖石力學(xué)中的反分析主要有以下幾種類型：已知巖體的本構(gòu)模型、初5.1.3反分析中的幾個要素1模型

模型是“原型”的一種“類似”，任何模型都不能反映出原型的一切特征。模型的表達(dá)形式可以是概念的、物理的或數(shù)學(xué)的，用數(shù)學(xué)描述形式建立的模型為數(shù)學(xué)模型。2參數(shù)和狀態(tài)

參數(shù)是系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量，反映了系統(tǒng)的本質(zhì)，是不可測量的；狀態(tài)是系統(tǒng)的外部表現(xiàn)，是可以測量的。5.1.3反分析中的幾個要素1模型

在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變均為外部狀態(tài)變量，彈性模量、泊松比、內(nèi)粘結(jié)力等均為參數(shù)。3準(zhǔn)則函數(shù)

由于模型的近似性和量測誤差的存在，在已知量和待求量之間對等的情況下，求出的結(jié)果往往不能很好地反映系統(tǒng)的本質(zhì)?？尚械姆椒ň褪窃黾右阎康臄?shù)量，求待求量的最優(yōu)值，為此需要引入一個準(zhǔn)則函數(shù)。準(zhǔn)則函數(shù)有兩類：以量測值為基礎(chǔ)的第一類準(zhǔn)則函數(shù)；以量測誤差及其統(tǒng)計(jì)特性為基礎(chǔ)的第二類準(zhǔn)則函數(shù)。常用準(zhǔn)則函數(shù)。在巖石力學(xué)數(shù)學(xué)模型中，因變量，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變①常規(guī)最小二乘法（OLS法）②高斯——馬爾可夫估計(jì)（GM法）③最大似然估計(jì)（ML法）④貝葉斯估計(jì)（MAP法）①常規(guī)最小二乘法（OLS法）②高斯——馬爾可夫估計(jì)（GM5.1.4反分析求解方法1逆法

將模型輸出表達(dá)成待求量的顯函數(shù)，與量測值構(gòu)成準(zhǔn)則函數(shù)直接求解。2正法

當(dāng)模型輸出不能表達(dá)成待求量的顯函數(shù)時(shí)，先給出待求量的初值，計(jì)算出模型的輸出，與量測值一起代入準(zhǔn)則函數(shù)求出準(zhǔn)則函數(shù)值，按一定的路徑待求量的值，可計(jì)算出一系列準(zhǔn)則函數(shù)值，使得準(zhǔn)則函數(shù)值達(dá)到最小的待求量值即為最優(yōu)值。該方法是由一系列正算過程構(gòu)成，故名正法。其適用范圍較逆法更廣。

正法中要用到最優(yōu)化方法，最常用的有模式搜索法、變量輪換法、單純形法、鮑威爾法。5.1.4反分析求解方法1逆法將模型輸出表5.2.1有限單元法的基本思路

將連續(xù)求解域離散為有限個、按一定方式相互連接在一起的單元組合體，在每個單元內(nèi)用一假設(shè)的位移函數(shù)來表示待求的未知位移場函數(shù)，而假設(shè)的位移函數(shù)用單元節(jié)點(diǎn)上的未知位移來表示，以此可導(dǎo)出單元內(nèi)以未知節(jié)點(diǎn)位移所表示的應(yīng)力、應(yīng)變，最后通過最小勢能原5.2有限元法正分析簡要5.2.1有限單元法的基本思路將連續(xù)求解域理導(dǎo)出單元每個節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個求解域所有節(jié)點(diǎn)平衡方程將構(gòu)成一方程組，通過求解該方程組可求得各節(jié)點(diǎn)上的位移，從而求得單元內(nèi)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變。

總之，有限單元法就是將連續(xù)無限自由度問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍箅x散的有限自由度問題，將偏微分方程組的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解。理導(dǎo)出單元每個節(jié)點(diǎn)上以未知節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，整個求解域

對求解連續(xù)體的邊值問題，有限單元法是一種近似方法，近似的程度隨單元劃分加密而提高，但會帶來計(jì)算工作量的增加。5.2.2有限單元法求解的一般過程確定計(jì)算模型，包括計(jì)算坐標(biāo)系、模型整體尺寸、邊界條件、計(jì)算參數(shù)和地應(yīng)力場；單元劃分，平面三角形（3、6、7節(jié)點(diǎn)）、平面四邊形（4、8、9節(jié)點(diǎn)）、四面體、六面體（8、20、21節(jié)點(diǎn)）；選擇位移模式（形函數(shù)）；對求解連續(xù)體的邊值問題，有限單元法是一種近似方巖體工程中的反分析方法課件單元剛度分析；總剛度分析；節(jié)點(diǎn)等效載荷分析；整體平衡方程建立；已知邊界條件引入；求解平衡方程，獲得節(jié)點(diǎn)位移；根據(jù)幾何和物理方程求單元高斯點(diǎn)應(yīng)變和應(yīng)力；計(jì)算結(jié)果后處理（繪制位移、應(yīng)力、塑性區(qū)曲線圖或等值線圖單元剛度分析；①位移模式5.2.3有限單元法正分析基本方程以平面四節(jié)點(diǎn)的等參單元為例。等參數(shù)單元解決了矩形復(fù)雜性問題，坐標(biāo)變換與位移變幻的形函數(shù)一樣。其中：①位移模式5.2.3有限單元法正分析基本方程以平面四節(jié)②幾何方程其中：（i=1、2、3、4）②幾何方程其中：（i=1、2、3、4）根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：得：根據(jù)等參單元的坐標(biāo)變換式：得：其中：用矩陣表示：其中：用矩陣表示：③本構(gòu)方程其中：③本構(gòu)方程其中：④單元勢能分析a單元應(yīng)變能④單元勢能分析a單元應(yīng)變能令則b體積力勢能

設(shè)體積力則體積力勢能為：令則b體積力勢能設(shè)體積力則體積力勢能為：c表面力勢能

設(shè)面力則面力勢能為：c表面力勢能設(shè)面力則面力勢能為：d集中力勢能

設(shè)集中力則集中力勢能為：d集中力勢能設(shè)集中力則集中力勢能為：e單元總勢能將所有單元勢能疊加得系統(tǒng)總勢能根據(jù)最小勢能原理，真實(shí)解應(yīng)使系統(tǒng)勢能最小e單元總勢能將所有單元勢能疊加得系統(tǒng)總勢能根據(jù)最小勢能原即由此得系統(tǒng)總平衡方程

引入位移邊界條件，得最終求解方程：即由此得系統(tǒng)總平衡方程引入位移邊界條件，得最終求5.3線彈性位移反分析5.3.1反分析基本公式

以隧道開挖平面應(yīng)變問題為例。設(shè)開挖邊界上的初始地應(yīng)力為：

將該初始地應(yīng)力轉(zhuǎn)化開挖邊界上的等效節(jié)點(diǎn)力：

或?qū)懗桑?.3線彈性位移反分析5.3.1反分析基本公式

在整個求解域上：

根據(jù)有限元求解基本方程：

令：

則：

假定量測點(diǎn)與有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)重合，則可把節(jié)點(diǎn)位移分成已知和待求量部分：在整個求解域上：根據(jù)有限元求解基本方程：

相應(yīng)的平衡方程寫為：

將未知位移消去：

其中：相應(yīng)的平衡方程寫為：將未知位移消去：

上式可簡寫為：

其中：

因?yàn)闇y量都是兩點(diǎn)相對位移，絕對位移與相對位移之間轉(zhuǎn)化關(guān)系：上式可簡寫為：其中：因?yàn)闇y量都巖體工程中的反分析方法課件[T]為轉(zhuǎn)換矩陣：

則：

其中

上式中待求量為3個，若量測值剛好為3個，則可從上式中求出唯一的[T]為轉(zhuǎn)換矩陣：則：

若量測值多于3個，則通過最小二乘法求得，構(gòu)造以下目標(biāo)函數(shù)令

得的最小二乘估計(jì)為：若量測值多于3巖體工程中的反分析方法課件5.3.2實(shí)例5.3.2實(shí)例

根據(jù)圍巖內(nèi)部位移求得：

根據(jù)圍巖收斂變形求得：

隧道埋深400m，可求得：

則：根據(jù)圍巖內(nèi)部位移求得：根據(jù)圍巖收5.4粘彈性位移反分析5.4.1反分析基本公式

實(shí)際測試的位移是一組隨時(shí)間變化的值，是由于釋放荷載隨時(shí)間的改變及圍巖的蠕變造成，采用粘彈性反分析可以很好反映時(shí)間因素。

任意時(shí)刻t的應(yīng)變可以看做由瞬時(shí)彈性應(yīng)變和蠕變應(yīng)變兩部分構(gòu)成：

其中彈性應(yīng)變：5.4粘彈性位移反分析5.4.1反分析基本公式

粘彈性應(yīng)變：

則：得：粘彈性應(yīng)變：則：得：

其中：為彈性矩陣

任意時(shí)刻t的有限元平衡方程：

將代入上述平衡方程：其中：

其中：稱之為綜合模量。其中：

常用流變模型的粘彈性模量和綜合模量粘彈性模型粘彈性模量綜合模量MaxwellKelvinKelvin-VoigtPoynting-ThomsonBurgers常用流變模型的粘彈性模量和綜合模量粘彈性模型粘

將位移U(t)分為已知和未知兩部分

仿照線彈性位移反分析公式推導(dǎo)，得粘彈性反分析基本方程

其中：將位移U(t)分為已知和未知兩部分仿5.4.2參數(shù)回歸與優(yōu)化

實(shí)際量測過程中，設(shè)置測點(diǎn)時(shí)間為t0，到t時(shí)刻量測的位移是t0~t之間發(fā)生的位移，為此把綜合模量也用t0~t

之間的變化來代替設(shè)置測點(diǎn)時(shí)間t0時(shí)間t5.4.2參數(shù)回歸與優(yōu)化實(shí)際量測過程中，設(shè)設(shè)從t0~t之間共進(jìn)行了n次量，每次量測有m個測點(diǎn)，量測結(jié)果為：

則利用每次量測的m個測點(diǎn)已知位移，可反求該時(shí)刻的綜合模量，n次量測可以反求出不同時(shí)刻的綜合模量：

根據(jù)綜合模量與模型參數(shù)之間的關(guān)系，比如P-T模型：式中：設(shè)從t0~t之間共進(jìn)行了n次量

將上式變換為以下形式：兩邊取對數(shù)：令：得：用矩陣表示：將上式變換為以下形式：兩邊取對數(shù)：令：得：用矩

其中：

最小二乘法解為：

根據(jù)求得的a、b、yi再求E0、E1、E2、其中：最小二乘法解為：

設(shè)時(shí)刻的量測值為：5.5工程應(yīng)用5.5.1量測數(shù)據(jù)預(yù)處理

量測數(shù)據(jù)帶有誤差，甚至有奇異數(shù)據(jù)，為此需對其進(jìn)